Доказать что геометрическое место точек оснований перпендикуляров

Рис.3 Теорема. Окружность, вписанная в треугольник.

4.Геометрическое место точек

Геометрическое место точек это фигура, которая представляет собой совокупность точек на плоскости, подчиняющихся определенному закону или обладающих определенным свойством.

Теорема. Геометрическим местом точек называется прямая, все точки которой равноудалены от двух данных точек, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину.

Доказательство. Пусть дан отрезок АС. Прямая А проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему.(Рис. 4).

Тогда треугольники Δ АМВ и Δ СМВ равны. Так как сторона ВМ у них обшая, а стороны АМ и МС равны по условию. Следовательно точка В равноудалена от точек А и С.
Возьмем другую точку, например D, не лежащую на прямой а. Тогда сторона MD не принадлежит прямой а. А следовательно, углы AMD и DMC не равны т.к. не равны треугольники. Данное утверждение основано на том, что через точку, лежащую на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. И следовательно, расстояния от точки D до точек А и С не равны. Поэтому, для того чтобы расстояния от некой точки Х до двух данных точек были равны, необходимо чтобы она лежала на прямой а, которая перпендикулярна отрезку, соединяющего эти точки, и которая проходит через его середину.

Рис.4 Теорема. Геометрическое место точек.

Рис.5 Задача. Дана окружность с центром О.

Пример 2

Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. (Рис.6)

Доказательство:

Таким образом, в равнобедренном треугольнике АОВ углы при вершинах А и В равны 90°. А это невозможно. Следовательно, мы пришли к противоречию и прямая а не может касаться окружности в двух точках.

Рис.6 Задача. Касательная к окружности.

Пример 3

Точки А,В,С лежат на одной прямой, а точка О лежит вне этой прямой. Докажите, что треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС. (Рис.7)

Доказательство:

Допустим, что треугольники АОВ и ВОС равнобедренные с основаниями АВ и ВС. Тогда Стороны АО, ВО и СО равны. Отсюда следует, что углы ОАВ, АВО, ОВС и ОСВ равны. И ∠АВО = ∠ОВС = 90°, так как эти углы являются смежными, а их сумма равна 180°.

Таким образом, в равнобедренных треугольниках АОВ и ВОС углы при вершинах А и С равны 90°. А это невозможно, потому, что тогда стороны АО, ВО и СО были бы параллельны, так как они перпендикулярны одной прямой АС. Следовательно, мы пришли к противоречию, и треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС.

Рис.7 Задача. Даны три точки на прямой.

Пример 4

Окружности с центрами О и О₁ пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО₁ (Рис.8)

Доказательство:

Так как окружности пересекаются в точках А и В, то эти две точки принадлежат обеим окружностям. Следовательно, отрезок ОА = ОВ, как радиусы окружности с центром в точке О. А отрезок О₁А = О₁В, как радиусы окружности с центром в точке О₁.

Таким образом, треугольники ОАО₁ и ОВО₁ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). А следовательно отрезки АС и ВС равны. И прямая ОО₁ является геометрическим местом точек для двух данных точек А и В. Т.е. любая точка прямой ОО₁ равноудалена от двух данных точек А и В. Следовательно, треугольники ОАС и ОВС равны, также как и треугольники АСО₁ и ВСО₁ по трем сторонам. А отсюда следует равенство углов при вершине С. Т.е. ∠ОСА = ∠ОСВ = ∠АСО₁ = ∠ВСО₁ = 90°.

Следовательно, можно сделать вывод, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО₁.

Рис.8 Задача. Окружности с центрами О и О₁.

Пример 5

Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояние от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС (Рис.9)

Доказательство:

По условию задачи, расстояния от точек В и С до прямой а равны. Т.е. РС = BQ. Так как расстояние от точки до прямой представляет собой перпендикуляр, то два треугольника РОС и ВОQ, образованные двумя пересекающимися прямыми ВС и а, и перпендикулярами, опущенными на одну из них, равны по второму признаку равенства треугольников ( по стороне и двум прилегающим к ней углам: РС = BQ, углы при вершинах В и С равны как внутренние накрест лежащие, а углы при вершинах Р и Q прямые).

Из равенства треугольников РОС и ВОQ следует, что ВО = ОС.

Источник

Доказать что геометрическое место точек оснований перпендикуляров

Углы бывают острые, прямые и тупые.

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым.

Два угла с одной общей стороной называются смежными.

На рисунке луч ОС делит развёрнутый ∡AOB =180° на две части, образуя тупой ∡1 и острый ∡2.

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:

Обе стороны ∡1 также являются сторонами ∡3, а стороны ∡2 продолжают стороны ∡4. Такие углы называют вертикальными.

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4

То же справедливо и для ∡1 и ∡3.

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

∡1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда»! По промокоду GEOM72021 вы получите неделю бесплатного доступа к курсу геометрии 7 класса, в котором изучаются перпендикулярные прямые!

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.

Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых «от противного», то есть для начала предположим, что утверждение неверно.

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а.

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

Свойство перпендикулярных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.

У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.

Попробовать бесплатно

Интересное по рубрике

Найдите необходимую статью по тегам

Подпишитесь на нашу рассылку

Мы в инстаграм

Домашняя онлайн-школа
Помогаем ученикам 5–11 классов получать качественные знания в любой точке мира, совмещать учёбу со спортом и творчеством

Посмотреть

Рекомендуем прочитать

Реальный опыт семейного обучения

Звонок по России бесплатный

Посмотреть на карте

Если вы не нашли ответ на свой вопрос на нашем сайте, включая раздел «Вопросы и ответы», закажите обратный звонок. Мы скоро свяжемся с вами.

Источник

Перпендикулярные прямые

Перпендикулярные прямые — это две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным в ней.

Содержание:

Понятие перпендикулярных прямых

При пересечении двух прямых есть очень важный случай, когда, пересекаясь, прямые образуют прямые углы (рис. 2.296).

Определение. Две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунках перпендикулярность прямых обозначается специальным знаком — (рис. 2.296).

При записи перпендикулярность прямых обозначается так: .

Запись читается: «прямая а перпендикулярна прямой Ь».

Кроме понятия перпендикулярности прямых в геометрии используется понятие перпендикуляра к прямой. Говорят: провести перпендикуляр к прямой, проходящий через данную точку, опустить перпендикуляр из точки на прямую.

Определение. Перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, называют отрезок прямой, перпендикулярной к прямой , с концами в точках А и В, где А — точка, из которой проводится перпендикуляр, а В — точка пересечения прямой с пердпендикулярной ей прямой АВ.

На рисунке 2.297 прямая АВ перпендикулярна к прямой , отрезок АВ является перпендикуляром к прямой , точку В называют основанием перпендикуляра АВ.

Определение. Длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называют расстоянием от точки до прямой.

Построение перпендикулярных прямых связано с вычерчиванием прямых углов.

Для вычерчивания прямых углов используется угольник или чертежный треугольник (рис. 2.298). Прямой угол может быть изображен в любом положении (рис. 2.299).

На рисунке 2.300 показано, как с помощью угольника и линейки можно провести перпендикуляр через точку О, лежащую на прямой АВ. На рисунке 2.301 показано, как можно провести перпендикуляр с помощью угольника и линейки через точку О к прямой АВ при условии, что О не лежит на АВ.

Теорема 2. К данной прямой через данную точку можно провести только один перпендикуляр.

Серединный перпендикуляр отрезка

Определение. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно ему, называют серединным перпендикуляром (рис. 2.302).

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку:

— если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка;

— если точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка, то она равноудалена от его концов.

Можно доказать такую теорему.

Теорема 3. Множество точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Перпендикуляр и наклонная

Если есть точка и прямая, то по теореме 1 есть и плоскость, в которой они лежат, а значит, все рассуждения в данном случае будут связаны с той плоскостью, в которой лежат данные точка и прямая.

Пусть даны прямая и точка В, не лежащая на этой прямой. ВА — перпендикуляр, опущенный из точки В на прямую , и С — любая точка прямой а, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведенной из точки В к прямой (рис. 2.303). Точку С называют основанием наклонной.

В отличие от перпендикуляра наклонная образует с прямой, к которой она проведена, угол, отличный от 90°.

Можно доказать теорему.

Теорема 4. Расстояние от точки А до основания перпендикуляра, проведенного через нее к прямой , меньше, чем расстояние от А до любой другой точки прямой .

Иначе говоря, перпендикуляр ВА короче, чем отрезок ВС любой наклонной.

Есть еще одно понятие, которым часто пользуются в данной ситуации, — это проекция точки на прямую. Даны прямая и точка А вне ее. Опустив перпендикуляр из точки А на прямую , мы получим точку — основание перпендикуляра. Точка имеет еще одно название, ее называют проекцией точки А на прямую .

Можно, пользуясь понятием проекции точки на прямую, определить и проекцию фигуры на данную прямую. Например, на рисунке 2.304 изображена проекция отрезка на прямую .

Проекция отрезка есть тоже отрезок , который состоитиз всех проекций точек отрезка МК. Именно такие проекции нам в дальнейшем придется рассматривать.

Пример:

Равные отрезки AD и СВ, заключенные между параллельными прямыми АС и BD, пересекаются в точке О. Докажите, что АО = СО и ВО = DO.

Решение:

Из условия задачи имеем:

3. AD и СВ пересекаются в точке О.

4. АО = СО и ВО = DO (требуется доказать).

Чтобы доказать п. 4, нужно доказать, что и — равнобедренные. Как это доказать?

5. Проведем из точек А и С перпендикуляры к прямой BD (построение) (рис. 2.305).

6. АК = СМ (5, свойство расстояний между параллельными прямыми).

7. (5, теорема 21, см. п. 23).

8. (7).

9. — равнобедренный (8, признак равнобедренного треугольника).

Аналогично можно доказать, что АО = СО.

Геометрическое место точек

В геометрии для описания некоторых геометрических фигур есть свое название — геометрическое место точек.

Определение. Геометрическим местом точек называют фигуру, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.

Например, окружность можно определить как геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Серединный перпендикуляр отрезка можно также определить как геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов этого отрезка.

В этих примерах говорится о геометрическом месте точек плоскости.

Геометрические места точек широко используются при решении геометрических задач на построение. Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач на построение, состоит в следующем.

Пусть для решения задачи на построение надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура , а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура . Искомая точка X принадлежит и , т. е. является их точкой пересечения. Покажем работу этого метода на примере решения задачи.

Пример 1.

Даны три точки: А, В, С. Постройте точку X, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С.

1. Нам даны три точки А, В, С (рис. 2.306).

2. Искомая точка X удовлетворяет двум условиям: 1) она одинаково удалена от точек А и В; 2) она находится на данном расстоянии от точки С. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть серединный перпендикуляр отрезка АВ (рис. 2.307).

3. Геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть окружность данного радиуса с центром в точке С (рис. 2.308). Искомая точка X лежит на пересечении этих геометрических мест. В данном случае искомых точек две: и .

Биссектриса угла также является очень важным и широко используемым геометрическим местом точек.

Пример 2.

Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла и находящихся в его внутренней области.

Решение:

А) Пусть точка принадлежит внутренней области угла и равноудалена от его сторон. Докажем, что эта точка принадлежит биссектрисе данного угла.

1. Точка М принадлежит внутренней области угла АОВ (рис. 2.309).

2. Проведем МК OA, МС OB, МК = МС (рис. 2.310).

3. ОМ — биссектриса угла АОВ (требуется доказать).

У нас на чертеже нет луча ОМ, проведем его.

4. Соединим точки О и М (построение) (рис. 2.311).

Нам нужно доказать, что ОМ — биссектриса угла О или, что . Для этого рассмотрим .

5. (2, теорема 21, см. п. 23).

6. (4).

7. ОМ — биссектриса угла АОВ.

Б) Пусть точка принадлежит биссектрисе данного угла. Докажем, что эта точка равноудалена от сторон данного угла.

1. Пусть М — произвольная точка биссектрисы ОМ угла АОВ (рис. 2.312) (дано).

2. (1).

3. Проведем МК и МС — перпендикуляры к сторонам угла АОВ (рис. 2.313) (построение).

4. (1, 2, теорема 19, см. п. 23).

5. МК = МС. Точка М равноудалена от сторон угла (4).

Итак, геометрическим местом точек угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса этого угла.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →