Доказать что если все элементы определителя 3 порядка равны 1

Доказать что если все элементы определителя 3 порядка равны 1

I. При замене строк столбцами величина определителя не меняется (равноправность строк а столбцов).

Это свойство может быть выражено так:

Справедливость этого свойства легко проверить, вычисляя определители, стоящие в левой и правой частях равенства, согласно схеме (17):

В самом деле, мы усматриваем, что в обоих случаях элементы, перечеркнутые сплошной чертой, как и элементы, перечеркнутые пунктиром, будут давать одни и те же произведения. Следовательно, в определителе строки вполне равноправны со столбцами, и все остальные свойства будут иметь место как по отношению к строкам, так и по отношению к столбцам.

II. При перестановке двух столбцов (или строк) определитель лишь меняет знак.

Так, например, переставляя первый и второй столбцы, получим:

Это свойство легко проверить, пользуясь схемой (17). Действительно, при перестановке двух столбцов элементы, перечеркнутые сплошной чертой, займут место элементов, перечеркнутых пунктиром, и обратно, что равносильно изменению знака определителя.

III. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (или строками) равен нулю.

В самом деле, с одной стороны, при перестановке одинаковых столбцов определитель не изменяется; с другой же стороны, в силу свойства II он должен переменить знак, т. е. если через обозначим иеличину определителя, то откуда

Чтобы установить дальнейшие свойства определителей, введем предварительно некоторые новые понятия. Если из определителя

вычеркнуть одну строку и один столбец, на пересечении которых стоит некоторый элемент, то получится определитель 2-го порядка, который называется минором определителя , соответствующим этому элементу. Так, например, минором определителя А, соответствующим элементу будет определитель 2-го порядка Условимся называть алгебраическим дополнением А некоторого элемента а соответствующий ему минор, взятый со знаком или смотря по тому, будет ли сумма номеров строки и столбца, которым принадлежит данный элемент, четным или нечетным числом. Так, например, алгебраическое дополнение элемента будет

Располагая сумму, стоящую в правой части формулы (16), но элементам, например первого столбца, получим:

где А; есть алгебраическое дополнение элемента

Легко проверить, что аналогичная формула имеет место и по отношению к любому столбцу, а значит, и к любой строке. Итак, получаем разложение определителя по элементам некоторого ряда (строки или столбца):

где большими буквами обозначены алгебраические дополнения элементов, обозначенных малыми буквами.

Если в определителе заменим, например, элементы первого столбца элементами второго столбца то при замене алгебраические дополнения не содержащие элементов первого столбца, не изменятся, а потому, если в правой части первой формулы (18) вместо подставить элементы сумма будет равна определителю, у которого первый

и второй столбцы одинаковы, т. е. будет равна нулю:

Поступая аналогично, получим из первых трех формул (18) следующую группу формул:

а из последних трех:

Нанисанные формулы (18), (19) и (19) выражают следующее свойство определители:

IV. Сумма произведений элементов некоторого ряда (столбца или строки) на алгебраические дополнения этих элементов равна определителю, а сумма произведений элементов некоторого ряда (столбца или строки) на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда (столбца или строки) равна нулю.

V. Множитель, общий элементам некоторого ряда (столбца или строки), можно выносить за знак определителя.

VI. Определитель равен нулю, если все элементы некоторого его ряда (столбца или строки) равны нулю.

Последние два свойства непосредственно вытекают из формул (18), определяющих разложение определителя по элементам одного из его рядов. Столь же просто доказывается и следующее свойство.

VII. Если элементы некоторого ряда (столбца или строки) представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, у которых элементы рассматриваемого ряда равны соответственным слагаемым.

Это свойство, очевидно, распространяется на любое число слагаемых. Чтобы доказать это свойство, предположим, например, что

Подставляя эти выражения в первую из формул (18), получим:

Очевидно, представляет определитель, получающийся из определителя если в нем элементы первого столбца заменить через определитель же получится из определителя после замени элементов первого столбца на а,

VIII. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторого ряда (столбца или строки) прибавить (или от них вычесть) элементы параллельного ряда (столбца или строки), предварительно умножив эти последние на один и тот же произвольном множитель I.

В самом деле, заменим элементы, например первой строки, соответственно через Вследствие последнего свойства полученный определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей. Первый из них будет иметь первую строку т. е. будет равен исходному определителю А Первая же строка второго определителя будет и, вынося I за знак определителя (V), получим определитель с двумя одинаковыми строками; следовательно, второй определитель равен пулю (VI); вся же сумма равна исходному определителю А.

Пользуясь свойством VIII, можно все элементы некоторого ряда, кроме одного, сделать равными нулю, не изменяя при этом величины определителя. Разлагая затем определитель по элементам этого ряда, приведем данный определитель 3-го порядка к одному определителю 2-го порядка. Действительно, пусть в определителе

элемент а, отличен от нуля. Вычтем из элементов второго столбца элементы первого столбца, умножив их предварительно на и из элементов третьего столбца — элементы первого столбца, умноженные на При таких преобразованиях в силу свойства VIII величина определителя не изменится, и мы получим;

Пример. Вычислить определитель

Вычитая из элементов второго столбца элементы первого, умноженные на 2, а из элементов третьего столбца — элементы первого столбца, умноженные на 5, получим:

Непосредственное вычисление данного определителя путем разложения его по элементам некоторого ряда потребовало бы несколько больших выкладок и сводилось бы к следующему. Применяя, например, первую из формул (18), получаем:

Источник

И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ (1 часть)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

1. Доказать, что если все элементы определителя 3-го порядка равны ±1, то сам определитель будет четным числом.

2. Найти наибольшее значение, которое может принимать определитель 3-го порядка, при условии, что все его элементы равны ±1.

3. Найти наибольшее значение определителя 3-го порядка, все элементы которого равны 1 или 0.

4. Как изменится определитель порядка п, если у всех его элементов изменить знак на противоположный?

5. Сколько миноров порядка к содержит квадратная матрица порядка п?

6. Найти значения λ, при которых матрица

имеет наименьший ранг. Чему равен ранг при найденных λ и чему он равен при других значениях λ?

7. Чему равен ранг матрицы при различных значениях λ?

8. Доказать, что если матрица содержит т строк и имеет ранг r, то любые s ее строк образуют матрицу, ранг которой не меньше r + s – m.

9. Как изменится ранг матрицы, если к ней добавить одну строку или один столбец?

10. Доказать, что ранг суммы двух матриц не больше суммы их рангов.

11. Доказать, что если ранг матрицы А не меняется при добавлении к ней любого столбца матрицы В (с таким же числом строк, как А), то он не изменится при добавлении к матрице А всех столбцов матрицы В.

12. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми:

13. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми:

14. Доказать, что система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима.

15. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

16. Доказать, что если часть системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

17. Доказать, что любая часть системы линейно независимых векторов линейно независима.

18. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра λ:

.

19. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра λ:

.

20. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра λ:

.

21. Привести пример несовместной системы 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными, у которой

22. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы либо сумма двух решений, либо произведение одного решения на ненулевое число было снова решением той же системы линейных уравнений.

23. При каких условиях в любом решении совместной системы линейных уравнений неизвестное имеет одно и то же значение?

24. Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы в любом решении совместной системы линейных уравнений к-е неизвестное было равно нулю.

25. Доказать, что если для матриц А и В оба произведения АВ и ВА существуют, причем АВ = ВА, то матрицы А и В квадратные и имеют одинаковый порядок.

26. Как изменится произведение АВ матриц А и В, если переставить i – ю и j-ю строки матрицы А?

27. Как изменится произведение АВ матриц А и В, если переставить i – й и j-й столбцы матрицы В?

28. Доказать, что если А и В – квадратные матрицы одного порядка, причем АВ ≠ ВА, то:

а) ( А + В) 2 ≠ А 2 +2АВ + В 2 ;

29. Найти все матрицы второго порядка, квадрат которых равен нулевой матрице.

30. Найти все матрицы второго порядка, квадрат которых равен единичной матрице.

а) переставить i – ю и j-ю строки;

б) i – ю строку умножить на число с, не равное нулю;

в) к i – й строке прибавить j-ю, умноженную на число с, или совершить аналогичное преобразование столбцов?

32. Пусть А Т – матрица, транспонированная по отношению к матрице А. Доказать, что

а) (хА) Т = хА Т ; б) (А + В) Т = А Т + В Т ; в) (А Т ) Т = А.

34. При каких значениях с совместна система уравнений: ?

35. При каких значениях с совместна система уравнений: ?

36. Известно, что столбцы и образуют фундаментальную систему решений некоторой однородной системы линейных уравнений. Из скольких уравнений может состоять эта система? Привести пример такой системы, состоящей из трех уравнений.

37. Найдите две различные фундаментальные системы решений для системы уравнений

38. Найдите две различные фундаментальные системы решений для системы уравнений

.

39. Найти однородную систему линейных уравнений, состоящую из двух уравнений, для которой столбцы

образуют ее фундаментальную систему решений.

40. Найти однородную систему линейных уравнений, состоящую из трех уравнений, для которой столбцы

образуют ее фундаментальную систему решений.

41. Найти однородную систему линейных уравнений, состоящую из четырех уравнений, для которой столбцы

образуют ее фундаментальную систему решений.

42. Существует ли однородная система линейных уравнений, для которой каждая из совокупностей трех столбцов:

и

является ее фундаментальной системой решений?

43. Докажите, что существует неоднородная система линейных уравнений, для которой каждая из формул

и

описывают ее общее решение. Приведите пример такой системы уравнений.

Источник

Доказать что если все элементы определителя 3 порядка равны 1

det А

Итак, det А ,

Например, для n 2

,

для n 3

Правило вычисления определителя равносильно правилу треугольников (правилу Саррюса), которое схематически можно записать как

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

1. Равноправие строк и столбцов. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

2. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны нулю, то определитель также равен нулю. Это свойство очевидно, так как каждое слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждого столбца (строки).

3. Антисимметрия. При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина остается неизменной.

Доказательство свойств 1 и 3 основано на правиле расстановки знаков членов определителя.

4. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.

Действительно, при перестановке, например, двух одинаковых столбцов определитель не изменяется, но вместе с тем он в силу третьего свойства меняет знак на обратный, т. е.

, откуда или .

6. Общий множитель всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя можно вынести за его знак. Отсюда следует, что если какой-либо столбец (строку) определителя умножить на число λ, то сам определитель умножится на это число.

7. Если какой-либо столбец (строка) определителя является линейной комбинацией других его столбцов (строк), то определитель равен нулю.

Свойства 6 и 7 вытекают из пятого свойства.

8. Определитель не изменится, если к любому его столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию его столбцов (строк).

Действительно, в силу линейности определитель равен сумме исходного определителя и определителя с двумя одинаковыми столбцами (строками).

Доказательство следует из свойства линейности определителя.

Источник

Содержание:

Определители II и III порядка

Определение: Определителем порядка n называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы, имеющей n строк и n столбцов, которая раскрывается по определенному правилу.

Числа

Определение: Определителем II порядка называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы размером 2×2, т.е. имеющая 2 строки и 2 столбца.

Определение: Определитель II порядка вычисляется по правилу: из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, надо вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали:

Пример:

Определение: Определителем III порядка называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы размером 3×3, то есть имеющей 3 строки и 3 столбца.

Определитель III порядка вычисляется по правилу Саррюса: за определителем выписывают первый и второй столбцы, затем из суммы произведений элементов, стоящих на главной диагонали ей параллельных диагоналях, надо вычесть сумму произведений элементов, стоящих на побочной диагонали и ей параллельных:

Пример:

Определение: Минором элемента называется определитель порядка (n-1), который получается из исходного определителя порядка n путем вычеркивания строки i и столбца j, на пересечении которых стоит элемент

Пример:

Найти миноры элементов и определителя из Примера 2. Вычеркивая в определителе строку 1 и столбец 2: получим минор Поступая аналогично со строкой 3 и столбцом 3, получим минор

Пример:

Найти миноры элементов и определителя Исходя из определения минора получаем аналогично найдем минор

Определение: Алгебраическим дополнением элемента называется произведение минора этого элемента на т.е.

Замечание: Из определения алгебраического дополнения следует, что алгебраическое дополнение совпадает со своим минором, если сумма является четным числом, и противоположно ему по знаку, если сумма — нечетное число.

Определение: Транспонированным определителем n-го порядка называется определитель порядка n, полученный из исходного определителя путем замены строк на соответствующие столбцы, а столбцов на соответствующие строки.

Если

Пример:

Найти определитель, транспонированный к определителю Из определения транспонированного определителя

Свойства определителей

1. Величина транспонированного определителя равна величине исходного определителя. Пусть Отсюда видно, что

2. Перестановка местами двух строк (столбцов) изменяет знак определителя на противоположный. Пусть

Если поменять местами строки (столбцы) четное число раз, то величина и знак определителя не меняется. Нечетная перестановка местами строк (столбцов) не меняет величину определителя, но изменяет его знак на противоположный.

3. Определитель, содержащий две (или более) одинаковых строки (столбца), равен нулю. Если определитель содержит два одинаковых столбца, то

4. Для того чтобы умножить определитель на число k, достаточно умножить на это число все элементы какой-либо одной строки (столбца). Обратно: если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель k, то его можно вынести за знак определителя.

Докажем это свойство:

5. Если две каких-либо строки (столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Пусть в определителе II порядка первая и вторая строки пропорциональны, тогда

6. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Пусть в определителе II порядка все элементы первой строки равны нулю, тогда

7. Если элементы какой-либо строки (или столбца) можно представить в виде двух слагаемых, то сам определитель можно представить в виде суммы двух определителей. Если Доказать самостоятельно.

8. Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на вещественное число к и прибавить k соответствующим элементам другой строки (соответственно, столбца), то величина определителя не изменится.

Умножим элементы второго столбца на вещественное число k и прибавим результат умножения к соответствующим элементам первого столбца, получим

Второй определитель равен нулю по свойству 5.

Замечание: Данное свойство применяется для обнуления всех элементов какой-либо строки (столбца) за исключением одного (метод обнуления), что существенно снижает трудоемкость вычисления определителей порядка выше 3 (см. также свойство 9.).

9. [Метод раскрытия определителя по элементам какой-либо строки (или столбца); универсальный способ вычисления определителя любого порядка]. Определитель любого порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Пример:

Вычислить определитель по элементам 3 строки и по элементам 2 столбца.

Решение:

Воспользуемся свойством 9.: раскроем определитель по элементам 3 строки Вычислим определитель по элементам 2 столбца

Из полученных результатов видно, что свойство 9. является универсальным методом вычисления любых определителей по элементам любой строки или столбца.

Используя свойство 8. можно обнулить все элементы какой-либо строки (столбца) за исключением одного (метод обнуления), а затем раскрыть определитель по элементам этой строки, воспользовавшись свойством 9.

Пример:

Вычислить определитель

Решение:

Обнулим элементы в третьей строке, для чего выполним следующие действия: (по свойству 4. из третьей строки вынесем множитель 2) используя свойство 8., умножим все элементы второго столбца на 1.5 и прибавим к соответствующим элементам третьего столбца, получим)

(по свойству 4. из третьего столбца вынесем множитель 0,5, тогда множитель перед определителем станет равным 1)

(раскроем определитель по элементам третьей строки: выше из определителя третьего порядка вычеркнута третья строка с нулями и второй столбец, т.е. показан необходимый для дальнейших вычислений минор Таким образом, метод обнуления позволяет значительно ускорить процесс вычисления любого определителя.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Вычислим определители второго и третьего порядков согласно вышеописанным правилам:

Найденные величины подставим в исходное уравнение

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Вычислим определители второго и третьего порядков согласно вышеописанным правилам:

Найденные величины подставим в исходное неравенство

Пример:

Вычислить определитель четвертого порядка (аналогично выполнить такие же действия с определителем третьего порядка), преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и вычислить полученный определитель по элементам этого ряда:

Решение:

Во второй строке исходного определителя присутствуют 1 и 0, поэтому обнуление элементов будем производить в этой строке (при обнулении элементов в строке действия производят со столбцами и наоборот): — строка обнуления; — столбцы, с которыми производят действия)=

(по методу обнуления раскроем определитель по элементам 2-ой строки ( — цифры, с которыми производятся действия))

(по универсальному методу раскроем определитель по элементам третьей строки)

Определители

Перестановкой чисел 1, 2. n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12. n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.

Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку в которой 3 переходит в

Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:

Определителем n-го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ (детерминант, или определитель, матрицы А).

Свойства определителей:

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором элемента определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента определителя d называется его минор взятый со знаком Алгебраическое дополнение элемента будем обозначать Таким образом,

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки или j- го столбца

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Пример:

Не вычисляя определителя показать, что он равен нулю.

Решение:

Вычтем из второй строки первую, получим определитель равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель в котором две строки пропорциональны.

Такой определитель равен нулю.

Пример:

Вычислить определитель разложив его по элементам второго столбца.

Решение:

Разложим определитель по элементам второго столбца:

Пример:

Вычислить определитель в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Решение:

Разложим определитель А по первой строке:

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:

И так далее. После n шагов придем к равенству

Пример:

Вычислить определитель

Решение:

Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: равный исходному.

Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.

Определители. Алгебраические дополнения

Внимание! Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.

Матрица называется квадратной порядка n, если количество ее строк совпадает с количеством столбцов и равно n.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ. Элементы квадратной матрицы порядка n, сумма индексов каждого из которых равна n+1, составляют побочную диагональ.

Определитель матрицы обозначается одним из следующих символов:

Определитель матрицы второго порядка равен разности элементов главной и побочной диагоналей соответственно:

Определитель матрицы третьего порядка равен сумме элементов главной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, а также разности элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали.

Схематично это правило изображается так (правило треугольника):

Квадратная матрица называется верхней (нижней) треугольной, если все элементы, стоящие под (над) главной диагональю равны нулю.

Отметим некоторые свойства определителя.

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-l)-ro порядка, получаемый вычеркиванием i-й строки и j-ro столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Обозначение:

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на Обозначение:

Теорема разложения.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

Пример №2

Вычислить определитель, разлагая его по элементам первой строки:

Решение:

По теореме разложения

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Для вычисления определителя порядка выше третьего удобно пользоваться теоремой разложения (метод понижения порядка) или методом приведения определителя к треугольному виду.

Пример №3

Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение:

Применяя свойство 6 определителей, преобразуем последовательно второй, третий, четвертый столбцы матрицы.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник