Для чего служит ноль в математике
Число ноль, цифра десять или зачем учить математик
Число «ноль», цифра «десять»
или
Зачем учить математику.
Сегодня «интернет» попросил меня ответить на вопрос: «Как объяснить первокласснику, зачем нужно учить математику?» Видимо, мотивировать первоклассников становится всё трудней. И это не удивительно! Потому что большой грех детишек обманывать!
И вдруг, уже в первом классе, с математикой у многих возникают проблемы. Почему? Уж не потому ли, что согласно требованиям ФГОС в программе первого класса есть «число ноль»? Учитель не только обязан объяснить ребёнку «ПРО ТО, ЧЕГО НЕТ», но ещё и научить СЧИТАТЬ, начиная с того, чего нет. Остаётся только спросить:»КАК?»
Всем известно, что мы сегодня пользуемся десятеричной системой счисления. Знаем, что цифр в ней используется десять, и это ровно точно соответствует количеству пальцев на двух руках каждого обычного человека. Тех самых пальцев, которые мы так любим загибать к себе или по-британски оттопыривать при счёте.
И, разумеется, сначала ребёнок должен научиться считать на пальцах: складывать и вычитать в пределах десяти, а уж потом переходить к сотне! Так и было раньше. Кто постарше, наверное, помнит свой круглый пенал с целой сотней счётных палочек, которые складывали, раскладывали и связывали в десятки!
Это делает счёт наглядным и осязаемым, формирует пространственное мышление, которое необходимо для понимания математики. К письменной записи чисел и арифметических действий можно переходить только после того, как хорошо освоен устный счёт.
Почему же этого не делается? Почему люди вместо цифры «десять» завели цифру «ноль» и делают вид, что не замечают проблем и неудобств, возникающих в связи с этим? Давно хочется кричать: «РОДИТЕЛИ. Вы же взрослые! Вы должны понимать столь простые вещи! Пожалейте своих деток! Не калечьте! Не морочьте им головы!»
Давайте сопоставим каждому пальцу одну единственную цифру, соответствующую ему при счёте. Среди римских цифр нет «нуля», поэтому это сделать легко. То есть, римлянам при счёте никакой «ноль» нужен не был!
Величайший математик древности Пифагор тоже вёл счёт начиная с единицы, о чём в школе частенько сказать забывают. Вообще, для счёта в математике используют множество натуральных чисел, которое обозначают буквой N. Числа «ноль» это множество не содержит.
Теперь сопоставим римские и арабские цифры натурального ряда.
Римскому числу «X»,исходя из современных правил, мы должны сопоставить число «10». В нём две цифры: единица и ноль. Но натуральный ряд не содержит «нуля». Его среди натуральных чисел просто нет!
Откуда же он взялся? Давайте поищем вместе!
В целом должно быть цело всё. И всё, чтобы быть целым, должно быть самим собой и на своём месте! Вот и думайте, дорогие учителя и родители, решайте и делайте правильные выводы перед тем как объяснять первокласснику, какую и зачем нужно учить математику. А за одно поразмышляйте над тем, нужно ли ребёнку в первом классе учиться считать от того, чего нет? Может лучше научить видеть и считать то, что есть?
А математику не «учить», а Любить надо! И тогда будешь точно Знать: где есть что, и сколько где чего. Потому как Математика наука точная и позволяет ЯСНО ВИДЕТЬ ПРИРОДУ ВЕЩЕЙ и все причинно-следственные связи.
Анекдот, буквально сегодня услышанный мной на просторах интернета.
Умер Эйнштейн, и просит Бога написать формулу по которой сотворён МИР. Бог пишет. Эйнштейн смотрит и вдруг кричит: Но тут же ОШИБКА.
Бог ему, улыбаясь, отвечает: Я Знаю.
Философия нуля
В математике, как и везде, есть запретные понятия, и любая серьезная попытка раскрытия этих понятий сообществом встречается в штыки, выливаются тонны негатива на пытающегося поднять эту тему. В математике эти понятия — это ноль и бесконечность.
Однажды, чтобы понять сложность полной остановки деятельности, я решил поставить эксперимент над собой. В каком состоянии человек ничего не делает? Как минимум когда спит без снов, поэтому я решил по-максимуму отоспаться (не называйте меня лентяем), тем более случай попался подходящий под условия эксперимента — я попал в больницу, меня не дергали, я был предоставлен сам себе, еду приносили в палату и у меня было много времени на сон (вся ночь и почти целый день).
И вот старт. Где-то первые три дня у меня был глубокий сон, за счет имеющийся усталости. Потом я постепенно стал терять ощущение времени, и мне стало все труднее сказать сколько прошло времени с начала эксперимента, но я упорно старался спать, в какой-то момент сон становился все более и более поверхностным, я чаще просыпался и чаще старался уснуть. В какой-то момент времени я осознал, что тупо забыл как заснуть — как будто этот участок памяти кто-то взял и удалил — в моей памяти не было такой информации, попытки вспомнить ни к чему не привели, а обращаться с таким вопросом к кому-то, посчитал лишним — сочтут за сумасшедшего. Эксперимент пришлось аварийно завершить. Заснуть не зная как это сделать было в принципе не возможно.
Выписавшись из больницы, через какое-то время я стал анализировать результат. Длительный сон оказался как-то связан с моей памятью о том как уснуть… это было более чем странно, до этого я никогда не испытывал подобных проблем. Как будто некая внешняя сила противодействует твоему долгому сну — ей нужно чтобы ты какое-то время бодрствовал. Я стал сравнивать это с предыдущим опытом, когда я пытался наоборот не спать как можно дольше. Но и выводы были те же — возникала внешняя сила, пытающаяся меня усыпить, вопреки моему желанию не спать. Меня как будто поставили между двух рамок — первая, ты должен хотя бы немного спать, вторая, ты должен хотя бы немного не спать. Эти ограничители — биологические ритмы человека связанные со сменой дня и ночи. Выход за флажки — табу. Кому придет мысль взять под контроль свои биологические ритмы? Может йогу, но я не йог. Эти ритмы похоже на то, как человек идет направо — его все больше тянет налево, идет налево — все больше тянет вправо, пытается взлететь вверх — гравитация тянет вниз, пытается закопаться — становиться все труднее выбрасывать землю из ямы.
Если хочешь чтобы на тебя не действовала внешняя сила — сядь в центре этой силы (где угодно по сути), желательно в позе лотоса. И потом начинай параллельно останавливать одну биологическую систему за другой: дыхание, биение сердца. Не верите? Где-то в Индии был йог, который все это сделал и как бы «умер» на 30 лет (вроде) и потом опять смог запустить все свои биологические системы, все 30 лет его ученики не давали никому его похоронить.
Но получается что и он не смог остановиться насовсем? Что-то в нем не умерло, значит и он не смог дойти до нулевого действия. Звучит безумно, но я сейчас поясню.
В квантовой физики, квант действия — это постоянная Планка и (о, чудо) она больше нуля, и дальше не разделяется (не квантуется) по определению самого кванта — это минимально возможное действие в мире КФ. Но так ли это в реальности? Хотите сказать я не могу отказаться от действия? Получается так — мир очень сильно противодействует недействию. Тогда я стал искать примеры практик недействия в реальности, и они нашлись. Самой завораживающей оказалось смотрение на самого себя (желательно в затемненной комнате) в зеркало от 15-40 минут, не моргая. Попробуйте — у Вас будет куча впечатлений видения себя в видах — от зверя до полной пустоты в отражении (очень пугает кстати).
И тут я вспомнил, что в математике ноль — вообще-то тоже запретное число, на него тупо нельзя делить — аксиома. А деление 0/0 объявляется неопределенностью — все прям как в квантовой физике, где тоже существует принцип неопределенности Гейзенберга.
Тогда мне пришла в голову безумная мысль, а что если постоянная Планка = 0? Но мир скрывает это знания о нуле, прикладывая нехилую энергию противодействия, как показали эксперименты выше.
Наименее зашаблоненые математики и физики скажут, что все их теории тогда можно будет выбросить на свалку истории. Если нет кванта (или он равен нулю) — то нет и квантовой физики. Не многие выкинут такие знания на свалку, но видимо придется, или придется их немного видоизменить.
Например, формулы энергии и действия —
(Постоянная планка больше нуля)
придется переписать в виде —
(Неопределенность вида ноль на ноль)
Что это значит в реальности эта неопределенность? А то что жизнь, как бы говорит, при приближению к недвижению энергия\действие внешней силы заранее неизвестно, в каждый конкретный момент в недвижении можно ожидать любого действия от внешней силы на ваши попытки остановиться — вам могут стереть часть памяти, могут добавить память о чем-то, могут показать образ зверя в зеркале (пример выше) или вообще отсутствие отражения, чем больше продолжается недействие — тем больше вам покажут различных вариантов, пытаясь выбить вас из колее (отсутствие отражения вызывает страх и обычно выбивает из состояния недействия мгновенно).
Скажите бред? Я очень начал сомневаться в своих «знаниях» с некоторых пор. Одно из двух — либо я схожу с ума, либо мир устроен до предела безумно. Про часть такого безумия я уже писал на хабре — habr.com/ru/post/343228 Смысл в том что если (по ссылке) вертикаль есть (разрыва нет, постоянная планка = 0), то все что там и здесь написано — может навести на глубокие размышления — а так ли много я понимаю? Но если вертикали нет (есть разрыв, постоянная Планка больше нуля), то и квантовая теория имеет какой-то смысл и можно спать спокойно (хотя и здесь нет никакого спокойствия, когда мир прерывист и состоит из горы пустых промежутков возникает аналогия мира без мостов, мира разделенного и нецельного по своей сути). Я пока склоняюсь, исходя из своего опыта, к первому варианту.
Надеюсь, кто-нибудь задумается. Уже это будет победой.
Я не хочу вас освятить своей верой, а любое знание в большей или меньшей степени основано на вере. Хотя глубоко верю в то, что говорю. Я лишь хочу подтолкнуть вас к развитию самостоятельного цельного мышления. Не все то золото, что блестит, и если, например, вам нравиться математика или физика, это не делает их основы безупречными, эти науки созданы человеками, а им, как известно, свойственно ошибаться, особенно в мелочах (а ноль самая что ни на есть мелочь) — дьявол кроется как раз здесь… Только не думайте всерьёз, что постоянная Планка равна нулю, просто подумайте возможно есть и другое решение — например, «постоянная» Планка непостоянна…
Для чего служит ноль в математике
Это одна из главных школьных наук.
Познакомившись на уроке математики с цифрой ноль, мы с ребятами задумались, если цифры нужны для счета, то для чего нужен ноль, который ничего не исчисляет и обозначает пустоту? Если у нас ноль конфет, считать вообще нечего — зачем тогда о них говорить?
Цифры все хоть что-то значат,
Только ноль несчастный плачет
Он не значит ничего, будто бы и нет его
Девять с ним дружить не хочет
Восемь голову морочит
Семь, шесть, пять смеются вслед
И четверке дела нет
Стали три и два дразниться.
И пошел Ноль к единице
Позади её он встал
И ничем быть перестал.
Даже в этом отрывке из шутливого стихотворения [2] мы видим, что все цифры плохо относятся к цифре ноль. Справедливо ли такое отношение к нулю? Действительно ли бесполезна эта скромная цифра? Отвечая на эти вопросы, мы поставили перед собой следующую цель: исследовать роль и значение цифры ноль в математике и повседневной жизни.
Цель работы: исследовать роль и значение цифры ноль в математике и повседневной жизни.
Для достижения этой цели мы должны решить следующие задачи:
выяснить, как появилась цифра ноль и что она означает;
найти и собрать интересные факты о цифре ноль;
провести среди одноклассников исследование об отношении к цифре ноль;
выявить подтверждения значимости нуля в современном мире.
сделать на основе проведенной работы выводы и заинтересовать одноклассников изучением математики.
Объект исследования – цифра ноль.
Предмет исследования — ноль в математике и повседневной жизни.
Гипотеза исследования : предположим, что ноль ничего не обозначает, сможем ли мы тогда без него обходиться и в математике, и в жизни.
1. История возникновения цифры ноль.
Начнем с истории появления цифры. Когда же появился ноль? На протяжении тысячелетий люди обходились без ноля, хотя математики разных стран пытались использовать различные знаки для обозначения «пустоты», ведь нужно было как-то записывать результат в примерах типа:
Первыми придумали присвоить нулю символ вавилоняне в начале тысячелетия, это был не, привычный для нас, «кружок», а два клинышка, но обозначал он уже именно «пустоту» [1].
И лишь начиная с V века индийские математики стали употреблять знак ноля. Сначала его обозначали как точку, а потом уже как кружок меньший, чем другие цифры. До открытия нуля древние римляне пользовались римскими цифрами, где вообще не было нуля [1].
2. Роль нуля в математике.
Рассмотрим известные нам арифметические действия с нулем: сложение и вычитание. Теперь, имея в распоряжении обозначение числа 0 можно решить примеры: 1-1=0, 2-2=0
То есть, если вычесть из числа его само в результате получим 0.
Если прибавить или отнять от любого числа ноль, число не изменится.
Цифра ноль означает «ничего», когда она стоит отдельно от других чисел. Но без него нельзя написать десятки, сотни, тысячи. Если мы уберём ноль от числа 10, оно превратится в единицу.
Уберём всего лишь два, ничего не значащих, ноля от сотни, и она превратится снова всего лишь в единицу.
И, наоборот, дописывая справа от 1 различное количество нулей можно получать самые разные, в том числе и очень большие числа: 10, 100, 10 000 000 и т.д.
3 Интересные факты о цифре 0.
Следующий вопрос, который мы хотели выяснить – какие существуют интересные факты о цифре 0?
Разыскивая информацию о цифре ноль, мы узнали, что в центре города Будапешт (Венгрия) находится памятник нулю. Ноль – это вообще единственная цифра, которой поставлен памятник.
Гуляя по нашему городу Волгограду в Центральном районе на площади Павших Борцов, мы видели знак нулевого километра, с этого места начинаются все дороги Волгоградской области.
А вы замечали, что ноль всегда рядом с нами?
Ведение счёта в спортивных играх:
На любом калькуляторе после его включения сразу появляется цифра 0.
В полночь на электронных часах появляются четыре нуля. Начинается новый день!
Если вы заскучали, на помощь придет игра «Крестики-Нолики»
А это известный всем детям герой мультфильма «Фиксики», и он тоже Нолик!
Изучая информацию о цифре 0, мы обнаружили, что в некоторых выражениях употребляется написание ноль, а в некоторых нуль и решили выяснить, как же, все-таки, правильно?
Мы просмотрели несколько словарей русского языка [5,7] и узнали, что правильно говорить и писать оба варианта. Но в некоторых устойчивых выражениях употребляется только нуль, например: равно нулю, начать с нуля, а в некоторых только ноль, например, в выражениях: счёт ноль-ноль, ноль внимания, ноль без палочки.
5 Ноль глазами первоклассников
Следующая часть нашего исследования – опрос одноклассников.
Мы разработали анкету, которая содержала следующие вопросы:
1. Знаете ли вы цифру 0:
2. Можете ли вы написать, что означает цифра 0?
3. Какое получится число, если справа от цифры 1 написать цифру 0?
5. Есть ли страница с номером 0 в учебниках и книгах?
6. Как вы считаете, цифра 0 важная или нет?
В опросе принимали участие 28 учеников.
Исследование показало следующее:
цифру 0 знают все одноклассники – 100%
25 (89%) понимают, что без цифры 0 не получится числа 10;
26 (93%) из 28 (100%) правильно складывают и вычитают цифру 0;
3 ученика (10%) из 28 (100%) считают, что в книгах есть страница с номером 0;
все одноклассники (100%) считают, что правильно говорить ноль;
для 16 учеников (57%) цифра 0 – важная цифра, для остальных 12 человек (43%) – нет.
Проведенный опрос показал, что пока не все ученики понимают важность цифры 0. После опроса мы поняли, что нужно рассказать ребятам про эту замечательную цифру.
6 Занимательные задания с нулем
Мы подобрали несколько интересных заданий, в которых участвует ноль.
1. Задание на внимательность: найдите на картинке 19 нулей.
На дубе три ветки, на каждой ветке по 2 груши
(Ответ: ноль, на дубе не растут груши).
На ветке сидит 4 воробья. Подкрался кот, схватил одного.
(Ответ: ни одного, все воробьи улетели)
4. Загадки про ноль:
Он похож на колобок
Он пузат и круглобок
На него похожа кошка
Если сложится в клубок
Цифра меньше единицы,
Без неё не обойтись,
Ничего не исчисляет,
Дай ответ ты, потрудись!
В дальнейшем мы планируем познакомить ребят и с другими интересными заданиями, в которых используется цифра ноль, а также продолжать изучать и другие цифры. А для поддержания интереса к процессу изучения математики советуем познакомиться с замечательной книгой “ПРИКЛЮЧЕНИЯ НУЛИКА”. Эта сказка, которую придумал преподаватель математики, а впоследствии детский писатель Владимир Лёвшин о числах, их загадках и математических странностях.
После проведенного исследования мы выяснили, когда и где появилась цифра ноль, узнали, что с нулем связаны важные правила в математике, собрали интересные факты об этой цифре, провели среди одноклассников исследование об отношении к цифре ноль.
В результате пришли к выводу, что несмотря на то, что самостоятельно ноль означает «ничего», он необходим для записи чисел, обозначения результата вычитания из числа самого себя, что ежедневно нам приходится сталкиваться с этой цифрой в окружающем мире, и что пока не все ребята понимают роль и значение нуля, так как мы только начали изучать волшебный мир цифр.
Выполненная работа позволяет сделать заключение, что наша гипотеза ошибочна, что цифра ноль важна и нужна не только в математике, но и в повседневной жизни.
Данный материал можно использовать на уроках и факультативах по математике.
Список использованных источников и литературы
Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.:Изд-во «Наука» 1968. – 416 с.
Королевство чисел. Сказка в стихах про цифры и числа Пьесы и сценарии для кукольного театра/ https://www.olesya-emelyanova.ru/ index-skazki.html.
Левшин В.А., Александрова Э.Б. Приключения Нулика. Путешествие в мир математики. –М.: ИД Мещерякова 2019. – 496 с.
Ожегов С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка: 80000 слов и фразеологических выражений. – М.: ООО «ИТИ ТХНОЛОГИИ» 2003. – 944 с.
Ушаков Д.Н., Крючков С.Е. Орфографический словарь. – М.:Учпедгиз 1961. – 208 с.
Математика с нуля: чем интересно число 0?
Попробуем делить на ноль и узнаем больше об истории и свойствах числа, расположенного ровно посередине числовой оси.
Ноль — это, пожалуй, первое в нашей жизни загадочное число. Мы много слышали, например, о чудесах числа Пи, но мало кто имеет с ним дело в повседневной жизни. Не говоря уже о комплексных числах. А вот с нолём мы сталкиваемся повсюду: даже на клавиатуре обозначающая его цифра завершает ряд.
Но любой понимает, что с этим числом не всё в порядке. В детстве, когда мы ещё думали, что арифметика нужна только для счёта, нам объясняли, что ноль — это отсутствие. И это было странно.
Читайте также :
Поэтому и в истории человечества это число появилось поздно. Торговцы активно использовали счёт, но продавать, например, «ноль овец» не имело смысла. Впрочем, как и отрицательное их количество.
Вышло любопытно: например, древние греки не использовали ноль в принципе, зато уже знали об иррациональных числах, таких как √2. Это было связано с их любовью к геометрии: если у прямоугольного треугольника стороны будут равны 1, длина гипотенузы вычисляется как √2.
Но как же десятеричная система счёта? Ведь даже чтобы записать «10», нам нужен ноль. Но здесь дело только в записи числа: если вы вспомните римские цифры, то поймёте, что десятку можно представить и как Х. Конечно, такая форма была не особенно удобной, но даже вавилоняне, пользовавшиеся позиционной системой счисления (то есть, близкой нашей, а не древнеримской), долго обходились без ноля. Некоторое время его просто не было: числа, скажем, 36 и 306 не различались по написанию и определялись по контексту. Потом его роль стали выполнять два клинышка, вроде вот этих: 3’’6. Но и тогда они самостоятельной роли не играли — не было числа «ноль».
Сложно сказать, когда оно в действительности появилось. При этом есть свидетельства, что в Индии его использовали еще до нашей эры, после чего его переняли арабы — а вот на Западе оно стало входить в практику только в XIII веке усилиями итальянского математика Леонарда Фибоначчи. И то, его любовь к арабскому счислению долго не воспринималась всерьёз.
Известно, что первые слова, обозначавшие количество, имели конкретное применение — «пять лошадей» и «пять лодок» были для древнего человека разными категориями. Чтобы изобрести ноль, требовалось перейти на новый уровень абстрактного мышления.
Но если мы поверим в ноль, его свойства поразят воображение.
Возвести в нулевую степень
Ещё по этой теме :
С самыми простыми операциями проблем не возникает: прибавить ноль или вычесть его из числа — число остаётся тем же, умножить на ноль — получится ноль… Всё это укладывается в рамки здравого смысла. Сложнее становится при возведении в нулевую степень. В школе сообщают, что результатом в каждом случае будет единица. Откуда она взялась?
Тут рассудок уже пасует. Степень — это, как известно, то, сколько раз мы берём число как множитель самого себя.
Если степень нулевая, число не является множителем ни разу, но… как из этой пустоты «родилась» единица?
Чаще всего в школе этот вопрос решается догматически: на объяснения не остаётся желания и сил. А ведь именно здесь пролегает одна из границ, за которой простая арифметика, наглядно показываемая на яблоках и прочих исчислимых вещах, становится уже чистой и прекрасной абстракцией.
Вспомним правила обращения с числами, возводимыми в степень, и представим себе следующий пример:
В отношениях с одинаковыми основаниями степеней мы можем делать следующее:
Так вот чудесным образом, благодаря только принятию ноля как числа, мы переходим к новому странному открытию, и математика совершает куда более далёкий прыжок от реальности, чем просто представление «у меня ноль конфет».
Но именно внутренняя логика системы, которая может быть понята умом, но не может быть представлена в вещественном мире — это и есть красота абстракции.
Поделить на ноль
Это может быть интересно :
«Деление на ноль» давно стало интернет-мемом, правда, довольно неопределённым. То оно означает аннигиляцию чего бы то ни было (а ведь логичнее было бы умножить на ноль), то вовсе разрушение математических основ мироздания. И второе ближе к истине.
Большинство учёных всё-таки считают эту операцию с нолём невозможной или обладающей неопределённым результатом.
В чём же дело, и почему даже машины не могут между собой «договориться»?
Чисто арифметически делимость на ноль приводит к рискованным выводам. Смотрите сами:
Это лишь известное нам свойство ноля. Но если на него можно делить, то, сократив обе части, мы получим:
Почему же речь иногда заходит о бесконечности? Дело в том, что проблему пытаются решить через деление на бесконечно малую функцию, то есть построение графика функции, где x стремился бы к нулю. Так мы пытаемся найти y = 1 / x, и получается следующее:
Кстати говоря, с делением ноля на ноль наблюдается ещё большее единодушие: тут, если мы соберёмся построить функцию, результаты могут быть практически какими угодно (0, ±1, ±∞…) В общем, ноль, оставаясь числом, снова подрывает основы математики, если мы нарушаем неприкосновенность его свойств.
Ноль — чётное число?
Это может быть интересно :
Если он так необычен (и не забываем, что он не является ни положительным, ни отрицательным), можно ли говорить о его чётности? Интуитивно мы догадываемся, что он чётный, ведь целые числа сменяют друг друга именно по такому принципу: 2 — чётное, 1 — нечётное, следующим должно быть снова чётное. Но странность ноля настораживает, подсказывает, что и в этом вопросе нужно держать ухо востро.
Какое главное требование он должен пройти в этом случае? Деление на двойку без остатка, и он выдерживает испытание с достоинством: 0/2=0. Получается целое число 0, причём сколько бы мы ни продолжали деление, результат будет получаться одинаковым — можно сказать, что он является «наиболее» чётным или «бесконечно» чётным числом.
Если быть более точным, мы должны взять другое определение с обратной операцией. Чётное число может быть представлено в виде 2x, где x — целое число, но и в таком случае всё просто: 0 = 2 ∙ 0.
Есть и такое свойство чётных чисел, что при сложении двух из них должно получаться снова чётное, проверим:
При всей необычности ноля даже его удивительное соответствие всем критериям кажется странным, не так ли?
Что смотреть и читать о ноле?
Чтобы узнать больше о ноле как одном из самых загадочных явлений математики, а также об истории его «открытия», вы можете обратиться к следующим ресурсам:
1. Numberphile. Это популярнейший в среде любителей математики Youtube-канал, у которого уже более чем 1,5 миллиона подписчиков. Есть видео и о ноле, которые в переводе на русский можно найти здесь.
2. Книга Чарльза Сейфе «Ноль. Биография опасной идеи». Автор, хоть и не без излишнего сгущения красок, рассказывает об истории ноля как числа и цифры — причем в обширном контексте истории науки, от Архимеда до теории струн. В качестве бонуса вы получите приложения с задачками, где используется ноль. Например, вам предложат доказать, что Уинстон Черчилль был морковкой, и построить машину времени из кротовой норы.
3. Сборник эссе, в которых фантаст Айзек Азимов рассказывает о том, как человек, переходя от счёта на пальцах ко всё более сложным вычислениям, разработал основные математические операции, а также о том, как числа связаны с нашим восприятием времени и пространства. Природе ноля и его парадоксам посвящена открывающая книгу статья «Nothing Counts».
Даже если вам не нравились в школе ни арифметика, ни алгебра, у вас всегда есть возможность ими заинтересоваться. Учить математику с нуля уже не получится — худо-бедно мы начали считать ещё дошколятами. А вот полюбить её с нуля — вполне реальная перспектива.