Доказать что функция является непрерывной

18.04.202223.04.2022 admin 0 Comments

Как доказать непрерывность функции

Пример 1: докажите непрерывность функции f(x) = x^2 в точке x_0.

По ε-Δ определению существует такое ε > 0, что |x^2 – x_0^2|

Некоторые элементарные функции являются непрерывными на всей области определения (множестве значений X):

Пример 2: докажите непрерывность функции f(x) = sin x.

По определению непрерывности функции по ее бесконечно малому приращению запишите:

Преобразуйте по формуле для тригонометрических функций:

Δf = 2*cos((x + Δx)/2)*sin(Δx/2).

Функция cos ограничена при x ≤ 0, а предел функции sin(Δx/2) стремится к нулю, следовательно, она является бесконечно малой при Δx→0. Произведение ограниченной функции и бесконечно малоq величины, а значит и приращение исходной функции Δf также является бесконечной малой величиной. Следовательно, функция f(x) = sin x непрерывна для любого значения x.

Пример 1: докажите непрерывность функции f(x) = x^2 в точке x_0.

По ε-Δ определению существует такое ε > 0, что |x^2 – x_0^2|

Некоторые элементарные функции являются непрерывными на всей области определения (множестве значений X):

Пример 2: докажите непрерывность функции f(x) = sin x.

По определению непрерывности функции по ее бесконечно малому приращению запишите:

Преобразуйте по формуле для тригонометрических функций:

Δf = 2*cos((x + Δx)/2)*sin(Δx/2).

Некоторые элементарные функции являются непрерывными на всей области определения (множестве значений X):

Пример 2: докажите непрерывность функции f(x) = sin x.

По определению непрерывности функции по ее бесконечно малому приращению запишите:

Преобразуйте по формуле для тригонометрических функций:

Δf = 2*cos((x + Δx)/2)*sin(Δx/2).

Источник

Непрерывность функции

Понятие непрерывности функции.

Функция $f(x)$, определенная в некоторой окрестности точки $a$, называется непрерывной в точке $a$, если
$$
\displaystyle \lim_f(x)=f(a)\label
$$

Таким образом, функция $f$ непрерывна в точке $a$, если выполнены следующие условия:

Определение непрерывности функции $f(x)$ в точке $a$, выраженное условием \eqref, можно сформулировать с помощью неравенств (на языке $\varepsilon-\delta$), с помощью окрестностей и в терминах последовательностей соответственно в виде

Следует обратить внимание на то, что в определении непрерывности функции, в отличие от определения предела, рассматривается полная, а не проколотая окрестность точки $a$, и пределом функции является значение этой функции в точке $a$.

Назовем разность $x-a$ приращением аргумента и обозначим $\Delta x$, а разность $f(x)-f(a)$ — приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента $\Delta x$, и обозначим $\Delta y$. Таким образом,
$$
\Delta x=x-a,\;\Delta y=f(x)-f(a)=f(a+\Delta x)-f(a).\nonumber
$$

При этих обозначениях равенство \eqref примет вид
$$
\lim_<\Delta x\rightarrow 0>\Delta y=0.\nonumber
$$

Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Показать, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$, если:

По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятие непрерывности слева (справа). Если функция $f$ определена на полуинтервале $(a-\delta,a]$ и $\displaystyle \lim_f(x)=f(a)$, то есть$f(a-0)=f(a)$, то эту функцию называют непрерывной слева в точке $a$.

Аналогично, если функция $f$ определена на полуинтервале $[a,a+\delta)$ и $f(a+0)=f(a)$, то эту функцию называют непрерывной справа в точке $a$.

Например, функция $f(x)=[x]$ непрерывна справа в точке $x=1$ и не является непрерывной слева в этой точке, так как $f(1-0)=0,\;f(1+0)=f(1)=1$.

Очевидно, функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.

Точки разрыва.

Будем предполагать, что функция $f$ определена в некоторой проколотой окрестности точки $a$.

Точку $a$ назовем точкой разрыва функции $f$, если эта функция либо не определена в точке $a$, либо определена, но не является непрерывной в точке $a$.

Следовательно, $a$ — точка разрыва функции $f$, если не выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

Если $a$ — точка разрыва функции $f$, причем в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, то есть $\displaystyle \lim_f(x)=f(a-0)$ и $\displaystyle \lim_f(x)=f(a+0)$, то точку $a$ называют точкой разрыва первого рода.

Если $x=a$ — точка разрыва первого рода функции $f(x)$, то разность $f(a+0)-f(a-0)$ называют скачком функции в точке $a$. В случае когда $f(a+0)=f(a-0)$, точку $a$ называют точкой устранимого разрыва. Полагая $f(a)=f(a+0)=f(a-0)=A$, получим функцию
$$
f(x)=\left\<\beginf(x),\;если\;x\neq a,\\A,\;если\;x=a,\end\right.\nonumber
$$
непрерывную в точке $a$ и совпадающую с $f(x)$ при $x\neq a$. В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывности в точке $a$.

Пусть $x=a$ — точка разрыва функции $f$, не являющаяся точкой разрыва первого рода. Тогда ее называют точкой разрыва второго рода функции $f$. В такой точке хотя бы один из односторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Например, для функции $f(x)=\displaystyle x\sin<\frac<1>>$ точка $x=0$ — точка разрыва первого рода. Доопределив эту функцию по непрерывности, получим функцию
$$
\overline(x)=\left\<\begin
x\sin<\frac<1>>,\;если\;x\neq 0,\\
0,\;если\;x=0,
\end\right.\nonumber
$$
непрерывную в точке $x=0$, так как
$$
\lim_x\sin\frac<1>=0.\nonumber
$$

Для функций $\displaystyle \sin<\frac<1>>$ и $\displaystyle \frac<1>$ точка $x=0$ — точка разрыва второго рода.

Если функция $f$ определена на отрезке $[a,b]$ и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка точки разрыва только первого рода.

$\circ$ Пусть $x_0$ — произвольная точка интервала $(a,b)$. Функция $f$ имеет в точке $x_<0>$ конечные пределы слева и справа. Если, например, $f$ — возрастающая функция, то
$$
f(x_<0>-0)\leq f(x_<0>)\leq f(x_<0>+0),\nonumber
$$
где $f(x_<0>-0)$ и $f(x_<0>+0)$ — соответственно пределы функции $f$ слева и справа в точке $x_<0>$.

Свойства функций, непрерывных в точке.

Локальные свойства непрерывной функции.

Если функция $f$ непрерывна в точке $a$, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки, то есть
$$
\exists\delta>0\quad\exists C>0:\;\forall x\in U_<\delta>(a)\rightarrow|f(x)|\leq C\nonumber
$$

Если функция $f$ непрерывна в точке $a$, причем $f(a)\neq 0$, то в некоторой окрестности точки $a$ знак функции совпадает со знаком числа $f(a)$, то есть
$$
\exists\delta>0:\quad\forall x\in U_<\delta>(a)\rightarrow \operatorname\ f(x)=\operatorname\ f(a).\nonumber
$$

$\circ$ Эти утверждения следуют из свойств пределов. $\bullet$

Непрерывность суммы, произведения и частного.

Если функции $f$ и $g$ непрерывны в точке $a$, то функции $f+g$, $fg$ и $f/g$ (при условии $g(a)\neq 0$) непрерывны в точке $a$.

$\circ$ Это утверждение следует из определения непрерывности и свойств пределов. $\bullet$

Непрерывность сложной функции.

Напомним, что такое сложная функция.

Пусть функции $y=\varphi(x)$ и $z=f(y)$ определены на множествах $X$ и $Y$ соответственно, причем множество значений функции $\varphi$ содержится в области определения функции $f$. Тогда функция, которая принимает при каждом $x\in X$ значение $F(x)=f(\varphi(x))$, называется сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций $\varphi$ и $f$.

Если функция $z=f(y)$ непрерывна в точке $y_0$, а функция $y=\varphi(x)$ непрерывна в точке $x_0$, причем $y_0=\varphi(x_0)$, то в некоторой окрестности точки $x_0$ определена сложная функция $f(\varphi(x_0))$, и эта функция непрерывна в точке $x_0$.

$\circ$ Пусть задано произвольное число $\varepsilon>0$. В силу непрерывности функции $f$ в точке $y_0$ существует число $\rho=\rho(\varepsilon)>0$ такое, что $U_\rho(y_0)\subset D(f)$ и
$$
\forall y\in U_\rho(y_0)\rightarrow f(y)\in U_<\varepsilon>(z_<0>),\label
$$
где $z_<0>=f(y_<0>)$.

В силу непрерывности функции $\varphi$ в точке $x_<0>$ для найденного в \eqref числа $\rho>0$ можно указать число $\delta=\delta_<\rho>=\delta(\varepsilon)>0$ такое, что
$$
\forall x\in U_\delta(x_0)\rightarrow \phi (x)\in U_\rho (y_0).\label
$$

Из условий \eqref и \eqref следует, что на множестве $U_\delta(x_0)$ определена сложная функция $f(\varphi(x))$, причем
$$
\forall x\in U_\delta(x_0)\rightarrow f(y)=f(\varphi(x))\in U_<\varepsilon>(z_<0>),\nonumber
$$
где $z_0=f(\varphi(x_0))=f(y_<0>)$, то есть
$$
\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0:\quad \forall х\in U_\delta(x_0)\rightarrow f(\varphi(х))\in U_\varepsilon(\varphi(x_0)).\nonumber
$$

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция $f(\varphi(x))$ непрерывна в точке $x_0$. $\bullet$

Соответствие между окрестностями точек $x_0,\ y_0,\ z_0$ представлено на рис. 11.1. По заданному числу $\varepsilon>0$ сначала находим $\rho>0$, а затем для чисел $\rho>0$ находим $\delta>0$.

Рис. 11.1

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функцию $f(x)$ называют непрерывной на отрезке $[a,b]$, если она непрерывна в каждой точке интервала $(a,b)$ и, кроме того, непрерывна справа в точке $a$ и непрерывна слева в точке $b$.

Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она ограничена, то есть
$$
\exists C>0:\forall x\in[a,\ b]\rightarrow|f(x)|\leq C.\label
$$

$\circ$ Предположим противное, тогда
$$
\forall C>0\;\exists x_\in [a,b]:\;|f(x_)|>C.\label
$$

Полагая в этом выражении $C=1,2\ldots,n,\ldots,$ получим, что
$$
\forall n\in\mathbb\quad\exists x_\in[a,b]:\;|f(x_)|>n.\label
$$

Последовательность $x_n$ ограничена, так как $a\leq x_\leq b$ для всех $n\in\mathbb$. По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то есть существуют подпоследовательность $x_$ и точка $\xi$ такие, что
$$
\lim_x_>=\xi,\label
$$
где в силу условия \eqref для любого $k\in\mathbb$ выполняется неравенство
$$
a\leq x_>\leq b.\label
$$

Из условий \eqref и \eqref следует, что $\xi\in [а,b]$ а из условия \eqref в силу непрерывности функции $f$ в точке $\xi$ получаем
$$
\displaystyle \lim_f(x_>)=f(\xi).\label
$$

С другой стороны. утверждение \eqref выполняется при всех $n\in\mathbb$ и, в частности, при $n=n_k\;(k=1,2,\ldots)$, то есть
$$
|f(x_>)|>n_,\nonumber
$$
откуда следует, что $\displaystyle \lim_f(x_>)=\infty$, так как $n_\rightarrow +\infty$ при $k\rightarrow\infty$. Это противоречит равенству \eqref, согласно которому последовательность $\>)\>$ имеет конечный предел. По этому условие \eqref не может выполняться, то есть справедливо утверждение \eqref. $\bullet$

Теорема Вейерштрасса неверна для промежутков, не являющихся отрезками. Например, функция $f(x)=\displaystyle \frac<1>$ непрерывна на интервале $(0,1)$, но не ограничена на этом интервале. Функция $f(x)=x^<2>$ непрерывна на $\mathbb$, но не ограничена на $\mathbb$.

Достижимость точных граней.

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она достигает своей точной верхней и нижней грани, то есть
$$
\exists\xi\in[a,b]:\quad f(\xi)=\sup_ f(x),\label
$$

$\circ$ Так как непрерывная на отрезке функция $f(x)$ ограничена (теорема 3), то есть множество значений, принимаемых функцией $f$ на отрезке $[a,b]$, ограничено, то существуют $\displaystyle \sup_f(x)$ и $\displaystyle \inf_f(x)$.

Докажем утверждение \eqref. Обозначим $M=\displaystyle \sup_f(x)$. В силу определения точной верхней грани выполняются условия
$$
\forall х\in [a,b]\rightarrow f(x)\leq M,\label
$$
$$
\forall\varepsilon>0\;\exists x(\varepsilon)\in[a,b]:\quad f(x(\varepsilon))>M-\varepsilon.\label
$$

Полагая $\varepsilon=\displaystyle \frac<1><2>, \displaystyle \frac<1><3>,\ldots,\frac<1>,\ldots$, получим в силу условия \eqref последовательность$\$, где $x_n=\displaystyle x\left(\frac1n\right)$, такую, что для всех $n\in\mathbb$ выполняются условия
$$
x_n\in [a,b],\label
$$
$$
f(x_)>M-\displaystyle \frac<1>.\label
$$

Из соотношений \eqref, \eqref и \eqref следует, что
$$
\forall n\in\mathbb\rightarrow M-\frac<1>\; Замечание 4

Теорема 4 неверна для интервалов: функция, непрерывная на интервале, может не достигать своих точных граней. Например, функция $f(x)=x^<2>$ не достигает на интервале (0,1) своей точной нижней грани, равной нулю, и точной верхней грани, равной единице.

Промежуточные значения.

(теорема Коши о нулях непрерывной функции)

Если функция $f$ непрерывна на отрезке [a,b] и принимает в его концах значения разных знаков, то есть \(f(a)f(b)\; Доказательство

$\circ$ Разделим отрезок $[a,b]$ пополам. Пусть $d$ — середина этого отрезка. Если $f(d)=0$, то теорема доказана, а если $f(d)\neq 0$, то в концах одного из отрезков $[a,d],\ [d,b]$ функция $f$ принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок $\Delta_<1>=[a_<1>,b_<1>]$. Пусть $d_<1>$ — середина отрезка $\Delta_1$. Возможны два случая:

Продолжая эти рассуждения, получим:

С другой стороны, из неравенства \eqref следует, что $b_-a_\rightarrow 0$ при $n\rightarrow\infty$, и поэтому
$$
\exists n_0\in\mathbb:\quad b_>-a_>\; Замечание 5

Теорема 5 утверждает, что график функции $y=f(x)$, непрерывной на отрезке $[a,b]$ и принимающей в его концах значения разных знаков, пересекает ось $Ox$ (рис. 11.2) хотя бы в одной точке отрезка $[a,b]$.

Рис. 11.2

(теорема Коши о промежуточных значениях)

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $f(a)\neq (b)$, то для каждого значения $C$, заключенного между $f(a)$ и $f(b)$, найдется точка $\xi\in [a,b]$ такая, что $f(\xi)=C$.

$\circ$ Обозначим $f(a)=A,\ f(b)=B$. По условию $А\neq В$. Пусть, например, $A 0$ и по теореме 5 найдется точка $\xi\in [a,b]$ такая, что $\varpi(\xi)=0$, то есть $f(\xi)=C$. Утверждение \eqref доказано. $\bullet$

Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b],\ m=\displaystyle \inf_ f(x),\ M=\displaystyle \sup_ f(x)$, то множество значений, принимаемых функцией $f$ на отрезке $[a,b]$, есть отрезок $[m,M]$.

$\circ$ Для всех $x\in[a,b]$ выполняется неравенство $m\leq f(x)\leq M$, причем согласно теореме 4 функция $f$ принимает на отрезке $[a,b]$ значения, равные $m$ и $М$. Все значения из отрезка $[m,M]$ функция принимает по теореме 6. Отрезок $[m,M]$ вырождается в точку, если $f(x)=const$ на отрезке $[a,b]$. $\bullet$

Существование и непрерывность функции, обратной для непрерывной и строго монотонной функции.

Ранее мы уже рассматривали понятие обратной функции. Докажем теорему о существовании и непрерывности обратной функции.

Если функция $y=f(x)$ непрерывна и строго возрастает на отрезке $[a,b]$, то на отрезке $[f(a),(b)]$ определена функция $x=g(y)$, обратная к f, непрерывная и строго возрастающая.

$\circ$ Существование обратной функции. Обозначим $A=f(a),\;B=f(b)$. Так как f — возрастающая функция, то для всех $х\in [a,b]$ выполняется неравенство $A\leq f(x)\leq B$, где $A= \displaystyle \inf_ f(x),\;B=\sup_f(x)$, и в силу непрерывности f (следствие из теоремы 6) множество значений функции $E(f)=[A,B]$.

Согласно определению обратной функции (\S\ 9,п. 9) нужно доказать, что для каждого $у_0\in [A,В]$ уравнение
$$
f(x)=y_<0>\label
$$
имеет единственный корень $x=x_<0>$, причем $x_0\in [a,b]$.

Существование хотя бы одного корня уравнения \eqref следует из теоремы 6. Докажем, что уравнение \eqref имеет на отрезке $[a,b]$ единственный корень.

Предположим, что наряду с корнем $x=x_<0>$ уравнение \eqref имеет еще один корень $x=\widetilde_<0>$, где $\widetilde_<0>\neq x_0$; тогда $f(\widetilde)=y_<0>,\;\widetilde x_0\in[a,b]$.

Пусть, например, $\widetilde_0>x_0$. Тогда в силу строгого возрастания функции $f$ на отрезке $[a,b]$ выполняется неравенство $f(\widetilde_0)>f(x_<0>)$. С другой стороны, $f(\widetilde_0)=f(x_0)=y_<0>$. Отсюда следует, что неравенство $\widetilde_0>x_<0>$ не может выполняться. Следовательно, $\widetilde_0=x_0$. Существование обратной функции доказано, то есть на отрезке $[A,В]$ определена функция $x=f^<-1>(y)=g(y)$, обратная к $f$, причем $(g)=[a,b]$ и
$$
g(f(x))=x,\quad x\in[a,b],\quad f(g(y))=y,\quad u\in [A,B].\label
$$

Монотонность обратной функции. Докажем, что $g(y)$ — строго возрастающая на отрезке [A,В] функция, то есть
$$
\forall\;y_<1>,\;y_<2>\in [A,B]:\quad y_<1>\; Замечание 6

Если функция $f$ непрерывна и строго убывает на отрезке $[a,b]$, то обратная к ней функция $g$ непрерывна и строго убывает на отрезке $[f(b),f(a)]$.

Аналогично формулируется и доказывается теорема о функции $g$, обратной к функции $f$, для случаев, когда функция $f$ задана на интервале (конечном либо бесконечном) и полуинтервале.
Если функция $f$ определена, строго возрастает и непрерывна на интервале $(a,b)$, то обратная функция $g$ определена, строго возрастает и непрерывна на интервале $(A,B)$, где
$$
A=\lim_f(x),\quad B=\lim_f(x).\nonumber
$$

Источник

Непрерывность функций с примерами решения и образцами выполнения

Непрерывность функции:

Непрерывные функции, точки разрыва и их классификация, действия над непрерывными функциями, свойства функций, непрерывных на сегменте.

Определение:

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

Если в точке x₀ функция непрерывна, то точка x₀ называется точкой непрерывности функции.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию в точке х = 1.

Решение:

Чтобы доказать, что функция непрерывна в точке х = 1, необходимо проверить выполнение трех следующих условий (определение непрерывности):

Таким образом, доказано, что функция непрерывна в точке х = 1.

Замечание:

Формулу (10.1) можно записать в виде
(10.2)
так как . Это значит, что при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.

Введем понятие непрерывности функции в точке х₀ справа и слева.
Если, существует f(x) = f(x₀), то функция называется непрерывной в точке x₀ слева. Аналогично определяется непрерывность функции справа.

Так как ∆x = x-x₀, a ∆y = f(x)-(x₀), то условие (10.1) равносильно следующему:

Определение:

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции
(10.3)

Пример:

Показать, что функция у = х³ непрерывна для любого значения аргумента х.

Решение:

Найдем приращение функции ∆y.

Используя теоремы о пределе суммы и произведения функции, получим
(3x²∆x 4- 3x∆x² + ∆x³) = 0.

Следовательно, функция у = х³ непрерывна при — ∞ Точки разрыва функции и их классификация

Определение:

Точка х₀ называется точкой разрыва функции у = f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

Так, например, функция (рис. 89) терпит разрыв при х = 1. Эта функция не определена в точке х = 1, и не существует предела функции в этой точке.

Рис. 89. График функции

Определение:

Точка разрыва x₀ функции у = f(x) называется точкой устранимого разрыва, если существуют оба односторонних предела в точке x₀ и они равны, т. е.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке x=-1 функция не определена, так как, выполнив подстановку, получаем неопределенность . В других точках дробь можно сократить на (1 + х), так как в них 1 + х ≠ 0. Легко видеть, что односторонние пределы слева и справа в точке х = — 1 равны между собой и их можно вычислить:

Определение:

Если в точке x₀ односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны, точка x₀ называется точкой разрыва I рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию
(рис. 90).

Рис. 90. График функции

Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке ее разрыва х = 4.

Предел слева —.
Предел справа — .
Пределы слева и справа существуют, но не равны, следовательно, точка x = 4 для данной функции — точка разрыва I рода (точка скачка).

Определение:

Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода.

В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов. Функция , представленная на рис. 89, не имеет ни левого, ни правого конечного предела в точке х = 1. Следовательно, для данной функции x = 1 является точкой разрыва II рода.

Действия над непрерывными функциями

Теорема:

Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций. Если функции ϕ(x) и ψ(x) непрерывны в точке Хо, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x₀. Если, кроме того, знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю, то частное непрерывных функций есть функция непрерывная.

Докажем непрерывность произведения.

Дано: непрерывность функций в точке x₀:
и

Доказать, что f(x) — ϕ(x) ∙ ψ(x) есть функция непрерывная в точке x₀, т. е. f(x) — f(x₀).

Доказательство:
f(x) = [ϕ(x) ∙ ψ(x)] = ϕ(x) ∙ ψ(x) = ϕ(x₀) ∙ ψ(x₀) = f(x₀).

Можно строго доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.

Например, степенная у = xⁿ, показательная у = , тригонометрические у = sin х и у = cos х функции непрерывны на всей числовой оси (х ∈ R), логарифмическая функция непрерывна при х > 0, а тригонометрическая у = tg x непрерывна в каждом из интервалов и терпит разрыв II рода в точках (k = 0; ±1; ±2;…).

Теорема:

Непрерывность сложной функции. Если функция и = ϕ(x) непрерывна в точке x₀, а функция у = f(u) непрерывна в точке и₀ = ϕ(x₀), то сложная функция у = f [ϕ(x)] непрерывна в точке x₀.

В заключение этого раздела рассмотрим два предела, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Пример:

Вычислить

Решение:

Заметим, что при х → 0 числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Выполним преобразование

Так как данная логарифмическая функция непрерывна в окрестности точки х = 0, то можно перейти к пределу под знаком функции ( f(x)= f (x)).

но — второй замечательный предел.

Следовательно,
(10.4)

В частности, при а = е
(10.5)

Таким образом, у = ln( 1 + х) и у = х — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.

Пример:

Вычислить

Решение:

Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела сделаем замену переменной, положив — 1 = t. Тогда . При х → 0 также и t → 0.

Так как на основании результата, полученного в предыдущем примере, то
(10.6)

В частности, если а = е, имеем

т.е. у = — 1 и y = x — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.

Свойства функций, непрерывных на сегменте

Определение:

Функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], если она непрерывна во всех внутренних точках Этого сегмента, а на концах сегмента (в точках a и b) непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема:

Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], то она достигает на этом сегменте своего наибольшего и(или) наименьшего значения.

Простым доказательством этой теоремы, является геометрическая иллюстрация функции у = f(x) на рисунке 91. Непрерывная на сегменте [α, b] функция достигает наименьшего своего значения в точке х = x₁= а, а наибольшего значения в точке х₂.

Рис. 91. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.3

Следствие:

Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте.

Действительно, если по теореме 10.3 функция достигает на сегменте наибольшего M и наименьшего т значений, то имеет место неравенство m ≤ f(x) ≤ M для всех значений функции на рассматриваемом сегменте. Т. е. |f(x)| ≤ M и, следовательно, функция у = f(x) ограничена на сегменте [а, b].

Теорема:

Теорема Больцано-Коши. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] и на ее концах принимает значения разных знаков, то внутри этого сегмента найдется, по крайней мере, одна тонка С, в которой функция равна нулю.

Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки графика функции у = f(x), соответствующие концам сегмента [a, b], лежат по разные стороны от оси ОХ, то этот график хотя бы в одной точке сегмента пересекает ось OX. На данном рисунке 92 это три точки x₁, x₂, x₃.

Рис. 92. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.4

Теорема:

О промежуточных значениях функции. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [α, b] и f(α) = A и f(b) = В, то для любого числа С, заключенного между A и B, найдется внутри этого сегмента такая точка с, что f(c) = С.

Из графика на рисунке 93 видно, что непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения.

Рис. 93. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.5

Теорема:

О непрерывности обратной функции.) Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] в возрастает (убывает) на этом сегменте, то обратная функция х = f⁻¹(y) на соответствующем сегменте оси OY существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией.

Эту теорему мы принимаем без доказательства.

Решение на тему: Непрерывная функция

Пример:

Показать, что функция у = 4x² непрерывна в точке х = 2.

Решение:

Для этого необходимо показать, что в точке х = 2 выполняется все три условия непрерывности функции:

1) функция у = 4х² определена в точке х = 2 ⇒ f(2) = 16;
2) существует f(x) = 4x²= 16;
3) этот предел равен значению функции в точке х = 2

f(x) = f(2) = 16.

Пример:

Показать, что функция у = sin x непрерывна для любого значения аргумента х.

Решение:

Найдем приращение функции ∆y, используя формулы тригонометрических тождеств

Так как то при любом х имеем

Эта функция (рис. 94) определена во всех точках сегмента [0,4] и ее значение при х = 3 ⇒ у = 2. Функция терпит разрыв, так как она не имеет предела при х → 3 :

Следовательно, точка х = 3, точка разрыва первого рода. При этом в граничных точках исследуемого сегмента [0,4], функция f(x) непрерывна справа (х = 0) и непрерывна слева (х = 4).

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 5 функция не определена, т.к., выполнив подстановку, получаем неопределенность вида 0/0. Легко доказать, что

Следовательно, точка х = 5 точка устранимого разрыва.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 0 функция (рис. 95) терпит разрыв, так как она не определена в этой точке. Пределы функции слева и справа от точки х = 0 равны ∞. Следовательно, точка х = 0 для данной функции является точкой разрыва второго

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию