Доказать что если x 1 то справедливо неравенство

Доказать что если x 1 то справедливо неравенство

x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что (1 + x) n ≥ 1 + nx.

Решение 1

Докажем неравенство индукцией по n.

База. При n = 1 неравенство превращается в равенство.

Шаг индукции. Пусть уже доказано, что (1 + x) n ≥ 1 + nx. Тогда (1 + x) n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx² ≥ 1 + (n + 1)x.

Решение 2

3. Из решения 2 видно, что неравенство верно и при нецелых n > 1.

Источники и прецеденты использования

Источник

Неравенства Бернулли

Неравенства Бернулли

Бернулли Якоб (1654-1705) — швейцарский учёный, профессор Базель-ского университета (Швейцария). Известен своими работами по дифференциальной геометрии, вариационному исчислению и математической физике.

Теорема 1 (неравенство Бернулли с натуральным показателем). При любом действительном x (x > — 1) и при любом натуральном n справедливо неравенство

Доказательство. Воспользуемся для доказательства методом полной математической индукции (по параметру n ).

1) При n=1 имеем: — верно.

Сформулируем без доказательства неравенство Бернулли в случае, когда показатель степени в неравенстве не является натуральным.

Теорема 2 (неравенство Бернулли с произвольным показателем). Пусть . Тогда справедливы неравенства

причём неравенства обращаются в равенства только при x = 0.

Пример №135.

Найти наибольшее значение функции

Решение:

Дважды воспользуемся на области определения функции неравенством Бернулли:

Складывая эти неравенства, получаем неравенство

причём равенство достигается при x = 0 (в каждом из двух неравенств). Поэтому f(о) = 2 — наибольшее значение функции.

Ответ:

Рассмотрим, наконец, обобщённое неравенство Бернулли для нескольких действительных чисел.

Теорема 3 (неравенство Бернулли для n чисел). Пусть— числа одного знака, Тогда

Доказательство (методом математической индукции).

1) При n = 1 неравенство, очевидно, выполняется.

и докажем, что тогда оно выполняется и при n = k + 1, т.е.

В частности, при получаем

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник