Для чего нужны различные системы счисления доклад
Доклад Системы счисления по информатике 5, 8 класс сообщение
Мы привыкли к цифрам, которые называются арабскими. Называются они так, потому что впервые были обоснованны и напечатаны на арабском языке. Это несложно и не составляет проблем для понимания. В системе счисления эти же самые цифры будут называться десятичными. Почему? Ответ на этот вопрос также не труден. Всё потому, что при счёте мы используем всего 10 цифр от 0 до 9, а затем они начинают повторяться.
Но десятичная система счисления – не единственная. Их существует множество. Рассмотрим самые популярные из них:
Двоичная система счисления
В этой системе счисления используются только две цифры: 0 и 1. Единица представляет собой степень двойки. Чем больше единиц в записи, тем больше число. На двоичной системе вычисления построена работа многих современных вычислительных машин. Например, число 1001 в двоичной системе счисления, это тоже самое что 9 в десятичной. Расчёт ведётся так: справа – налево в двоичном числе проставляются степени, затем единицы «заменяются» на двойки возводятся в степень и складываются между собой. Так, если мы проведём эту процедуру с числом 1001. То мы получим: 2 в 0 степени + 2 в третьей степени или 1 + 8 получим 9.
Пятеричная система счисления
В этой системе счисления существует всего пять цифр. Поэтому основанием данной системы является пятёрка. Чтобы возвести число из десятичной системы в пятеричную, необходимо делить это число на пять записывая остатки. После того, как при делении не останется целой части, деление прекращается, а остатки складываются снизу вверх. Например число 24( 10-чная система счисления) в пятеричной системе будет выглядеть как 44. 24/5 = 4 и 4 в остатке. 4/5 = 0 и 4 в остатке, остатки записываем считая снизу вверх. То есть, если бы при первом делении у нас получилось пять, то число выглядело бы как 45, а не 54.
Восьмеричная система счисления
Вариант №2
Системы счисления (СС) – это последовательность цифр и английских букв, записанная по определенным правилам. СС бывают позиционными и непозиционными. Позиционные системы – это такие системы, в которых определенный символ числа имеет различное значение, находясь на различных позициях. Например, десятичная система является позиционной. Число 25 не равно числу 52, так как определенный символ, например 5, зависит от местоположения. В непозиционных системах счисления символ не зависит от расположения в числе.
Самые распространенные системы: десятичная, восьмеричная, двоичная, шестнадцатеричная. В десятичной системе алфавит состоит из цифр от 0 до 9. Можно производить над числами этой системы такие операции, как сложение, вычитание, деление и умножение.
Алфавит восьмеричной системы имеет 8 символов и состоит из цифр от 0 до 7; алфавит двоичной – из двух цифр: 0 и 1. Самая необычная СС – шестнадцатеричная. В ее алфавит входят арабские цифры от 0 до 9, а так же английские большие буквы от A до F. Операции над числами можно проводить такие же, как с числами десятичной системы счисления.
Таким образом, системы счисления – это очень важный раздел в информатике. Одно и то же число в разной системе может быть представлено по-разному. В информатике самая распространенная система – двоичная. Компьютер работает с двоичным кодом, поэтому двоичная СС – одна из интересных и сложных тем в информатике.
5, 8 класс по информатике
Системы счисления
Популярные темы сообщений
Невидимые нити окружают нас повсеместно. Это неразличимые связи между живой и неживой природой, или между растениями и животными, разнообразными животными, человеком и природой.
Тем временем пока египтяне возводили гробницы фараонам, античные народы Африки, Европы, Индии и Кореи из громадных обломков каменных пластин сооружали удивительные постройки – дольмены. Они состоят из гигантских платформ:
Франц Шуберт – композитор, который был представителем такого течения как романтизм в музыке. Этот стиль отличался от строгой спокойной классики взрывом эмоций и чувств. Музыка волновала и заставляла сопереживать.
Реферат на тему: Системы счисления
Содержание:
| Тип работы: | Реферат |
| Дата добавления: | 21.01.2020 |
Если вам тяжело разобраться в данной теме напишите мне в whatsapp разберём вашу тему, согласуем сроки и я вам помогу!
Если вы хотите научиться сами правильно выполнять и писать рефераты по любым предметам, то на странице «что такое реферат и как его сделать» я подробно написала.
Введение
На протяжении всей жизни мы сталкиваемся с числами и выполняем с ними арифметические операции. Это нас не удивляет. Мы принимаем это как факт. И откуда взялись цифры и результат? Что такое цифровая система? Где мы теперь с ними встретимся? Мне было очень интересно, поэтому я решил изучить этот предмет.
Меня также интересует эта тема, потому что двоичная система счисления сегодня стала очень важной благодаря ее применению в электронных компьютерах. Численные системы с базами 8 и 16 используются в программировании различных процессов на компьютерах.
Моей целью было познакомиться с историей учетных и числовых систем, числовых систем, используемых в информатике, позиционных и непозиционных числовых систем, а также арифметических операций в различных системах. В данной диссертации рассматриваются различные вычислительные системы.
История создания систем счисления
Там, где ты ходил босиком, можно было легко сосчитать до 20 на пальцах. Следы использования при подсчете базовой двадцатки сохранились. Например, во французском языке цифра 80 в буквальном переводе на русский звучит как «четырежды двадцать».
Перепись также была разделена на десятки, т.е. перепись по системе с базой 12. Его происхождение связано с 12 фалангами на четырех пальцах руки (кроме большого пальца). Даже сейчас некоторые пункты все еще считаются десятками. Столовые приборы состоят из полдюжины или дюжины комплектов.
В древнем Вавилоне, где математика была очень сложной, существовала очень сложная шестнадцатеричная система счисления. В настоящее время мы также используем эту систему. Например: 1 час=60 минут; 1 минута=60 секунд.
Таким образом, все системы (пять, двенадцатеричная, двадцать) связаны с тем или иным способом счета пальцами рук (или рук и ног). Переход человека к счету пальцев привел к созданию различных систем подсчета.
Вычислительные системы, используемые в компьютерной технике
В зависимости от того, как номера представлены с использованием чисел, система счисления делится на позиционные и непозиционные.
В непозиционных системах каждое число определяется как функция от числовых значений набора чисел, который представляет собой это число. Числа в непозиционных системах нумерации соответствуют некоторым фиксированным числам. Исторически сложилось так, что позиционные системы были первыми вычислительными системами. Одним из главных недостатков является сложность написания больших чисел. Написание больших чисел в таких системах либо очень громоздко, либо системный алфавит чрезвычайно велик. Не-позиционные системы не используются в компьютерных технологиях.
Система счисления называется позиционной, когда одна и та же цифра может принимать различные числовые значения в зависимости от того, какая позиция цифры присутствует в наборе цифр, представляющих определенное число. Примером такой системы является арабская десятичная система счисления.
Фактическое количество и количество акций могут отображаться различными способами. В основе системы нумерации элементов лежит ее название. В информатике используются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы. Для явного указания используемой системы счисления заключим номер в скобки и укажем основу системы счисления в нижнем индексе. Каждая позиция в номере соответствует коэффициенту позиции (цифра) или весу.
В настоящее время позиционные системы нумерации встречаются чаще, чем непозиционные. Это связано с тем, что они позволяют записывать большие числа относительно небольшим количеством символов. Еще более важным преимуществом систем позиционирования является простота и легкость арифметических операций по сравнению с числами, написанными в этих системах.
Преобразование чисел в десятичную систему осуществляется путем суммирования последовательности степеней с основанием системы, из которой переводится число. Затем вычисляется значение суммы.
Как правило, вычислительные машины могут быть встроены в любую систему счисления. Но десятичная система, с которой мы так хорошо знакомы, была бы крайне непрактична. Если в механических вычислительных машинах, использующих десятичную систему, достаточно просто применить один элемент с большим количеством состояний (колесо с десятью зубцами), то в электронных машинах нужно применить 10 различных потенциалов в цепях.
Непозиционные системы счисления
В настоящее время как позиционные, так и непозиционные системы расчета широко используются как в технологии, так и в быту.
В непозиционных системах нумерации вес фигуры не зависит от позиции, которую она занимает среди них. Примером непозиционной системы счисления является римская система счисления. Он появился в Древнем Риме и существует до сих пор. Традиционно используется для нумерации веков или для создания оглавления печатных произведений. Римские цифры можно найти на циферблатах часов.
В современной жизни наиболее показательным вариантом использования системы непозиционного учета являются денежные отношения. Мы сталкиваемся с ними каждый день. Никому не приходит в голову, что сумма, которую мы тратим на еду в магазине, может зависеть от того, в каком порядке мы поставим монеты на стол. Номинальная стоимость монеты не зависит от порядка, в котором она была взята из кошелька. Это классический пример непозиционной системы подсчета.
Таким образом, в настоящее время система нумерации должностей является наиболее распространенной.
Cистемы нумерации изделий
Таким образом, системы позиционирования удобны тем, что позволяют захватывать большие числа с небольшим количеством символов при выполнении простых арифметических операций, которые легко выполнять.
Десятичная система счисления
Основой десятичной системы числа 10 является число 10, которое является единицей второй цифры, единицей третьей цифры будет 100 = 102, в общем случае единица каждой следующей цифры в десять раз больше, чем единица предыдущей цифры (предполагается, что выбор в качестве основы Д.С. числа 10 связан с подсчетом на пальцах).
Д. с. с. основывается на принципе позиции, т.е. в ней один и тот же символ (число) имеет различные значения в зависимости от того, где он находится. Поэтому только первые 10 номеров требуют специальных символов для покрытия всех номеров. Эти символы, которые обозначаются символами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называются цифрами. Для захвата числа вы определяете, сколько единиц высшей цифры в нем содержится; остальное определяется как количество единиц высшей цифры, на единицу меньше, и так далее. Полученные цифры записываются бок о бок: например, 4×102 + 7×101 + 3×100 = 473.
Таким образом, действия выполняются над числами в цифрах, т.е. отдельно над цифрами каждой цифры; если при этом числа складываются более чем до 10 (в случае сложения, умножения), то к следующей, более высокой цифре прибавляется одна или более единиц; в случае деления и вычитания, цифры должны быть разделены на более мелкие.
В современной жизни наиболее показательным вариантом использования системы непозиционного учета являются денежные отношения. Мы сталкиваемся с ними каждый день. Никому не приходит в голову, что сумма, которую мы тратим на еду в магазине, может зависеть от того, в каком порядке мы поставим монеты на стол. Номинальная стоимость монеты не зависит от порядка, в котором она была взята из кошелька. Это классический пример непозиционной системы подсчета.
Таким образом, в настоящее время система нумерации должностей является наиболее распространенной.
Двоичная система счисления
Для того, чтобы число, записанное в десятичной системе, было записано в D.S., оно делится на 2, а результирующие остатки 0 и 1 составляют записывается в порядке от последнего к первому: 43 = 21-2 +1; 21 = 10-2 +1; 10 = 5-2 +0; 5 = 2-2 +1; 2 = 1-2 + 0; 1 = 0-2 + 1; двоичный вход числа 43, таким образом, 101011. Таким образом, 101011 в DPS означает 1-20+1-21 + 0CH22 +1CH23 + 0-24 + 1-25.
В Д. с. с. все арифметические операции выполняются особенно легко: например, таблица умножения сводится к четности 1-1 = 1. Однако, запись в EPS очень громоздка: число 9000, например, будет иметь 14 цифр.
В связи с тем, что двоичная система счисления использует только две цифры, она часто полезна для теоретических вопросов и для вычислений на ЦВМ.
Восьмеричная система счисления
Восьмеричная система наиболее часто используется в областях, связанных с цифровым оборудованием. Таким образом, восьмеричная система счисления служит простейшим языком общения между человеком и компьютером.
Шестнадцатеричная система счисления
Преобразование из шестнадцатеричной системы в двоичную и наоборот осуществляется таким же образом, как и для восьмеричной системы.
Шестнадцатеричная система счисления на сегодняшний день является самым популярным способом компактного написания двоичных чисел. Он широко используется при разработке и проектировании цифровых технологий и, как восьмеричная система счисления, служит человеку как самый простой язык общения с компьютером.
Переход от одной системы номеров к другой
Передача из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Чтобы преобразовать целое число из любой системы счисления в десятичное, необходимо написать это число в общих чертах:
Пример: Преобразуем число 12568 в десятичную систему счисления.
12568=1·8 3 +2·8 2 +5·8 1 +6·8 0 =1·512+2·64+5·8+6·1=68610
Доклад по математике «Системы счисления»
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
(позиционная и непозиционная)
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ (нумерация) – совокупность способов обозначения натуральных чисел.
На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая бóльшее число предметов, объединялась в понятии «много». Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. В древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись буквы славянского алфавита; при изображении чисел над ними ставился знак
Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем «римской нумерации», в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. Сейчас ею пользуются для обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т.д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:
I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000.
О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если бóльшая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед бóльшей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из бóльшей). Например, VI = 6, т.е. 5 + 1, IV = 4, т.е. 5 – 1, XL = 40, т е. 50 – 10, LX = 60, т.е. 50 + 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).
Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.
Другие же числа записываются, например, как:
XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.
Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 в., а в других странах Западной Европы – до 16 в.
В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде
СЛА (C – 200, Л – 30, А – 1).
Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций.
Более удобной и общепринятой и наиболее распространенной является десятичная система счисления, которая была изобретена в Индии, заимствована там арабами и затем через некоторое время пришла в Европу. В десятичной системе счисления основанием является число 10.
Существовали системы исчисления и с другими основаниями. В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты – на 60 секунд.
Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда – числа 12 – «дюжина». Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжинами, например, столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре. Название единицы третьего разряда в двенадцатеричной системе – гросс – встречается теперь редко, но в торговой практике начала столетия оно еще бытовало. Например, в написанном в 1928 стихотворении Плюшкин В.В.Маяковский, высмеивая людей, скупающих все подряд, писал: «. укупил двенадцать гроссов дирижерских палочек». У ряда африканских племен и в Древнем Китае была употребительна пятеричная система счисления. В Центральной Америке (у древних ацтеков и майя) и среди населявших Западную Европу древних кельтов была распространена двадцатеричная система. Все они также связаны со счетом на пальцах.
Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах.
Позиционные и непозиционные системы счисления.
Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.
В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятeричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки.
Однако наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной , так как в ней десять цифр.
Различие между позиционой и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Бóльшая цифра соответствует бóльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.
Позиционные системы счисления.
1035 10 =1·10 3 + 0·10 2 + 3·10 1 + 5·10 0 ;
1010 2 = 1·2 3 + 0·2 2 + 1·2 1 + 0·2 0 = 10.
Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.
Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.
Почему же не используются другие системы счисления? В основном, потому, что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.
Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Наиболее часто встречающиеся системы счисления – это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления? Есть различные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую на конкретных примерах.
567 = 1·2 9 + 0·2 8 + 0·2 7 + 0·2 6 + 1·2 5 + 1·2 4 + 0·2 3 + 1·2 2 + 1·2 1 + 1·2 0
При другом способе перевода чисел используется операция деления в столбик. Если взять то же число 567 и разделить его на 2, получается частное 283 и остаток 1. Та же операция производится и с числом 283. Частное – 141, остаток – 1. Опять полученное частное делится на 2 и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, т.е. 1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки.
Результат, естественно, не изменился: 567 в двоичной системе счисления записывается как 1 000 110 111.
Второй способ состоит в последовательном делении в столбик, с единственным отличием в том, что делить надо не на 2, а на 16, и процесс деления заканчивается, когда частное становится строго меньше 16.
Конечно, для записи числа в шестнадцатеричной системе счисления, необходимо заменить 10 на A, 11 на B и так далее.
Например,так можно перевести число 4A3F в десятичную систему. По определению, 4A3F= 4·16 3 + A·16 2 + 3·16 + F. При замене A на 10, а F на 15, получается 4·16 3 + 10·16 2 + 3·16 + 15= 19007.
Таблица 1. Двоично-шестнадцатеричная таблица
Таблица 1. ДВОИЧНО-ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ ТАБЛИЦА
Системы счисления
История создания систем счисления. Системы счисления, используемые в вычислительной технике. Сравнение непозиционных и позиционных систем счисления. Изучение основных правил десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 31.10.2016 |
| Размер файла | 304,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Негосударственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский университет управления и экономики»
Кафедра Информационных технологий и математики
Санкт-Петербург 2014 год
система счисление вычислительный техника
1. История создания систем счисления
2. Системы счисления, используемые в вычислительной технике
3. Непозиционные системы счисления
4. Позиционные системы счисления
5. Десятичная система счисления
6. Двоичная система счисления
7. Восьмеричная система счисления
8. Шестнадцатиричная система счисления
9. Перевод из одной системы счисления в другую
Список использованных источников
На протяжении всей своей жизни мы сталкиваемся с числами и выполняем над ними арифметические действия. Нас это не удивляет. Мы воспринимаем это, как факт, как само собой разумеющееся. А откуда возникли числа и счет? Что такое система счисления? Где сейчас мы сталкиваемся с ними? Мне стало очень интересно, и я решила изучить эту тему.
Данная тема мне интересна еще и потому, что в настоящее время двоичная система счисления приобрела большое значение в связи с ее применением в электронных вычислительных машинах. Системы счисления с основанием 8 и 16 применяются в программировании различных процессов на вычислительной технике.
Я поставила перед собой цель: познакомиться с историей возникновения счета и систем счисления, изучить системы счисления, используемые в вычислительной технике, позиционные и непозиционные системы счисления и арифметические действия в различных системах. В данной работе будут рассмотрены разные системы счисления.
1. История создания систем счисления
В древности людям приходилось считать на пальцах. Кроме пальцев считать нужно было много предметов, к счету привлекали больше участников. Один считал единицы, второй — десятки, третий — сотни. Очевидно, такой счет лег в основу системы счисления, принятой почти у всех народов, она называется десятичной системой. Счет с основанием десять применяли и у восточных славян.
Где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20. Сохранились следы использования при счете основания двадцать. Например, во французском языке число 80 в дословном переводе на русский язык звучит как «четырежды двадцать».
Так же был распространен счет дюжинами, то есть счет, при котором пользовались системой с основанием 12. Её происхождение связано с 12 фалангами на четырёх пальцах руки (кроме большого). Еще и сейчас некоторые предметы принято считать дюжинами. Столовые приборы состоят из полудюжины или дюжины комплектов.
В древнем Вавилоне, где математика была очень высоко развита, существовала весьма сложная шестидесятеричная система счисления. В наше время мы тоже используем эту систему. Например: 1 час=60 минут; 1 минута=60 секунд.
Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система зародилась, и наибольшее распространение получила в Америке. Ее создание относится к эпохе, когда человек считал по пальцам одной руки. До последнего времени у некоторых племен пятеричная система счисления сохранилась еще в чистом виде.
Таким образом, все системы (пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная) связаны с тем или иным способом счёта по пальцам рук (или рук и ног). Переход человека к пальцевому счету привел к созданию различных систем счисления./1/
2. Системы счисления, используемые в вычислительной технике
Системой счисления называют систему приемов и правил, позволяющих устанавливать взаимнооднозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов. Множество символов, используемых для такого представления, называют цифрами.
В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, представляющих это число. Цифры в непозиционных системах счисления соответствуют некоторым фиксированным числам. Исторически первыми системами счисления были именно непозиционные системы. Одним из основных недостатков является трудность записи больших чисел. Запись больших чисел в таких системах либо очень громоздка, либо алфавит системы чрезвычайно велик. В вычислительной технике непозиционные системы не применяются.
Количества и количественные составляющие, существующие реально могут отображаться различными способами. Основание позиционной системы счисления определяет ее название. В вычислительной технике применяются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы. В дальнейшем, чтобы явно указать используемую систему счисления, будем заключать число в скобки и в нижнем индексе указывать основание системы счисления. Каждой позиции в числе соответствует позиционный (разрядный) коэффициент или вес./2/
Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.
В целом вычислительные машины могут быть построены в любой системе счисления. Но столь привычная для нас десятичная система окажется крайне неудобной. Если в механических вычислительных устройствах, использующих десятичную систему, достаточно просто применить элемент со множеством состояний (колесо с десятью зубьями), то в электронных машинах надо было бы иметь 10 различных потенциалов в цепях./3/
3. Непозиционные системы счисления
В настоящее время и в технике и в быту широко используются как позиционные, так и непозиционные системы счисления.
Таким образом, в настоящее время позиционная система счисления является наиболее распространенной.
4. Позиционные системы счисления
Таким образом, позиционные системы удобны тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью небольшого числа знаков, просто и легко выполняются арифметические действия. /4/
5. Десятичная система счисления
Д. с. с. основана на позиционном принципе, т. е. в ней один и тот же знак (цифра) имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. В связи с этим для записи всех чисел нуждаются в особых символах только первые 10 чисел. Символы эти, обозначаемые знаками 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, называются цифрами. Для записи числа определяют, сколько в нём содержится единиц наивысшего разряда; затем в остатке определяют число единиц разряда, на единицу меньшего, и т.д. Полученные цифры записывают рядом: например 4Ч10 2 + 7Ч10 1 + 3Ч10 0 = 473.
Таким образом, действия над числами производятся поразрядно, т. е. отдельно над цифрами каждого разряда; если при этом получаются числа больше 10 (при сложении, умножении), то прибавляют одну или несколько единиц к следующему, более высокому разряду; при делении и вычитании приходится разбивать разряды на более мелкие./4/
6. Двоичная система счисления
В Д. с. с. особенно просто выполняются все арифметические действия: например, таблица умножения сводится к одному равенству 1·1 = 1. Однако запись в Д. с. с. очень громоздка: например, число 9000 будет 14-значным.
Благодаря тому, что в двоичной системе счисления используются лишь две цифры, она часто бывает полезной в теоретических вопросах и при вычислениях на ЦВМ./5/
7. Восьмеричная система счисления
Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Таким образом, восьмеричная система счисления выступает в качестве простейшего языка общения человека с ЭВМ. /5/
8. Шестнадцатиричная система счисления
Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.
Шестнадцатеричная система счисления, на сегодняшний день является наиболее популярным средством компактной записи двоичных чисел. Она очень широко используется при разработке и проектировании цифровой техники, и как восьмеричная система счисления служит человеку в качестве простейшего языка общения с ЭВМ. /6/
9. Перевод из одной системы счисления в другую
1. Перевод из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Для перевода целого числа из любой системы счисления в десятичную, необходимо записать данное число в общем виде:
Например: переведем число 12568 в десятичную систему счисления.
2. Правило перевода числа из десятичной системы счисления в другую систему.
2.1 Делим данное число на основание той системы, в которую необходимо перевести число.
2.2 Полученное число делим аналогично на основание системы, в которую необходимо перевести число.
2.3 Пункт 2 повторяем до тех пор пока, полученное частное не будет меньше основания.
2.4 Выписываем остатки от деления в порядке от последнего к первому./7/