Для чего нужны условия однозначности

Условия однозначности для процессов теплопроводности

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выве­дено на основе самого общего закона термодинамики, то оно опи­сывает явление теплопроводности в самом общем виде, т.е. оно описывает целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс теплопроводности и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математиче­ское описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями. Условия однозначности включают в себя:

1. Геометрические условия, которыми задаются форма и линейные размеры тела.

2. Физические условия, которыми задаются физические параметры тела (λ, с, ρ и др.) и может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты.

3. Начальные условия, характеризующие распределение температуры в изучаемом теле в начальный момент времени. Начальные условия необходимы лишь при рассмотрении нестационарных процес­сов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальные усло­вия аналитически могут быть записаны следующим образом (при τ = 0):

При равномерном распределении температуры в теле начальные условия упрощаются (при τ = 0):

4. Граничные условия, характеризующие взаимодействие рас­сматриваемого тела с окружающей средой. Граничные условия могут быть заданы четырьмя способами.

I) Граничные условия I рода. Задается распределение темпе­ратуры на поверхности тела для каждого момента времени:

В частном случае, когда температура на поверхности тела не изменяется во времени, и если она постоянна по поверхности, то

2) Граничные условия П рода.

В этом случае задаются значения плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени. Ана­литически это можно представить следующим образом:

В простейшем случае, если плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной:

Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании заготовок в высокотемпературных печах.

3) Граничные условия Ш рода.

, (20)

где α- коэффициент теплоотдачи, Вт/м 2 К, характеризующий интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

Коэффициент теплоотдачи α численно равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи (по уравнению 20), должно равняться количеству теплоты, подведенному к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела (по уравнению 9), т.е.

(21)

индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относят­ся к поверхности тела (стенка).

Окончательно граничное условие Ш рода можно записать в виде

(22)

4) Граничные условия IV рода формируются на основании равен­ства тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкос­новения тела с окружающей средой или поверхность соприкоснове­ния трердых тел, по закону теплопроводности, т.е.

(23)

При совершенном тепловом контакте оба тела на поверхности соприкосновения имеют одинаковую температуру.

Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение теплопроводности (16), которое совместно с условиями однозначности дает полную математическую формулировку конкретной задачи теплопроводности. Решение этой задачи может быть выполнено аналитическим, численным или экспериментальным методом. Ниже рассмотрим конкретные задачи процессов теплопроводности в различных телах аналитическим методом.

1.7. Стационарная теплопроводность плоских стенок (q)

Рассмотрим теплопроводность в плоских стенках при стаци­онарном режиме (∂t/∂τ = 0) и отсутствии внутренних источников тепла (q_v =0). В этом случае дифференциальное уравнение теп­лопроводности принимает вид:

(24)

Источник

УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛООБМЕНА

Для решения практических задач энергосбережения в строительстве и промышленности требуется знание теплового потока, градиента темпера­тур, распределения температур внутри объема тела. Поэтому для каждого конкретного случая к дифференциальному уравнению теплопроводности добавляют математические условия или ряд дополнительных уравнений, называемых условиями однозначности задачи.

Условия однозначности включают в себя геометрические, физические, временные и граничные условия.

Геометрические условия характеризуют геометрические и линейные размеры тела, участвующего в процессе теплообмена.

Физические условия характеризуют физические свойства тела, среды (X, с, р, а) или задается закон внутреннего тепловыделения.

Временные или начальные условия характеризуют особенности проте­кания процесса во времени или распределение температуры внутри тела в начальный момент времени: при т = 0 и Т = f (x, y, z). Очень часто в началь­ный момент времени тело имеет равномерную одинаковую температуру по всему объему: т = 0 и Т = Т0 = const.

Граничные условия характеризуют процессы теплообмена между по­верхностью тела и окружающей средой.

Граничные условия задаются несколькими возможными случаями:

Q = а(Тп — Тс) или —X(dJ/dn) = а(Тп — Тс).

Вопросы стационарной и нестационарной теплопроводности для пло­ских, цилиндрических, тел сложной конфигурации, расчета температурных полей и энергосбережения рассмотрены в [13, 37].

Источник

Условия однозначности

Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы из этого множества выделить конкретное решение, дифференциальное уравнение нужно дополнить условиями однозначности.

Условия однозначности включают в себя:

— геометрические условия (форма и размеры тела);

— физические условия, характеризующие такие свойства тела, как теплопроводность, плотность, теплоёмкость;

— начальное условие, определяющее распределение температуры в теле в начальный момент времени;

— граничные условия, определяющие взаимодействие тела с окружающей средой.

Форма тела в значительной мере определяет выбор системы координат. Перенос тепла в параллелепипедах удобнее и проще описывать в прямоугольной декартовой системе координат. Для тел вращения больше подходит цилиндрическая система координат. Для сферических тел – сферическая система координат и т.д.

Начальное условие необходимо задавать при решении нестационарных задач. В общем виде это условие можно записать в виде:

при .

Граничные условия могут быть заданы различными способами. В зависимости от способа задания различают граничные условия первого, второго, третьего и четвёртого родов ( I, II, III, IV).

Граничные условия первого рода задают распределение температуры на поверхности тела

,

где – температура на поверхности тела.

Граничные условия второго рода задают значение плотности теплового потока для всех точек на поверхности тела.

.

Здесь n – нормаль к поверхности; x,y,z – координаты точек на поверхности тела. Такие случаи теплообмена обычно наблюдаются в нагревательных печах при радиационном теплообмене.

.

Коэффициент теплоотдачи зависит от большого количества факторов.

Граничные условия четвёртого рода задаются в области контакта двух твёрдых тел или твёрдого тела и жидкости. Такие граничные условия называются также сопряжёнными. Предполагается, что тепловой контакт является идеальным. В этом случае на поверхности контакта имеет место равенство температур двух тел, а также равенство плотностей теплового потока.

и .

Граничные условия четвёртого рода физически являются наиболее точными, однако в случае контакта твёрдого тела с жидкостью их реализация сопряжена со значительными трудностями.

Источник

Условия однозначности для процессов теплопроводности

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выве­дено на основе самого общего закона термодинамики, то оно опи­сывает явление теплопроводности в самом общем виде, т.е. оно описывает целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс теплопроводности и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математиче­ское описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями. Условия однозначности включают в себя:

1. Геометрические условия, которыми задаются форма и линейные размеры тела.

2. Физические условия, которыми задаются физические параметры тела (λ, с, ρ и др.) и может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты.

3. Начальные условия, характеризующие распределение температуры в изучаемом теле в начальный момент времени. Начальные условия необходимы лишь при рассмотрении нестационарных процес­сов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальные усло­вия аналитически могут быть записаны следующим образом (при τ = 0):

При равномерном распределении температуры в теле начальные условия упрощаются (при τ = 0):

4. Граничные условия, характеризующие взаимодействие рас­сматриваемого тела с окружающей средой. Граничные условия могут быть заданы четырьмя способами.

I) Граничные условия I рода. Задается распределение темпе­ратуры на поверхности тела для каждого момента времени:

В частном случае, когда температура на поверхности тела не изменяется во времени, и если она постоянна по поверхности, то

2) Граничные условия П рода.

В этом случае задаются значения плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени. Ана­литически это можно представить следующим образом:

В простейшем случае, если плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной:

Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании заготовок в высокотемпературных печах.

3) Граничные условия Ш рода.

, (20)

где α- коэффициент теплоотдачи, Вт/м 2 К, характеризующий интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

Коэффициент теплоотдачи α численно равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи (по уравнению 20), должно равняться количеству теплоты, подведенному к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела (по уравнению 9), т.е.

(21)

индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относят­ся к поверхности тела (стенка).

Окончательно граничное условие Ш рода можно записать в виде

(22)

4) Граничные условия IV рода формируются на основании равен­ства тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкос­новения тела с окружающей средой или поверхность соприкоснове­ния трердых тел, по закону теплопроводности, т.е.

(23)

При совершенном тепловом контакте оба тела на поверхности соприкосновения имеют одинаковую температуру.

Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение теплопроводности (16), которое совместно с условиями однозначности дает полную математическую формулировку конкретной задачи теплопроводности. Решение этой задачи может быть выполнено аналитическим, численным или экспериментальным методом. Ниже рассмотрим конкретные задачи процессов теплопроводности в различных телах аналитическим методом.

1.7. Стационарная теплопроводность плоских стенок (q )

Рассмотрим теплопроводность в плоских стенках при стаци­онарном режиме (∂t/∂τ = 0) и отсутствии внутренних источников тепла (q_v =0). В этом случае дифференциальное уравнение теп­лопроводности принимает вид:

(24)

Источник

УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе общих законов физики, то оно описывает явление теплопро­водности в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что полученное дифференциальное уравнение описывает целый класс явлений тепло­проводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математи­ческое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса.

Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным урав­нением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя:

геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в которых протекает процесс;

физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела;

временные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени;

граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматри­ваемого тела с окружающей средой.

Геометрическими условиями задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс.

Физическими условиями задаются физические параметры тела , с, и др. и может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестацио­нарных процессов и состоят в задании закона распределения темпера­туры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае началь­ное условие аналитически может быть записано следующим образом:

при =0

В случае равномерного распределения температуры в теле началь­ное условие упрощается:

при =0

Граничные условия могут быть заданы несколькими спо­собами.

а) Граничные условия первого р о д а. При этом задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

t_c = f(x, y, z, ), (1.32)

где t_c—температура на поверхности тела; х, у, z— координаты поверх-, ности тела.

В частном случае, когда температура на поверхности является по­стоянной на протяжении всего времени протекания процессов тепло­обмена, уравнение (1.32) упрощается и принимает вид:

б) Граничные условия второго рода. При этом зада­ются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени.

Аналитически это можно представить следующим образом:

где q_п—плотность теплового потока на поверхности тела; х, у, z —координаты на поверхности тела.

В простейшем случае плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной:

Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании различных металлических изделий в высокотемпературных печах.

в)Граничные условия третьего рода. При этом зада­ются температура окружающей среды t_ж и закон теплообмена между
поверхностью тела и окружающей средой. Граничное условие третьего
рода характеризует закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой в процессе охлаждения и нагревания тела. Для описа-­
ния процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона—Рихмана.

Процесс теплообмена между поверхностью тела и средой относится к очень сложным процессам и зависит от большого количества пара­метров. Согласно закону Ньютона—Рихмана количество теплоты, отдавае­мое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела t_c я окружающей среды t_ж(t_c t_ж)

q= (t_c—t_ж ), (1.35)

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур меж­ду поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

(1.36)

где n — нормаль к поверхности тела; индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела (при n = 0).

Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в виде

(1.37)

Уравнение (1.37) по существу является частным выражением зако­на сохранения энергии для поверхности тела.

Коэффициент теплоотдачи зависит от большого числа факторов. Однако во многих случаях коэффициент теплоотдачи можно считать неизменным, поэтому мы будем в дальнейшем при решении задач тепло­проводности принимать величину постоянной.

г)Граничные условия четвертого рода характеризуют
условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по
закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт (температуры, соприкасающихся поверхно­стей одинаковы).

В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых по­токов, проходящих через поверхность соприкосновения:

(1.38)

В задачах с граничным условием четвертого рода задается отноше­ние тангенсов угла наклона касательных к температурным кривым в точке соприкосновения тел или тела и сре­ды (рисунок 1.4)

Рисунок 1.4 – К граничным условиям четвертого рода

(1.39)

Так как при совершенном контакте оба тела на поверхности соприкосновения имеют одинаковую температуру, то касательные у по­верхности раздела проходят через одну и ту же точку (рисунок 1.4).

Дифференциальное уравнение (1.26) со­вместно с условиями однозначности дают пол­ную математическую формулировку конкрет­ной задачи теплопроводности. Поставленная таким образом задача разрешается аналити­ческим, численным или экспериментальным

методом. В случае экспериментального решения задач теплопроводно­сти используются методы физического моделирования или тепловых аналогий.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник