Для чего нужны отрицательные числа
Отрицательные числа
Отрицательное число — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.
Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем нуль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля. Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка, позволяющее сравнивать одно целое число с другим.
Содержание
Свойства отрицательных чисел
Отрицательные числа подчиняются практически тем же правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.
Исторический очерк
Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные.
Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача), или признавались как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата. Правда, умножение и деление для отрицательных чисел тогда ещё не были определены.
Диофант в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако и он рассматривал их лишь как временные значения.
В XVII веке, с появлением аналитической геометрии, отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Тем не менее теория отрицательных чисел долго находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). Непонятно было также, какой смысл имеет умножение отрицательных чисел, и почему произведение отрицательных положительно; на эту тему проходили жаркие дискуссии.
Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке (Уильям Гамильтон и Герман Грассман).
Положительные и отрицательные числа: определение, примеры
В этом материале мы объясним, что такое положительные и отрицательные числа. После того, как будут сформулированы определения, мы покажем на примерах, что это такое, и раскроем основной смысл этих понятий.
Что такое положительные и отрицательные числа
Для того чтобы объяснить основные определения, нам понадобится координатная прямая. Она будет расположена горизонтально и направлено слева направо: так будет удобнее для понимания.
Положительные числа – это те числа, которые соответствуют точкам в той части координатной прямой, которая расположена справа от начала отсчета.
Отрицательные числа – это те числа, которые соотносятся с точками в части координатной прямой, расположенной с левой стороны от начала отсчета (нуля).
Нуль, от которого выбираем направления, сам по себе не относится ни к отрицательным, ни к положительным числам.
Из данных выше определений следует, что положительные и отрицательные числа образуют некие множества, противоположные друг другу (положительные противопоставляются отрицательным, и наоборот). Ранее мы об этом уже упоминали в рамках статьи о противоположных числах.
Мы всегда записываем отрицательные числа с минусом.
В литературе также можно встретить определения положительных и отрицательных чисел, данные на основе наличия у них того или иного знака.
Положительное число – это число, имеющее знак плюс, а отрицательное – имеющее знак минус.
Положительные числа – это все числа, значение которых больше нуля. Отрицательные числа – это все числа, меньшие нуля.
Выходит, что нуль является своеобразным разделителем: он отделяет отрицательные числа от положительных.
Основной смысл положительных и отрицательных чисел
Мы уже дали основные определения, но для того, чтобы делать верные подсчеты, необходимо понять сам смысл положительности или отрицательности числа. Попробуем помочь вам это сделать.
Положительные и отрицательные числа в современном мире
Положительные и отрицательные числа — это не абстрактные математические понятия, а часто встречающиеся в современной жизни явления.
Чтобы ребенку объяснить положительные и отрицательные числа, сначала необходимо вспомнить теорию.
ТЕОРИЯ. Положительные и отрицательные числа служат для описания величин. Если величина растет, то говорят, что ее изменение положительно (+), а если она убывает, то изменение называют отрицательным (-).
Плакат «Сделай уроки сам!» 5-6 класс
Приведём несколько примеров из жизни
1. Уличный термометр.
За нулевую отметку здесь принята температура, при которой вода начинает превращаться в лёд. Положительные цифры означают тепло, отрицательные — мороз.
2. Физическая карта.
За нулевую отметку здесь принято считать уровень воды в мировом океане. Положительные числа означают высоту, а отрицательные — глубину.
3. Баланс на телефоне.
Если у человека на телефоне отрицательный баланс, значит, он потратил денег больше, чем было у него на счету, то есть влез в долг. Когда человек в следующий раз пополнит баланс, сумма долга будет вычтена из положенных денег.
4. Этажи зданий.
Часто, в крупных городах, где не хватает места, большие здания строятся не только над землёй, но и под ней. Отрицательные числа обозначают этажи, расположены под землёй, положительные — над ней.
5. Линзы.
Одни из них вогнутой формы, другие выпуклой. Положительные — увеличивают изображение (лупа, микроскоп), отрицательные — уменьшают (зеркало для просмотра солона у водителя автобуса).
6. Атом.
Он состоит из положительного ядра и вращающихся вокруг него отрицательных электронов.
Вот так на наглядных примерах, можно легко объяснить одну из трудных тем «Положительные и отрицательные числа».
Для чего нужны отрицательные числа
Я глубоко убеждён, что все (или почти все) проблемы современного человечества возникли вследствие отрыва от ПРИРОДЫ.
Современные люди оторвались от природы как в физическом плане (городами и домами), так и в ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОМ плане.
Например, это выражается в том, что почти вся школьная программа не имеет никакого отношения к природе и к РЕАЛЬНОСТИ.
Я приведу всего лишь один пример — это так называемые отрицательные числа.
В природе нет и не может быть ничего отрицательного.
Вы можете представить себе минус 1 автомобиль? А минус 3 белки?
Нормальный, психически здоровый человек не может представить себе такого!
О чём это говорит? Это говорит о том, что стоит изменить расчётную шкалу и отрицательные числа чудесным образом превращаются в положительные.
Ещё хочу привести несколько примеров из РЕАЛЬНОГО мира, когда здравый смысл побеждает «отрицательные числа».
Пример №1 Измерение высоты гор, а также глубин морей и океанов.
Условным нулём выступает уровень моря. Всё что выше — говорят «столько то метров выше уровня моря». Всё что ниже — мы говорим «столько то метров ниже уровня моря».
Например, максимальная глубина Чёрного моря = 2 210 метров. Или 2210 метров НИЖЕ уровня моря. Но мы не говорим, что глубина моря — (минус) 2210 метров (т.к. это бред).
Пример №2 Хронография.
Сейчас в европейских странах принято вести летосчисление от Рождества Христова. Это базовая точка отсчёта. Всё что было после этого события — записывается, например, как 2017 год от Рождества Христова (или 2017 год Нашей Эры).
Всё что было до этого, записывается как «до нашей эры». Например, египетский фараон жил 1000 лет до нашей эры. Обратите внимание, что он жил не в «минус» 1000 лет, а 1000 лет до нашей эры. Это важная фраза — «до нашей эры» подчёркивает УСЛОВНОСТЬ измерительной шкалы.
Т.е. у историков, хвала духам, никаких отрицательных чисел в годах не возникает!
Но у математиков есть минусы (отрицательные числа) и они даже учат детей как складывать, вычитать, делить и умножать отрицательные числа!
Раз это явление имеет место быть, значит оно кому то выгодно!
Понятное дело, детям это не выгодно. Ибо если изучать то, чего нет в природе, то это может привести к нервному напряжению и, даже, к психическому расстройству.
Но кому это выгодно? Зачем детей заставляют изучать отрицательные числа?
В поисках ответов я обратился к википедии (она, как известно, никогда не врёт). Вот, что там написано:
Отрица́тельное число́ — элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Основной целью расширения было желание сделать вычитание такой же полноценной операцией, как сложение.
Всё это очень интересно! Но я так и не нашёл ответа но свой вопрос — «Зачем это?»
Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция не использовали отрицательных чисел, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа. Однако он рассматривал их лишь как промежуточный этап, полезный для вычисления окончательного, положительного результата.
Ага, вот нашёл, ответ на свой вопрос:
Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача),
Вот в чём суть! Для тех,кто не понял, выделю жирным ещё раз:
Впервые отрицательные числа были частично узаконены в Китае, а затем (примерно с VII века) и в Индии, где трактовались как долги (недостача),
Получается, что детишек таким незаметным образом делают дураками (т.к. заставляют изучать то, чего нет в природе) и должниками.
По крайней мере прививают мысль, что (минус) такое то число — это нормально.
Но это не нормально т.к. в природе нет отрицательных чисел, как и нет долгов!
Вывод:
Если ваш ребёнок получает двойки и тройки в школе, то не спешите его ругать. Разберитесь в ситуации, может быть ему просто не хочется учить то, чего нет в природе.
А если это так, то его надо не отругать, а похвалить! Сказать «молодец, не учи всякий бред. Иди лучше на турнике позанимайся — пользы больше будет!».
Понравилась статья? Комментируйте!
А как показать движение автомобиля, поезда, самолёта, ракеты, пули? Период разгона и торможения. Как показать синусоиду переменного тока? Как производить расчёты? Как объяснить ребёнку, почему замерзает вода, чтобы у ребёнка не было психического расстройства? Привести ещё примеры?
Александр
Я что-то не понял… Оказывается, движение автомобиля и пули может быть «отрицательным»? 🙂
Это каким образом? 🙂
Автомобиль может проехать (минус 1 км), так что ли? 🙂
А Вы знаете, что не только отрицательные, но даже комплексные числа помогают решать реальные задачи. Например, преобразование поворота фигуры легче всего описать именно в комплексной плоскости. Каждому множеству чисел — своё применение. Считая количество людей тоже не применишь дробь 4/5.
Мир Вам!
Интересная статья, никогда не думала об этом… Просто зубрила уроки в школе да и всё 🙁
кредит! деньги которых нет..
Отрицательные числа вокруг нас
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Лингвистическая гимназия №27»
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА ВОКРУГ НАС
Клементьева Ирина Владимировна
высшей квалификационной категории
Глава 1. История возникновения отрицательных чисел ……………….…..……………….. 4
Число как основное понятие в математике.………. ………………….……..………. 4
Появление и становление отрицательных чисел ………………………………………. 4
Глава 2. Применение отрицательных чисел 5
2.1. Отрицательные числа в физике 6
2.2. Отрицательные числа в истории 6
2.3. Отрицательные числа в медицине ………………………………………………………. 6
2.4. Отрицательные числа в географии ……………………………………………………..…7
2.5. Отрицательные числа в литературе ……………………………………….………………7
2.6. Отрицательные числа в повседневной жизни …………………………………………….7
Актуальность работы сводится к тому, что, как и в глубокой древности, так и по сегодняшний день мы не можем обойтись в нашей жизни без чисел. Она упростилась с их появлением. Но люди не могли обойтись только одними натуральными числами.
Мы решили изучить понятие числа, историю развития и принятия отрицательных чисел известными математиками. Как с натуральными числами, так и с отрицательными, мы сталкиваемся в повседневной жизни, изучаем их в школьном курсе, но понимание математических действий с этими числами у школьников не всегда складываются.
Цель работы : проследить историю возникновения и развития отрицательных чисел и их применение в разных сферах человеческой деятельности.
— изучить историю возникновения отрицательных чисел;
— изучить литературу по данному вопросу;
— определить что такое положительные и отрицательные числа;
— проанализировать, в каких областях современного мира применяются положительные и отрицательные числа.
Гипотеза : отрицательные числа в жизни человека встречаются не только в математике, но и в других науках.
Объект исследования: отрицательные числа.
Предмет исследования: средства и способы наблюдения отрицательных чисел.
— анализ истории открытия отрицательных чисел;
— обработка информации об отрицательных числах в настоящее время, обобщение итогов и презентация данной работы.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.
ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Число как основное понятие в математике
Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Существует большое количество определений понятия «число».
Первое научное определение числа дал Эвклид: «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». Пифагор учил, что «число есть система единиц». Английский физик и математик Ньютон пишет: «Целое число есть то, что измеряется единицей».
Положительные числа – это те числа, которые соответствуют точкам в той части координатной прямой, которая расположена справа от начала отсчета.
Отрицательные числа – это те числа, которые соотносятся с точками в части координатной прямой, расположенной с левой стороны от начала отсчета (нуля).
Нуль, от которого выбираем направления, сам по себе не относится ни к отрицательным, ни к положительным числам.
Из данных выше определений следует, что положительные и отрицательные числа образуют некие множества, противоположные друг другу (положительные противопоставляются отрицательным, и наоборот).
Появление и становление отрицательных чисел
Известно, что натуральные числа возникли при счете предметов. Потребность человека измерять величины и то обстоятельство, что результат измерения не всегда выражается целым числом, привели к расширению множества натуральных чисел. Были введены ноль и дробные числа.
Процесс исторического развития понятия числа на этом не закончился. Однако не всегда первым толчком к расширению понятия числа были исключительно практические потребности людей. Было и так, что задачи самой математики требовали расширения понятия числа. Именно так обстояло дело с возникновением отрицательных чисел. Решение многих задач, особенно решаемых с помощью уравнений, приводило к вычитанию из меньшего числа большего. Это потребовало введения новых чисел.
Далее, в V-VI веках отрицательные числа стали использоваться достаточно широко в Китае и Индии. Правда, в Китае к ним, все-таки относились осторожно, старались их применение свести к минимуму, а в Индии, напротив, они использовались очень широко. Там с ними производились вычисления и отрицательные числа не казались чем-то непонятным.
Известный индийский ученый Брахмагупта Бхаскара (VII-VIII века) в своих учениях оставили подробные объяснения работе с отрицательными числами, он сформулировал правила действий над положительными и отрицательными числами. Вот как Брахмагупта излагал правила сложения и вычитания: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму». «Сумма двух имуществ есть имущество».
В Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми» и «абсурдными», «ложными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что, если из 0 вычесть любое число, то ответом будет 0, так как ничто не может быть меньше нуля — пустоты.
Тем не менее до XVII века отрицательные числа были не востребованы и долгое время их называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». И даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего.
Позже, в 1544 году Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие отрицательных чисел и подробно описал действия с ними: «Нуль находится между абсурдными и истинными числами».
Широко использовать отрицательные числа, выполнять действия с ними, строить координатную прямую стали в XVII веке благодаря работам французского математика Рене Декарта. Нам сейчас кажется это все таким простым и понятным, но, чтобы дойти до этой мысли, потребовалось восемнадцать веков работы ученой мысли от китайского ученого Чжан Цаня до Декарта.
Идея отрицательных чисел постепенно завоевывала умы и, главное, оказалась весьма полезной. Выражение «ниже, чем ничего» показывает, что математики мысленно воображали положительные и отрицательные числа точками на вертикальной шкале (вроде шкалы термометра). Отрицательные числа с большим трудом завоевывали себе место в математике.
В XVII веке отрицательные числа получили наглядное геометрическое представление на числовой оси. С этого момента наступает их полное равноправие. Полная и вполне строгая теория отрицательных чисел была создана только в XIX веке. Уильямом Гамильтоном и Германом Грассманом. С этого времени отрицательные числа обрели свои права и сейчас уже никто не сомневается в их реальности.
ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
2.1. Отрицательные числа в физике
Для измерения температуры воздуха применяется шкала с отрицательными числами: в случае, если на улице тепло, то температура воздуха выражается положительным числом, а если на улице холодно – отрицательным числом. Температура льда, снега также выражаются отрицательными значениями. Температура, при которой начинается таяние – 0 0 С, при повышении температуры можно наблюдать нагревание и кипение [5].
2.2. Отрицательные числа в истории
В исторической науке отрицательные числа необходимы для исчисления времени. В Древнем Египте каждый раз, когда начинал свое правление новый фараон, летоисчисление начиналось заново. Иным был счет лет, применявшийся жителями одного из древнейших городов мира – Рима. Год основания своего города римляне считали первым, следующий – вторым, и так далее [7].
На сегодняшний день на уроках истории нам часто встречаются положительные и отрицательные числа, только их записывают не как «+» и «-», а в «нашей эре» и «до нашей эры». Современный счет лет возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах. В России этот счет принят царём Петром I триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождества Христова, именуется « нашей эрой» (сокращённо н.э.). Продолжается наша эра уже более двух тысяч лет. Таким образом, «линию времени» можно представить в виде своеобразной координатной прямой [6]. В соответствии с этим, даты событий нашей эры соответствуют положительным числам, а произошедшие до нашей эры – отрицательным числам.
В повседневной жизни мы тоже часто используем «отрицательные» термины «вчера», «позавчера», «4 дня назад», означающие прошедшее (отрицательное) время в нашей личной истории жизни. Мы часто берём за начало отсчёта какое-то важное событие в своей истории – рождение, поступление в 1 класс, окончание института и т.д. и делим наше время на «до» и «после» этого события. Или в определении какого-то промежутка времени в недавней истории страны, наши родители пользуемся такими выражениями как «до революции», «до войны», и сразу понятно, когда произошло то или иное событие.
2.3. Отрицательные числа в медицине
Примечательно, что отрицательные числа нашли применение даже в медицине. Например, в трансфузиологии – науке о переливании крови. Прежде чем перелить кровь человеку, для определения совместимости уточняется его резус-фактор Rh (врожденное групповое свойство эритроцитов, обусловленное наличием антигенов резус). Почти 15% людей не обладают этим свойством, поэтому их кровь именуется резус-отрицательной ( Rh — ) [5].
Офтальмологи тоже нашли применение отрицательным числам при лечении патологий глаза. Для получения отчетливого изображения на сетчатке глаза пациентам с нарушенным зрением приходят на помощь линзы, диоптрии которых могут быть не только положительными, но и отрицательными. Если линза собирает лучи в одну точку, она обозначается знаком «+», если она рассеивает их – со знаком «-» [2]. Симптомом миопии (близорукости) является снижение остроты зрения. Для того, чтобы пациент при близорукости мог четко видеть отдаленные предметы, окулист использует рассеивающие линзы с отрицательными диоптриями.
2.4. Отрицательные числа в географии
Физическая карта планеты является наиболее ярким примером использования отрицательных чисел в географии. Так, участки суши на карте раскрашены различными оттенками зеленого и коричневого цветов, а моря и океаны изображены голубым и синим. Каждому цвету соответствует своя высота (для суши) или глубина (для морей и океанов). На картах приводится шкала глубин и высот, показывающая какую высоту/глубину означает тот или иной цвет. Положительные числа отвечают различным местам на суше, находящимся над поверхностью моря, отрицательные числа соответствуют точкам, находящимся ниже уровня моря (Приложение 3) [3].
Климат в той или иной точке Земли также характеризуется температурными значениями. Тепло ― градусы со знаком «плюс», холод ― градусы со знаком «минус».
2.5. Отрицательные числа в литературе
Русская народная сказка-это таинственный, замысловатый мир. Народ рассказывал только о том, чему верил, а увлекаясь, фантазировал и представлял различных чудовищ. Именно сказки помогают разобраться в положительных и отрицательных моментах жизни, понять что такое «хорошо» и что такое «плохо». В сказках герои добрые и злые, смелые и трусливые, правдивые и хитрые, т. е. положительные и отрицательные.
К положительным героям в сказках можно отнести Ивана-дурака, Василису Премудрую, Сивку-Бурку, Снегурочку и др. Отрицательные герои – злодеи – Кощей Бессмертый, Баба-Яга, Змей Горыныч, мачеха и другие.
2.6. Отрицательные числа в повседневной жизни
Положительные и отрицательные числа часто сопровождают нас в повседневной жизни.
В качестве ещё одного примера возможно рассмотреть даже многоэтажный торговый центр. Так, в многоэтажных зданиях устанавливаются лифты, перемещающиеся как по верхним, так и по нижним этажам. При движении на верхние этажи мы условно выражаемся, что находимся на +4, +5, +8 этажах. При движении лифта на этажи, находящиеся ниже поверхности земли, диктор лифта озвучивает «минус 1 уровень». Таким образом, можно сказать что знаки «+» и «-» указывает на то, где располагается число относительно принятой точки отсчета, а именно «0» (ноль) [6].
Оказывается, отрицательные числа в нашей жизни играют существенную роль: мы испытываем не только негативное их влияние, но и хорошее, позитивное.
В данной работе исследованы полезные стороны использования отрицательных чисел. По историческим сведениям причиной возникновения отрицательных чисел являются практические нужды людей. Отрицательными числами обычно обозначали долг.
Наша гипотеза подтвердилась. Польза отрицательных чисел в науке и жизни человека разнообразна и велика. Понять суть отрицательных чисел без истории их возникновения немыслимо. Работая с литературными источниками, установлено, что положительные и отрицательные числа служат для описания изменений величин.
Привлечение отрицательных чисел целесообразно в физике, географии, экономике, истории и др. Жизненные ситуации с отрицательными числами в наши дни – вещь обыденная (тепло – холод, влево – вправо, вверх – вниз, наличие денег – долг, выигрыш – проигрыш, баланс на телефоне, очки на «+» и на «-» и др.).
Представленное исследование может вызвать познавательный интерес к изучению темы «Отрицательные числа» на уроках математики и во внеурочной деятельности.