Доказать что если последовательность сходится то она ограничена

Числовая последовательность

Определение 1. Числовой последовательностью называется функция, аргументом которой является множество всех натуральных чисел, или множество первых n натуральных чисел.

Обозначается числовая последовательность так:

где −i-ый член последовательности.

При словестном задании последовательности, описывается из каких элементов она состоит.

Последовательность нечетных чисел:

Последовательность простых чисел :

Последовательности (1) и (2) мы задали словестно.

Последовательность нечетных чисел аналитически задается формулой

Отметим, что последовательность простых чисел невозможно задать аналитически.

Пример задания рекуррентной последовательности:

В этой последовательности

Пример стационарной последовательности:

Возрастающие и убывающие последовательности

Определение 3. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) больше предыдующего, называется возрастающей :

Определение 4. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) меньше предыдующего, называется убывающей :

Пример 1. Выяснить, монотонна ли последовательность

Решение. Запишем n+1 член последовательности (подставим вместо n, n+1):

Найдем разность членов и :

.

(3)

Так как n=1,2,3. то правая часть уравнения (3) положительна. Тогда:

Таким образом, каждый последующий член последовательности больше предыдующего. Следовательно последовательность является возрастающим (и монотонным).

Пример 2. Выяснить, при каких значениях a последовательность (b_n) является возрастающей и при каких, убывающей:

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

Найдем разность членов и :

(4)

Посмотрим на правую часть выражения (4). Если a 10, то . Тогда последовательность является убывающей. При a=10 . Последовательность имеет одинаковые члены:

т.е. имеем дело с последовательностью

Очевидно, что последовательность (5) не является монотонной. Она является стационарной последовательностью.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 5. Последовательность (y_n) называется ограниченной сверху, если существует такое число k, что y_n Определение 6. Последовательность (y_n) называется ограниченной снизу, если существует такое число k, что y_n>k при любом n.

Определение 7. Последовательность (y_n) называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Пример 3. Показать, что последовательность (a_n) является монотоннной и ограниченной:

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

Найдем разность членов и :

(6)

Правая часть равенства (6) положительна при любых натуральных чисел n. Следовательно последовательно (a_n) возрастающая (и монотонная).

Далее, сделаем эквивалентное преобразование для проследовательности (5):

Из выражения (7) видно, что при любых n a_n≤1. Т.е. хотя последовательность возрастает, то остается меньше числа 1 (ограничена сверху). Запишем несколько членов данной последовательности, задав n=1,2,3.

Так как последовательность возрастающая, то все члены последовательности не меньше . Тогда последовательность ограничена также и снизу. Таким образом последовательность ограничена и всерху, и снизу, т.е. является ограниченной последовательностью.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности:

На координатной прямой изобразим члены этих последовательностей:

Предел числовой последовательности

Точка, к которой приближаются члены последовательности при увеличении n, называется пределом последовательности. Для последовательности (10) пределом является число 0. Более строго предел последовательности определяется так:

Определение 8. Число k называют пределом последовательности (y_n), если для любой заранее выбранной окресности точки k, можно выбрать такой номер n₀, чтобы все члены последовательности, начиная с номера n₀ содержались в указанной окрестности.

Если k является пределом последовательности (y_n), то пишут ( стремится к k или сходится к k).

Обозначают это так:

Выраженние (11) читается так: предел проследовательности , при стремлении n к бесконечности равен k.

Изложим некоторые пояснения к определению 8.

Пусть выполнено (11). Возьмем окрестность точки k, т.е. интервал , где радиус этой окрестности ( >0). По определению, существует номер n₀, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окресности, т.е.

.

Если же взять другую окресность (пусть ), то найдется другой номер n₁, начиная с которого, вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше n₁ > n₀.

Пример 4. Дана полследовательность (y_n):

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 0. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n₀ так, чтобы .

Пусть, например, r=0.001. Вычислим n‘ из уравнения

.

В качестве n₀ берем 501. Имеем:

.

Запишем члены последовательности (12) начиная с номера 501:

.

Далее, учитывая (13), имеем:

.

Следовательно, все члены последовательности (12) начиная с номера 501 попадают в окресность . А по определению 8, это означает:

Пример 5. Дана полследовательность (y_n):

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 2. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n₀ так, чтобы

.

.

Неравенство в (17) всегда выполняется так как n₀ натуральное число, а правая часть неравенства отрицательно (это означает, что для любого n₀). Из неравенства (16) можно найти номер n₀, начиная с которого члены последовательности попадают в окресность (2−r; 2+r). Например, пусть r=0.001, тогда . Тогда нужно брать n₀=2000. И тогда все члены последовательности, начиная с номера 2000 попадают в окрестность (2−r; 2+r).

Запишем члены последовательности, начиная с номера 2000:

.

Легко проверить, что . Тогда, учитывая, что данная последовательность возрастающая (см. пример 1), получим:

.

Пример 6. Найти предел последовательности

Решение. Выполним некоторые преобразования выражения (18):

Тогда последовательность (18) можно переписать так:

(19)

Как видно из (19), пройдя по членам последовательности слева направо, из числа 1 вычитается все меньшее и меньшее положительное число. Т.е. последовательность приближается к числу 1. Тогда 1 является пределом последовательности (19) и (18):

Свойства сходящихся последовательностей

Сходящиеся последовательности обладают рядом свойств.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится (теорема Вейерштрасса).

Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:.

Теорема. Если , то

1. Предел суммы равен сумме пределов:

2. Предел произведения равен произведению пределов:

3. Предел частного равен частному пределов:

4. Постоянный множитель можно вывести за знак предела:

Пример 7. Найти предел последовательности:

Решение. Так как , то

.

Пример 8. Найти предел последовательности:

Решение. Применив правило «предел суммы» теоремы, получим

.

Пример 9. Вычислить:

Решение. Делим числитель и знаменатель дроби на наивысшую из имеющихся степень переменного n. Далее используем правило «предел суммы» для числителя и знаменателя и правило «предел частного»:

Источник

Основные свойства конечных пределов последовательностей

Свойства и теоремы

Свойство окрестности сходящейся последовательности
Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.
Доказательство ⇓

Теорема единственности предела числовой последовательности
Если последовательность имеет предел, то он единственный.
Доказательство ⇓

Теорема об ограниченности последовательности, имеющей конечный предел
Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Доказательство ⇓

Влияние конечного числа элементов на сходимость
Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.
Доказательство ⇓

Доказательство свойств и теорем

При доказательстве свойств, мы будем использовать определение предела последовательности:
.

Свойство окрестности сходящейся последовательности

Все свойства ⇑ Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.

Тогда первые N элементов последовательности могут находиться где угодно. То есть за пределами окрестность могут находиться не более N элементов последовательности – конечное число или пустое множество.

Первая часть доказана.

Пусть теперь за пределами любой окрестности точки a находится конечное число элементов последовательности или пустое множество. Пусть N есть наибольший номер элемента, находящегося за пределами окрестности. Тогда все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности. Это означает, что точка a является пределом последовательности.

Свойство окрестности последовательности, не сходящейся к числу a

Теорема единственности предела числовой последовательности

Все свойства ⇑ Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Теорема об ограниченности последовательности, имеющей конечный предел

Все свойства ⇑ Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Теорема о пределе постоянной последовательности

Влияние конечного числа элементов на сходимость

Все свойства ⇑ Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.

Хотя здесь мы рассматриваем только конечные пределы, но доказательство этой теоремы повторяется один в один, если включить в рассмотрение и бесконечные пределы. Поэтому рядом с формулами, применимыми только для конечных пределов, мы будем приводить универсальные формулы, пригодные как для конечных, так и для бесконечных пределов. Их мы будем помечать звездочкой. При первом чтении раздела их можно пропустить.

Тем самым мы доказали, что добавление или удаление первых элементов не влияет на сходимость последовательности. Докажем, что изменение первых m элементов также не влияет на сходимость. Для доказательства удалим первые m элементов у исходной последовательности. Получим промежуточную последовательность, сходимость которой такая же, как у исходной. Затем добавим в промежуточную последовательность первые m элементов с произвольными значениями. Получим последовательность, у которой, по отношению к исходной, изменены первые m элементов. Сходимость такой последовательности такая же как и у промежуточной, а поэтому такая же как и у исходной.

Источник

Сходящиеся последовательности

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³ N все элементы x n этой последовательности удовлетворяют неравенству:

Некоторые свойства сходящихся последовательностей:

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть — сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:

ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей <х n >и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей <х n >и .

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей <х n >и . Тогда:

ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей <х n >и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей <х n >и .

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей <х n >и .Тогда:

ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей <х n >и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей <х n >и .

ЛЕММА: Если последовательность сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .

.

Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то последовательность бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.

ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству x n³ b (x n£ b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а³ b (a£ b).

Элементы сходящейся последовательности могут удовлетворять строгому неравенству x n >b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если x n =1/n, то x n >0, однако .

.

.

Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.

Это выполняется, так как а£ x n£ b, то a£ c£ b.

Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

, и того, что .

(m, n = 1, 2, 3, … ),

,…

должна либо расходиться к , причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани.

,

тогда существует конечный предел

,

(n = 1, 2, 3, … ).

(*)

сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:

запишем целое число n по двоичной системе:

.

Применяя теорему (1) для данных:

s 0 =0, s 1 =, s m-1 =, s m =, …, p n0 =0, p n1 =, …, p n, m-1 =,

, p n, m+1 =0, …,

заключаем, что . Наконец, в силу (*) имеем:

.

Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup.

Разобьем числовую прямую на l интервалов точками

.

Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности , произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу.

, …

заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).

Числовая последовательность, стремящаяся к , имеет наименьший член.

Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.

Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.

При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности.

Пусть числовые последовательности

обладают тем свойством, что

, .

Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства

l n s n >l n-1 s n-1, l n s n >l n-2 s n-2, … l n s n >l 1 s 1,

Будем называть l m “выступающим” членом последовательности, если l m больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:

,…

,

(*)

отсюда заключаем, что

Если числовая последовательность ,… стремится к и А превышает ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n³ 1, что n отношений

все не больше А, а бесконечное множество отношений

,…

Имеем . Пусть минимум последовательности

u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А.

.

.

,

Пусть, далее, l 1 >A>0. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства

.

Если А® 0, то также n® 0.

Тогда . Последовательность

все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, L n ) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.

Источник