Для чего нужны признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

Источник

Для чего нужны признаки делимости чисел

С древних времен человечество интересовалось числами. Люди научились считать еще в каменном веке. Конечно, это были весьма примитивные приемы счета – на пальцах, с помощью зарубок и так далее.

С развитием цивилизации познания людей в математике расширялись. Развивалась торговля, людям нужно было уметь считать товар и деньги, чтобы не быть обманутыми.

Постепенно стали возникать математические принципы, например такие:

— Два любых натуральных числа всегда можно сложить, а также умножить.

— Из одного натурального числа можно вычесть другое, но лишь тогда, когда вычитаемое меньше уменьшаемого.

— С делением несколько сложнее. Деление без остатка можно выполнить только для некоторых чисел, причем бывает довольно трудно заранее узнать, делится ли одно число на другое. Помимо того, есть числа, которые делятся только на единицу или сами на себя. Они называются «простыми» числами. А делить на ноль и вовсе нельзя.

В современной жизни у нас часто возникает необходимость узнать, делится ли одно число на другое без остатка. Не всегда под рукой имеются технические средства, чтобы это быстро рассчитать. Для подсчета без калькулятора можно использовать признаки делимости.

Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление. [1]

Признаки делимости на 2, 3 и 5 были известны с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи лет до нашей эры, а признак делимости на 9 был известен грекам в третьем столетии до нашей эры. Впервые признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (около 1179 – 1228). Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623 – 1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки. [2]

Значимость признаков делимости в математике бесспорна. Ведь именно с помощью признаков делимости можно узнать, делится ли одно число на другое без остатка, не производя фактического деления. Также знание признаков делимости позволяет быстро находить НОК (Наименьшее Общее Кратное) и НОД (Наибольший Общий Делитель), а это не менее важно.

Я выбрал эту тему, потому что она является актуальной для меня и моих одноклассников, а значит – и для других школьников. Сейчас, в 5-м классе, мы изучаем основные признаки делимости на уроках математики.

Но существуют еще и другие признаки делимости, которые в школе не изучают. Меня заинтересовала эта тема, и я нашел много интересного материала по ней, которым хочу поделиться. В своей работе я постараюсь доказать, что признаки делимости – это важное и существенное понятие в математике, значительно облегчающее процесс расчетов.

Цель проекта и его практическая ценность – создание буклета со справочным материалом по признакам делимости натуральных чисел в помощь учащимся 5 – 9-х классов, и его применение в школьном курсе математики. (Приложение 1)

Предмет проекта: изучение и классификация признаков делимости натуральных чисел.

Методы исследования: поиск и изучение информации, обработка данных, анализ и систематизация материала по признакам делимости натуральных чисел.

1. Признаки делимости, изучаемые в школе

В математике существует несколько основных признаков делимости. Это признаки делимости на: 2, 3, 4, 5, 6, 9 и на 10. Именно их мы изучаем в школе. Повторим их.

Чтобы был понятен признак делимости на 2, нужно разобраться в чётных и нечётных числах. Итак, чётные числа – это те числа, которые делятся на 2 – то есть числа 0, 2, 4, 6, 8 и так далее, а вот нечётные – это числа, не делящиеся на 2 – то есть 1, 3, 5, 7, 9 и так далее.

Признак делимости на 2 предельно прост:

на 2 делятся только числа, оканчивающиеся на чётные цифры, включая 0.

Признак делимости на 4:

Например: 584 делится на 4, потому что число 84 делятся на 4. число 351 не делится на 4, потому что число 51 не делится на 4 без остатка.

Признак делимости на 5:

На 5 делятся только те числа, которые оканчиваются на цифры 5 или 0.

Например: число 745 делится на 5, потому что оно оканчивается на 5. Число 957 не делится на 5, потому что оно оканчивается на цифру 7. Число 370 делится на 5, потому что оно оканчивается на 0.

Признак делимости на 6:

На 6 делятся только те числа, которые делятся и на 2, и на 3.

Например: число 354 делится на 6, потому что сумма цифр этого числа делится на 3, а также оканчивается на четное число, и поэтому делится и на 2 тоже.

Признаки делимости на 3 и на 9 очень похожи.

Признак делимости на 3:

На 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 без остатка.

Например: число 426 делится на 3, потому что сумма цифр этого числа 4+2+6=12 – число, делящееся на 3 без остатка. Число 572 не делится на 3, потому что сумма цифр данного числа 5+7+2=14 – число, которое не делится на 3 без остатка.

Признак делимости на 9:

На 9 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 9 без остатка.

Например: число 738 делится на 9, потому что сумма цифр данного числа 7+3+8=18 – число, делящееся на 9. Число 623 не делится на 9, потому что сумма цифр этого числа 6+2+3=11– число, не делящееся на 9.

Признак делимости на 10:

На 10 делятся только те числа, которые оканчиваются на 0, то есть круглые числа.

Например: число 40 делится на 10, потому что оно оканчивается на 0, то есть круглое число. Число 27 не делится на 10, потому что оно не круглое.

Признак делимости на 100:

На 100 делятся только числа, оканчивающиеся на 00.

Например: 300 делится на 100, потому что оканчивается на 00. Число 845 не делится на 100, потому что оно оканчивается не на 00.

Признак делимости на 1000 аналогичен:

На 1000 делятся только числа, оканчивающиеся на 000.

Например: число 9000 делится на 1000, потому что оно оканчивается на 000. Число 7564 не делится на 1000, потому что оканчивается не на 000.

2. Классификация признаков делимости

Помимо основных признаков делимости существует множество других, знание которых может быть очень полезно. Я нашел много интересного материала по этой теме и хочу им поделиться в своей работе.

Признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

2.1 Признаки делимости по последним цифрам числа

Признаки делимости на 2 и 5 мы уже рассмотрели в предыдущем разделе.

Признак делимости на 4:

Например: 584 делится на 4, потому что число 84 делятся на 4. число 351 не делится на 4, потому что число 51 не делится на 4 без остатка.

Признак делимости на 8:

На 8 делятся только те числа, у которых три последние цифры, образующие целое число, делятся на 8, или три последние цифры являются нулями.

Число 6824 делится на 8, потому что и цифра 8, и число 24 делятся на 8.

Число 5387 не делится на 8, потому что ни 3, ни 7 не делятся на 8.

Признак делимости на 20.

Число делится на 20, если две его последние цифры делятся на 20 или равны нулю.

Число 2220 делится на 20, так как 20 делится на 20.

Число 600 делится на 20, так как число оканчивается нулями.

Признак делимости на 25.

Число делится на 25, если оно заканчивается на: 00, 25, 50, 75.

Число 475 делится на 25, так как его последние цифры равны 75.

Признак делимости на 50.

Число делится на 50, если оканчивается на 50 или 00.

Число 6950 делится на 50, так как последние цифры это 50.

Число 4000 делится на 50, так как заканчивается двумя нулями.

Признак делимости на 125.

Число делится на 125, если три его последние цифры нули или образуют число, которое делится на 125.

Число 225000 делится на 125, т.к. три последние цифры – нули.

Число 589250 делится на 125, т.к. число 250 делится на 125.

2.2 Признаки делимости по сумме цифр числа

Признаки делимости на 3 и на 9 мы рассмотрели в предыдущем разделе и убедились, что они полностью соответствуют признакам делимости по сумме цифр числа.

Признак делимости на 7.

Число делится на 7, если утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.

Например: число 112 делится на 7, так как 11*3+2=35

Еще один признак делимости на 8.

Трёхзначное число делится на 8, если число единиц, сложенное с

удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.

Например: число 776 делится на 8, так как 7*4+2*7+6=28+14+6=48.

Признак делимости на 11. [ 3]

Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11 или если эти суммы равны.

Число 2310 делится на 11, так как 2+1=3 и 3+0=3. Суммы равны, значит число делится на 11.

Число 9482 делится на 11, так как 9+8=17 и 4+2=6, а 17-6=11. 11 делится на 11, поэтому и число делится на 11.

Признак делимости на 37.

Число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Например: число 21312 делится на 37, так как 21+312=333. Число 333 делится на 37, значит и число 21312 делится на 37.

Признак делимости на 75.

Число делится на 75, если сумма его цифр делится на 3 и две последние цифры этого числа делятся на 25.

Число 1275 делится на 75, так как 1+2+7+5=15, 15 делится на 3; также число 75 делится на 25. Итог – число 1275 делится на 75.

2.3 Признаки делимости с помощью математических действий с цифрами числа

Признак делимости на 7.

Число делится на 7 тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Признак делимости на 13.

Число делится на 13, если сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Число 351 делится на 13, так как 35+1*4 = 39 – делится на 13.

Число 1313 делится на 13, так как 131+3*4 = 143. Если трудно определить, делится ли полученное число на 13, то можно сократить его ещё: 14+3*4 = 26 – делится на 13.

Признак делимости на 17.

Число делится на 17 тогда, когда разность числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Число 221 делится на 17, т.к. 22-5*1 = 17 – делится на 17.

Признак делимости на 19.

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Число 2128 делится на 19, так как 212+ 2*8 =228, 22 + 8*2 =38 – делится на 19.

Число 4009 делится на 19, так как 400 + 2*9 =418, 41 + 8*2 = 57 – делится на 19.

Признак делимости на 29.

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.

Число 6119 делится на 29, так как 611+ 9*3 = 638, 63 + 8*3 = 87 – делится на 29.

Признак делимости на 33.

Число делится на 33, если сумма, составленная при разбивании числа справа налево на группы по две цифры, делится на 33, то и число делится на 33.

Число 396 делится на 33, так как 96+3 = 99 – делится на 33.

2.4 Признаки делимости на составные числа

Признаки делимости на составные числа строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число. Это признаки делимости на 6, 12, 14, 15, 18.

Признак делимости на 6:

На 6 делятся только те числа, которые делятся и на 2, и на 3.

Например: число 354 делится на 6, потому что сумма цифр этого числа делится на 3, а также оканчивается на четное число, и поэтому делится и на 2 тоже.

Признак делимости на 12:

На 12 делятся только числа, делящиеся и на 3, и на 4.

Например: число 3648 делится на 12, потому что сумма цифр данного числа делится на 3, а также на 2, потому что оканчивается на чётное число.

Признак делимости на 15 – аналогичен:

На 15 делятся только числа, делящиеся и на 5 и на 3.

Признак делимости на 14.

Число делится на 14, если оно делится и на 2, и на 7.

Число 826 делится 14, так как оно делится на 2 и на 7.

Число 126 делится на 14, так как оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 18

Число делится на 18, если оно одновременно делится на 2 и на 9.

Число 162 делится на 18, так как сумма цифр – 1+6+2=9 – делится на 9.

Признак делимости на 30.

Число делится на 30, когда оно одновременно делится на 10 и на 3.

Число 12750 делится на 30, так как оно оканчивается 0, то есть делится на 10, и сумма цифр числа 1 + 2 + 7 + 5 = 15, то есть делится на 3.

3. Занимательные факты и задачи

Число на гробнице «2520» [4]

В Египетской пирамиде археологи нашли саркофаг с числом «2520» без какого-либо пояснения к нему. Математик Кордемский Б.А. в своей работе «Математическая смекалка» указал, что число это примечательно, как наименьшее общее кратное первых 10-ти чисел, то есть это самое маленькое число, которое можно без остатка поделить на все целые числа, начиная с 1 и заканчивая 10.

Необычное число 37

Любое число, состоящее из 3-х одинаковых цифр, делится на 37.

Например: числа 111, 222, 333 и все остальные, кратные 111 – делятся на 37.

Также, шестизначное число делится на 37, если при разложении его на две группы (по 3 цифры) сумма чисел этих групп делится на 37, либо составляет число из трех одинаковых цифр.

Число 259185 делится на 37, так как 259 + 185 = 444.

Число 346209 делится на 37, так как 346 + 209 = 555.

Покупатель взял в магазине пакет молока стоимостью 33 рубля, пачку творога стоимостью 36 рублей, 6 пирожных и 3 килограмма сахара. Когда кассир выбила чек на 296 рублей, покупатель потребовал проверить расчет и исправить ошибку. Как определил покупатель, что счёт неверен?

Стоимость приобретенных товаров каждого вида выражается числом, кратным 3-м (у молока и творога цена кратна 3-м, цена остальных товаров не известна, но их количество кратно 3-м). Если каждое из слагаемых делится на 3, то и сумма должна делиться на 3. Вспоминаем признак делимости на 3: На 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3 без остатка.

Число 296 (2+9+6=17) на 3 не делится, следовательно, расчет неверен.

Задача про тарелки

В магазин привезли меньше 600, но больше 500 тарелок. Когда стали раскладывать их по 10, то не хватило трех тарелок до полного числа десятков, а когда стали раскладывать по 12 тарелок, то осталось 7 тарелок. Сколько было тарелок?

Если не хватило трех тарелок до полного числа десятков, то это значит, что, как и при раскладывании по 12 тарелок, оставалось 7 тарелок. Значит, число тарелок за вычетом семи штук делится без остатка на 10 и на 12, то есть на 60. Среди чисел, меньших 600 и больших 500, только одно число 540 делится на 60. Значит, тарелок было 540 + 7 = 547.

В процессе работы над проектом я узнал много нового о признаках делимости, а также о возможности их классификации,

Я узнал, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 25, 30, 33, 37, 50, 75, 125 и многие другие числа. Я понял, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись. Познакомившись с признаками делимости чисел, я считаю, что полученные знания смогу использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной жизненной ситуации. Также я уверен, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным и функциональным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий.

Результатом моей проектной деятельности стал разработанный мной буклет «Признаки делимости и их практическое применение в обучении школьников». (Приложение 1) Его можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях, в помощь учащимся 5-9-х классов.

Я постарался изложить материал по признакам делимости доступным языком, чтобы каждый ученик, которому это интересно, мог взять разработанный мной буклет и самостоятельно получить дополнительные знания по признакам делимости чисел.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воробьев, К.Н. Признаки делимости / Воробьев К.Н.: М.: Издательство «Наука», 4-е изд., 1988. 94 с.

2. Депман, И.Я. История арифметики / Депман И.Я. – М.: Издательство Просвещение, 1965. – 142 с.

3. Перельман, Я.И. Занимательная Алгебра / Перельман Я.И. – М.: Триада-Литера, 1994.- 199 с.

4. Кордемский, Б.А. Математическая смекалка /Кордемский Б.А. – Л.: Издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 231-241 с.

5. Депман, И.Я За страницами учебника математики. / Депман И.Я. Виленкин Н.Я. – М. Просвещение. 1989. – 97 с.

6. Савин, А.П. Энциклопедический словарь юного математика / Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989.- 352 с.

Источник

Признаки делимости чисел

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Что такое «признак делимости»

Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.

Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.

Однозначные, двузначные и трехзначные числа

Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.

Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).

Чётные и нечётные числа

Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!

Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.

Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.

Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.

Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Источник

«Секреты признаков делимости»

«Секреты признаков делимости»

Автор: Москвичева Дарья

Учащаяся 7 А класса,

3. Заключение, вывод с. 12

5. Список используемой литературы с. 17

На одном из занятий математического кружка по теме «Делимость чисел» меня заинтересовала одна старинная задача. Вот ее условие: » В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число 2520. Почему именно этому числу выпала «такая честь»? Может быть, за то, что оно без остатка делится на все без исключения целые числа от 1 до 10. Действительно, нет числа, меньшего, чем 2520, обладающего указанным свойством. Это минимальное число, которое делится без остатка на 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. После решения этой задачи я захотела узнать больше о признаках делимости и в чем заключается их секрет.

Что же такое признак? Что такое делимость? Какие признаки делимости, кроме известных из школьного курса математики, еще имеются? В чем секрет признаков делимости на любое натуральное число? Как их применять при решении задач? На эти вопросы я попробую ответить в ходе своей работы.

Цель исследования: изучить признак делимости натуральных чисел.

Для достижения цели были поставлены задачи:

Изучить теоретический материал по данной проблеме; отработать полученные теоретические знания при решении задач; провести анкетирование среди учащихся 5-7 классов с целью выяснения уровня знаний по теме «Признаки делимости»; ознакомить одноклассников с универсальным методом делимости на любое натуральное число.

Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: признаки делимости.

Методы исследования: изучение и обработка литературных источников, систематизация данных; анализ; синтез; сравнение; анкетирование учащихся 5-7 классов.

Гипотеза исследования: предполагаю, что существует универсальный метод делимости на любое натуральное число.

Критериями оценки результативности работы являются знания об использовании признаков делимости при решении задач.

Практическая значимость: данный материал можно использовать в 5 – 8 классах на факультативных занятиях при изучении темы «Делимость чисел».

Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, что впервые был изучен универсальный метод делимости натуральных чисел в общеобразовательной школе.

Число является одним из основных понятий математики. О числах первый начал рассуждать Пифагор. Ему принадлежит высказывание «Всё прекрасно благодаря числу». Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах»: «Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной.» Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа русский математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703 г.).

Признаки делимости. (см. приложение №1,2)

Признаки делимости чисел можно классифицировать следующим образом( в каждой группе рассмотрим доказательство):

1) Признаки делимости, основанные на последних цифрах числа(признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 10, 25).

Доказательство. Возьмем некоторое четырехзначное число abcd и представим его в виде суммы разрядных единиц: abcd=1000a+100b+10c+d. Так как число 1000, 100 делятся на 4, то делится на 4 и сумма 1000a+100b. Двузначное число 10c+d делится на 4, то и число abcd делится на 4;если же 10c+d не делится на 4,то и abcd, не делится на 4.Например, число 15436 делится на 4, так как число 36 делится на 4.Число372514 не делится на 4,так как 14 не делится на 4.

Признак делимости на 3. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Доказательство. Пусть abcdef будет число, имеющее f единиц, е десятков, d сотен и т. д.: abcdef = a • 105 + b • 104 + c • 103 + d • 102 + e • 10 + f.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 (остатки от деления на 3).

Умножая цифры числа 3 303 033 021на остатки и, складывая почленно все эти значения, получаем:

3 3 0 3 0 3 3 0 2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3+3+0+3+0+3+3+0+2+1 = 18 : 3 = 9 : 3 = 3 (делится нацело)

Таким образом, натуральное число имеет тот же остаток от деления на 3, что и сумма его цифр. Из этого и вытекает сформулированный выше признак делимости на 3.

3) Признаки делимости, основанные на последней цифре числа и сумме цифр числа ( признаки делимости на 6, 12,15,).

Как узнать, не производя деления, делится ли число на 6? на 12? на30? Можно предположить, что число будет делиться на 6, если оно делится на 2 и на 3, но это предположение нуждается в доказательстве.

Признак делимости на 6 Для того чтобы число Х делилось на 6,необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Доказательство. Пусть число Х делится на 6. Тогда из того, что Х6 и 2, следует, что Х2, а из того, что Х6 и 63, следует, что Х3.

Например,126 делится на 6, так как оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на12 Для того чтобы число Х делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

Доказательство этого признака аналогично предыдущему.

Признак делимости на15 Для того чтобы число Х делилось на 15,необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

Список признаков делимости на составные числа можно продолжить. Их обобщением является следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы натуральное число делилось на составное число n=bc, где числа b и c таковы, что НОД(b, c)=1,необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на b и c.

4) Признаки делимости, связанные с разбиением цифр числа на группы (признаки делимости на 7,11,13).

Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Докажем признак делимости на 11( аналогичным способом как и на 3).

Проведем те же действия (умножим цифры числа на остатки и сложим все значения).Например: а) 4 5 9 1 4 4 5

Таким же способом можно получить признак делимости на 7. Мы имеем:

В результате мы получаем следующее правило: чтобы узнать остаток от деления натурального числа на 7, нужно справа налево подписать под цифрами этого числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно умножить каждую цифру на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число.

Возьмем для примера числа 4591 и 4907 и, действуя, как указано в правиле, найдем результат:Например:

-4+10+27+1 = 38 – 4 = 34 : 7 = 4 (остаток 6) (не делится нацело на 7)

б) возьмем число 8 546 216.

Таким же способом можно получить признак делимости на 13. Мы имеем:

… 108 107 106 105 104 103 102 10 1

Например: числа 872 232 325 и 260 390 265 265.

1) 8 7 2 2 3 2 3 2 5

2) 2 6 0 3 9 0 2 6 5 2 6 5

Этим способом можно найти признак делимости на любое число т. Надо только найти, какие коэффициенты (остатки от деления) следует подписывать под цифрами взятого числа. А для этого нужно каждую степень десяти 10 заменить по возможности имеющим тот же остаток при делении на т, что и число 10. При т = 3 или т = 9 эти коэффициенты получились очень простые: все они равны 1. Поэтому и признак делимости на 3 или на 9 получился очень простой. При т = 11 коэффициенты тоже были не сложными: они попеременно равны +1 и – 1. А при т =7 коэффициенты получились посложнее; поэтому и признак делимости на 7 получился более сложный. Рассмотрев признаки деления в пределах 100, я убедилась, что самые сложные коэффициенты у натуральных чисел 23 (с 1022 коэффициенты повторяются), 29 (с 1028 коэффициенты повторяются), 31; 37, 43, 53.

Заметим еще, что иногда признак делимости можно получить проще.

Число 268 513 можно записать следующим образом:

268 513 = 2 · 105 + 6 · 104 + 8 · 103 + 5 · 102 + 1· 10 + 3.

В этой записи каждая цифра умножается на соответствующую степень десяти. Если же мысленно разбить цифры числа (начиная справа) на группы, по две в каждой группе, то число запишется по-другому. Например:

1) 268 513 = 26 · 1002 + 85 · 100 + 13

2) 3 785 493 = 3 · 1003 + 78 · 1002 + 54 · 100 + 93.

Для произвольного шестизначного числа мы можем написать:

abcdef = ab · 1002 + cd · 100 + ef.

В этом случае число выражается через степени числа 100, а коэффициентами при этих степенях служат двузначные числа. Такой записью чисел тоже можно пользоваться для вывода признаков делимости.

Мы получили следующее правило: нужно справа налево подписать под каждой группой цифр этого числа коэффициенты (остатки от деления), затем нужно умножить каждую группу цифр на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и взятое число.

Можно также разбивать цифры числа на группы по три цифры в каждой. Тогда число будет выражено через степени числа 1000. Например:

3 658 941 =3 · 10002 + 658 · 1000 + 941.

…10008 10007 10006 10005 10004 10003 10002 1000

1) 53 012 869 745 012 811

Вывод: число 53 012 869 745 012 811 не делится на 7 нацело.

Вывод: число 624 781 889 347 делится на 7нацело.

Поэтому мы можем сформулировать следующий признак делимости на 7:

Разобьем цифры числа на группы, по три цифры в каждой (считая справа). Справа налево подписать под каждой группой цифр этого числа коэффициенты (остатки от деления): затем нужно умножить каждую группу цифр на стоящий под ней коэффициент и полученные произведения сложить; найденная сумма будет иметь тот же остаток от деления на 7, что и взятое число.

Данный приём – метод остатков можно использовать при выведении признака делимости на любое натуральное число.

в своей книге «Живая математика» раскрывает еще один признак делимости на 11, весьма удобный для практических надобностей. Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и грани эти складывают как двузначные числа. Если полученная сумма делится на 11, то и испытуемое число кратно11.

Рассмотрим три примера.

Число 154. Разбиваем на грани: 1-54. Складываем:1+54=55. Так как 55 кратно 11, то и 154 кратно 11. 154:11=14 Число 7843. Разбиваем на грани: 78-43. Складываем их: 78+43=121. Эта сумма делится на 11, значит, делится и испытуемое число. Число 4 375 632. Разбиваем на грани, складываем:4+37+56+32=129. Полученное число так же разбиваем на грани и складываем их:1+29=30. Число это не кратно 11, значит, не делится на 11 и число 129,а, следовательно, и первоначальное число 4 375 632.

Анализ анкетирования школьников

Я провела анкетирование ребят 5-7 классов (см. приложение 3). По результатам анкетирования выяснила, что 76% ребят знают основные признаки делимости на 2, 3, 9, 5, 10; 14 ребят забыли эти признаки; дополнительные признаки (на 4, 6, 7.11,12. ) знают только 35% ; 100% ответили, что хотели бы узнать больше о признаках делимости чисел, так как, по их мнению, эти знания им могут пригодиться.

Результаты анкетирования натолкнули меня на мысль найти интересные и занимательные задачи по этой теме. И некоторые из них решили на математическом кружке.

1. В шестизначном числе 1-я цифра совпадает с 4-й, 2-я с 5-й, 3-я с 6-й. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

Решение. Обозначим 1ц – а, 2я – в, 3я – с, тогда число авсавс= 100000а + 10000в + 1000с + 100а + 10в + с =1000 ( 100а + 10в + с ) + авс = 1000авс + авс = 1001авс = 11*7*13 авс кратно 7,11,13.

3. Три цифры пятизначного числа – четверки. Найдите это число, зная, что оно делится без остатка на 315.

Решение. Так как 315= 5* 7* 9, то последняя цифра искомого числа 0 или 5. Если это 0, то одна из его цифр 6 (по признаку делимости на 9), но из чисел 4446, 4464, 4644, 6444 ни одно не делится на 7. Если же последняя цифра 5, то одна из цифр 1. Условию отвечает только число 44415.

220 = 24* 5 = 220 – оканчивается так же, как 24 (6); 320 = 34* 5 = 320 – оканчивается так же, как 34 (1); 420 – оканчивается цифрой 6; 721 = 74* 5 +1 = 720 * 7 – оканчивается цифрой 7. Сложим последние цифры (единицы слагаемых): 6 + 1 + 6 + 7 =20. Сумма единиц оканчивается нулем, значит, заданное число кратно 10.

В ходе исследовательской работы я:

1.Изучила теоретический материал по данной теме, выведен универсальный признак делимости на любое натуральное число (метод остатков).

2. Систематизировала полученную информацию.

3.Показала применение признаков делимости при решении задач.

4.Получила навык работы с научной литературой, научилась более точно и грамотно излагать свои мысли, делать выводы.

5.Провела анкетирование среди учащихся 5-7 классов с целью выяснения уровня знаний по данной теме. Нашла интересные задачи, познакомила ребят с этими задачами на математическом кружке.

Современному человеку буквально на каждом шагу приходится иметь дело с числами. Нестандартные и занимательные задачи повышают у меня интерес к математике и я думаю, что мне предстоит изучить многое по данной теме и продолжить мои «маленькие» открытия.

«Азбука делимости».

Определение: Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число k, что a = bk.

Всякое число a, отличное от нуля, делится само на себя. Нуль делится на любое b, не равное нулю. Если a делится на b (b0) и b делится на c (c0), то a делится на c. Если a делится на b (b0) и b делится на a (a0), то числа a и b либо равны, либо являются противоположными числами.

Свойства делимости суммы и произведения:

Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то сумма делится на это число. Если в разности целых чисел уменьшаемое и вычитаемое делится на некоторое число, то и разность делится на некоторое число. Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся, на некоторое число, то сумма не делится на это число. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на m, а другой на n, то произведение делится на mn.

Признак делимости на 3. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.

Признак делимости на 9. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

Анкета «Признаки делимости»

1.Продолжи признак делимости :

а) Все четные числа делятся на.

б) Если запись числа оканчивается на 0 и 5, то число делится на.

в) Если запись числа оканчивается на 0, то число делится на.

г) Если сумма цифр числа делится на. то и все число делится на.

д) Если 2 последние цифры образуют число, которое делится на. то и все число делится на.

е) Если 3 последние цифры образуют число, которое делится на. то и все число делится на.

ж)Если разность между суммой цифр, стоящих на четных местах и суммой цифр, стоящих на нечетных местах (или наоборот) делится на. то и само число делится на.

з)Если разность, сотоящая между трехзначным числом, записанным последними цифрами данного числа, и числом, записанным остальными цифрами числа, сохраняя порядок их следования( или наоборот) делится на. то и все число делится на.

2. Даны числа: 1092, 2160, 4104, 6578, 176495. Какие из чисел делятся:на 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

Диаграмма » Уровень знаний учащихся».

Список используемой литературы

7. Справочник по элементарной математике. – М.: Издательство «Наука», 1976.-347с.

Источник