Для чего вводятся относительные погрешности
Относительная погрешность
Погре́шность измере́ния — оценка отклонения величины измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.
Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение любой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. (Это отклонение принято называть ошибкой измерения. В ряде источников, например, в БСЭ, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы.) Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. При этом за истинное значение принимается среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому в измерениях необходимо указывать, какова их точность. Для этого вместе с полученным результатом указывается погрешность измерений. Например, запись T=2.8±0.1 c. означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2.7 с. до 2.9 с. некоторой оговоренной вероятностью (см. доверительный интервал, доверительная вероятность, стандартная ошибка).
В 2006 году на международном уровне был принят новый документ, диктующий условия проведения измерений и установивший новые правила сличения государственных эталонов. Понятие «погрешность» стало устаревать, вместо него было введено понятие «неопределенность измерений».
Содержание
Определение погрешности
В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения погрешности измерений используют различные методы.
Классификация погрешностей
По форме представления
где Xtrue — истинное значение, а Xmeas — измеренное значение, должно выполняться с некоторой вероятностью близкой к 1. Если случайная величина Xmeas распределена по нормальному закону, то, обычно, за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.
.
Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
,
— если шкала прибора односторонняя, т.е. нижний предел измерений равен нулю, то Xn определяется равным верхнему пределу измерений;
— если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.
По причине возникновения
В технике применяют приборы для измерения лишь с определенной заранее заданной точностью – основной погрешностью, допускаемой нормали в нормальных условиях эксплуатации для данного прибора.
Если прибор работает в условиях, отличных от нормальных, то возникает дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора. К дополнительным погрешностям относятся: температурная, вызванная отклонением температуры окружающей среды от нормальной, установочная, обусловленная отклонением положения прибора от нормального рабочего положения, и т.п. За нормальную температуру окружающего воздуха принимают 20°С, за нормальное атмосферное давление 01,325 кПа.
Относительная и абсолютная погрешность – формула определения, как рассчитать погрешность измерения
Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.
Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.
Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 6%. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1см очень велика, это ошибка в 10%. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1%.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
Что мы узнали?
Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.
И снова о погрешностях
В современной школьной практике ученик на уроках физики сталкивается в основном c двумя типами эксперимента. Эксперимент первого типа – демонстрационный, его цель – демонстрация того или иного физического явления, установление качественной связи между физическими величинами, характеризующими явления или объекты. Если такой экс-перимент и предполагает измерение значений каких-либо величин, то точность этих измерений невелика. Главное – это доступность для понимания, наглядность, возможность достаточно быстро сделать выводы (например, демонстрация второго закона Ньютона: вдвое увеличили силу – ускорение изменилось приблизительно в два раза).
Школьные эксперименты второго типа – лабораторные работы в рамках программы. Здесь ученик сталкивается с необходимостью не только наблюдать и делать выводы, но и правильно обрабатывать результаты, определять значение величины и указывать её погрешность. Другие случаи, как правило, представляют собой комбинацию двух рассмотренных (практикум, самостоятельное исследование на уроке, фронтальный эксперимент).
Ни те, ни другие эксперименты не дают представления о роли физического эксперимента в развитии физики, однако государственный Стандарт по физике требует понимания учениками этой роли. Конечно, знакомясь с законами, полученными эмпирическим путем, учащийся не раз слышит фразу типа: «Георг Ом установил этот закон на основе многочисленных экспериментов». Но, как конкретно он это сделал, ученик вряд ли сможет объяснить. Остаётся неясным и смысл вычисления погрешностей при выполнении лабораторной работы.
Нельзя ли преподавать курс физики в соответствии с логикой самой науки? Проводить пусть немногочисленные, но настоящие эксперименты по определению вида зависимости пути от времени движения, угла преломления от угла падения, изменения температуры тела при теплообмене от его массы и т.д.? Такой подход связан с трудностями обучения школьников обработке результатов эксперимента. Ведь невозможно по экспериментальным данным получить вывод о конкретном виде зависимости между величинами, не поставив на графике «кресты» погрешностей. Значит, о погрешности следует говорить с самых первых шагов в физике. Но эта тема пугает даже некоторых опытных учителей.
Желая продемонстрировать своим ученикам роль эксперимента в физике, я на первых же уроках столк-нулась с тем, что очень трудно объяснить, кто и зачем выдумал такую вещь, как погрешность эксперимента. Причину этого я вижу в следующих ставшими уже традиционными моментах: 1) понятие погрешности вводится в 9-м классе, когда позади уже два года экспериментов и демонстраций без всякого рассмотрения точности полученного результата; 2) в наших учебниках в угоду простоте объяснения часто переиначивается сама цель введения погрешности; 3) в некоторых лабораторных работах вычисленные относительные погрешности превышают 100%, что ставит под сомнение саму цель вычисления погрешностей.
В связи с этим я попыталась перестроить всю систему обучения экспериментальному методу познания и оценке погрешностей результатов эксперимента. Большую помощь оказало знакомство со школой Светланы Вениаминовны Анофриковой, где уже разработана бульшая часть практической программы обучения экспериментальному методу познания в рамках технологии деятельностного подхода. В своей книге С.В.Анофрикова пишет: «При информационном обучении подобные ситуации (необходимость использования понятия погрешности. – Д.И.) в принципе не могут возникнуть. Поэтому всевозможные попытки обучить школьников методам обработки экспериментальных данных всегда оканчивались неудачей: в курс физики вводился новый и достаточно сложный материал, который, если и запоминался, то только формально, под давлением преподавателя, и не превращался в стиль мышления при проведении экспериментов даже у тех учащихся, которые планировали связать свою дальнейшую жизнь с физической наукой» [1].
Выход из сложившейся ситуации я вижу такой:
– переходить по мере возможности к преподаванию физики через совместное (учителя и учеников) «открытие» экспериментальных законов;
– вводить понятие погрешности измерений одновременно с понятием самого измерения (как, например, в [2]), используя творческую работу учащихся: самостоятельное изготовление измерительных приборов, проведение измерений в быту и т.д.;
– при использовании констант, табличных значений физических величин проводить вычисления с ними, как с приближёнными числами, используя понятия «значащая цифра», «погрешность округления». Это формирует определённый стиль мышления, учитывающий приближённость измеренных в эксперименте величин. Такое критическое отношение к результатам измерения имеет практическую важность для будущей «взрослой» жизни ученика, в какой бы области науки или отрасли производства он ни работал в дальнейшем;
– не оценивать строго правильность вычисления погрешностей, использования формул. Главное здесь всё же – понимание смысла и роли погрешности в эксперименте.
Тем не менее здесь я хочу предложить подробное изложение правильного подхода к обучению вычислению погрешности в школьном физическом эксперименте. В рассмотрение включены также конкретные вопросы, встречающиеся в практике работы с классическими и новыми учебниками. Важно, чтобы учитель мог самостоятельно разобраться с ними до того, как проблемы возникнут у учеников.
С технологией деятельностного подхода к обучению физике (авторская методика С.В.Анофриковой) можно познакомиться, например, в [1, 3, 4]. Большое количество сценариев таких уроков можно найти в газете «Физика» (ИД «Первое сентября»).
1. Зачем нужны погрешности?
Традиционно в школе рассчитывается «максимальная абсолютная погрешность» или «граница абсолютной погрешности». По сути, это ответ на вопрос: «На сколько максимально мы можем ошибиться в определении значения искомой величины?» При этом, если мы имеем несколько источников погрешностей в одном измерении, систематических и (или) случайных, погрешность результата измерения определяется как сумма всех погрешностей и называется максимальной. Хотя такое суммирование неправомерно (складываться должны не погрешности, а их квадраты) [квадраты погрешностей складываются для не зависящих друг от друга величин, а сами погрешности – для зависящих. – Ред.], тем не менее даже такой упрощённый подход даёт возможность показать смысл введения понятия погрешности.
Так зачем же нужны погрешности? Известно, что любые измерения, т.е. любое измеренное или рассчитанное значение физической величины, не могут быть абсолютно точными. Как тогда решать вопрос, например, о равенстве двух значений? Как провести кривую на графике? Приведу пример.
В учебнике А.В.Пёрышкина «Физика-8» [5], а также в учебнике С.В.Громова, Н.А.Родиной «Физика-8» [6] есть лабораторная работа «Сравнение количеств теплоты при смешивании воды разной температуры». Её результатом должно стать сравнение двух значений количества теплоты. Но какой вывод, не зная ничего о существовании погрешности эксперимента, должны сделать учащиеся? Ведь полученные значения заведомо не могут быть равны! Проблемы с выводом возникают и в работе «Измерение силы трения скольжения» [6]; там предлагается выяснить, зависит ли коэффициент трения от веса тела.
Можно предложить такой выход. Если учащиеся уже знают, что при измерениях результаты всегда не очень точные, то в работе о сравнении количеств теплоты можно предложить округлить полученные результаты, предварительно выразив количества теплоты в килоджоулях. Но есть вероятность, что и после этого значения окажутся различными. А вычислить абсолютную погрешность (далее я для простоты опускаю слово «максимальную») «методом границ» (о нём – дальше) не так уж сложно. Зато эффект от самостоятельно проведённого опыта возрастает многократно!
Итак, абсолютной погрешностью измерения называют модуль разности между истинным значением величины и её значением, полученным в результате измерения: 
Важно здесь то, что истинное значение величины узнать нельзя! Зато с помощью серии измерений и обработки их результатов можно найти её приблизительное значение и оценить возможное отклонение от него измеренной величины. К сожалению, этот смысл погрешности часто ускользает от наших учеников нашими же стараниями. Приведу пример.
Чтобы понимать, насколько велика погрешность по сравнению с самой величиной, вводят понятие относительной погрешности измерения: 
Так как истинного значения мы не знаем, то при не очень больших значениях относительной погрешности можно заменить в этой формуле аистинное измеренным значением а. Величина относительной погрешности играет важную роль в определении «качества» поставленного эксперимента. Если она составляет 30–40%, то в школьном эксперименте это ещё допустимо (особенно, если учесть, что мы работаем с максимальной абсолютной погрешностью). А вот измерений, при которых относительная погрешность заведомо больше этих значений, надо попросту избегать.
2. Типы погрешностей
Погрешности измерений принято подразделять на систематические и случайные [9, 10].
Систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величину систематической погрешности можно пытаться уменьшить, улучшая условия проведения эксперимента, выбирая более точные приборы и т.д.
Случайные погрешности – те, значения которых могут отличаться от измерения к измерению на неизвестную нам, случайную величину. Если провести ряд измерений и взять среднее арифметическое из этого ряда, то случайная погрешность этого среднего будет меньше, чем погрешность единичного измерения. Так стараются уменьшить величину случайной погрешности эксперимента.
Наконец, грубые промахи – погрешности вследствие неправильных действий при измерении. Чтобы исключить их, надо соблюдать аккуратность и тщательность в работе и записях результатов. При необходимости такие измерения надо произвести повторно. В дальнейшем мы не будем говорить об этом типе погрешностей эксперимента.
Прежде чем перейти к более подробному, с примерами, рассмотрению различных видов погрешностей, разберёмся, как они должны сочетаться в конечном результате. При расчёте среднеквадратичных погрешностей складываются не сами погрешности, а их квадраты [9]. Ясно, что введение в ученический эксперимент такого правила сильно усложнило бы и без того не очень простой процесс. При расчёте максимальной абсолютной погрешности можно складывать погрешности, имеющие различную природу, но соблюдая «правило ничтожных погрешностей» [2, 8]: При суммировании погрешностей любым слагаемым можно пренебречь, если оно не превосходит 25–30% от другого.
Действительно, если одно из значений меньше другого в 3 раза, то после возведения в квадрат оно составит всего лишь около 10% от другого слагаемого. Это правило помогает избегать ситуаций, когда при накоплении «малых» погрешностей, погрешность результата сильно возрастает. Ниже я приведу пример расчёта среднеквадратичной погрешности и максимальной погрешности измерений. И наконец, последнее правило:
если систематическая погрешность является определяющей, т.е. её величина существенно больше величины случайной погрешности, то достаточно выполнить измерение один раз; если определяющей является случайная погрешность, то измерение следует проводить несколько раз.
3. Учёт систематической погрешности при прямых измерениях
Существует много видов систематических погрешностей. В практике школьного эксперимента встречаются только приборные (инструментальные) погрешности, погрешность округления (отсчёта) и субъективные погрешности (например, точность измерений секундомером ограничена временем реакции, равным примерно 0,3 с). Рассмотрим данные виды погрешностей подробней.
Инструментальная погрешность 
иА – это систематическая погрешность измерения, определяемая свойствами измерительного прибора. Её значение указано в паспорте прибора. Обычно это класс точности прибора, показывающий, сколько процентов от максимального показания шкалы прибора составляет значение абсолютной погрешности измерения. На мой взгляд, лучше иметь таблицу абсолютных инструментальных погрешностей для приборов, используемых в лабораторных работах (см., например, [11].
Особо следует сказать об инструментальной погрешности весов и разновесов. Её вычисление сложно для семиклассников (да и для десятиклассников), и я считаю такие вычисления излишними за исключением физико-математических классов. Здесь спасает следующее соображение. Точность измерения массы с помощью весов очень велика – относительная погрешность менее 1%, тогда как относительная погрешность измерения, например, объёма в лабораторной работе по определению плотности тела обычно не меньше 5%. Поэтому проще учитывать погрешность измерения массы с помощью весов через интервал округления (систематическая погрешность отсчёта).
Погрешность отсчёта 0А – это систематическая погрешность, появляющаяся в результате округления измеряемого значения в процессе снятия показаний. Обычно в школьном эксперименте погрешность отсчёта принимают равной половине цены деления прибора [2, 8]. Иногда это приводит к необоснованному, на мой взгляд, завышению значения погрешности. Приведу ряд примеров: 
На рис. 1 приведены шкалы двух мензурок и значения инструментальной погрешности для них. Уровень жидкости в обеих мензурках совпадает с одним из штрихов шкалы. Если воспользоваться приведённым способом оценки погрешности отсчёта, то погрешность определения объёма левой мензуркой Vлев = иV + 0V = 5 мл + 5 мл = 10 мл, а правой Vправ = 5 мл + 2,5 мл = 7,5 мл. Но совпадение уровня жидкости со штрихом шкалы фиксируется с достаточной точностью! Зачем же завышать погрешность измерения в 2 раза в первом случае и в 1,5 раза во втором? [Тонкий вопрос: а параллакс при считывании показаний? а явление смачивания? – Ред.] Другое дело, если уровень жидкости не совпадает с делением шкалы. Но тогда возможен вариант «уровень выше штриха примерно на четверть (половину, три четверти) деления».
Удобнее в таком случае ввести понятие «интервал округления». Если мы округляем показания прибора до целого деления, то интервал округления равен цене деления прибора, если отсчёт округляется до половины деления («на глаз»), то интервал округления равен половине цены деления, и т.д. При округлении погрешность не превышает половины интервала округления [1]. Такой подход позволяет свести все случаи к оценке интервала округления.
Пусть в левой мензурке уровень жидкости ближе к середине деления, чем к штриху 60 мл, и мы можем сказать, что объём равен примерно 65 мл. Тогда интервал округления составляет половину цены деления, т.е. 5 мл, а погрешность отсчёта 2,5 мл. Итак, окончательное значение объёма (65,0 ± 7,5) мл (о количестве значащих цифр в значении погрешности – позже).
В случае совпадения (или приблизительного совпадения) уровня жидкости со штрихом шкалы можно считать, что интервал округления очень мал (например, 2 мл), так что погрешностью отсчёта можно пренебречь по сравнению с инструментальной погрешностью мензурки.
При измерении объёма правой мензуркой деления настолько малы, что надёжно можно фиксировать лишь близость уровня жидкости к одному или другому штриху шкалы. Тогда интервал округления будет равен цене деления шкалы, а погрешность – половине цены деления, т.е. 2,5 мл.
Иногда погрешность отсчёта становится больше инструментальной погрешности в силу условий эксперимента. Например, в лабораторном наборе «Механика» лаборатории L-micro есть магнитные датчики, включающие и выключающие секундомер при прохождении мимо них тела. Положение датчиков определяется по линейке, но отверстия датчиков имеют размер около 2 мм, так что положение самого датчика невозможно определить точнее, чем 1 мм. С учётом инструментальной погрешности линейки абсолютная погрешность определения координаты датчика составляет 2 мм.
В лабораторной работе «Определение КПД при подъёме тела по наклонной плоскости» [12] значение высоты и длины наклонной плоскости определяется с помощью ученической линейки. Хотя цена деления её 1 мм, погрешность отсчёта больше 0,5 мм. Дело в том, что для правильного определения высоты необходимо держать линейку строго вертикально и измерять расстояние до верхней грани плоскости. Это измерение трудно проделать с точностью меньше 1 мм.
Ещё сложнее измерить высоту, с которой скатывается цилиндр по наклонной плоскости, в работе «Измерение момента инерции тела» [2] или при измерении ускорения тела, скатывающегося с наклонной плоскости [7]. Ведь необходимо измерять высоту и длину плоскости между определёнными точками, в которых находилось тело в начальный и конечный моменты времени. Поскольку нет смысла вводить ещё одно понятие – «систематическая погрешность, определяемая условиями эксперимента», – следует обратить внимание учащихся на неточность измерений и после обсуждения с ними увеличить погрешность отсчёта.
Очень полезно понятие интервала округления при определении погрешности табличных значений или значений констант. Например:
При измерении времени секундомером большую роль играет субъективная погрешность. Время реакции человека составляет 0,1–0,2 с [10]. Поэтому систематическая погрешность – около 0,3–0,4 с (реакция при запуске и реакция при остановке).
И в заключение – об округлении значения абсолютной погрешности. Обычно его округляют до одной значащей цифры (т.е. первой не равной нулю цифры слева). Исключение составляют случаи, когда единственная оставшаяся значащая цифра в значении погрешности – единица. В таких случаях лучше оставить две значащие цифры, т.к. погрешность такого округления очень велика. (Если мы округлим, например, 0,14 до 0,1, то относительная погрешность округления составит 40%, так что лучше оставить 0,14).
В значении самой величины оставляют столько же десятичных знаков, сколько их в значении погрешности (см. записи в приведённых примерах).
Так следует поступать, если полученный результат является конечным. Если же он промежуточный, то, по правилам приближённых вычислений, следует оставлять на одну значащую цифру больше.
Продолжение в № 17/07
* В [6] в этом месте в ЛР № 2 допущена опечатка.