Доказать что inf xy inf x inf y

Пусть множество всех произведений xy, где x принадлежит , а y принадлежит . Причем x>=0 y>=0

C cуммой я вроде справился, а тут совсем непонятно

задан 24 Сен 12:55

sanyapp
25 ● 1 ● 5
77&#037 принятых

@sanyapp: под всегда понимается одноэлементное множество, состоящее из x. То есть исправление всё равно некорректное.

Для случая неотрицательных чисел утверждение очевидно, и доказывается точно так же, как и для суммы.

@caterpillar не понял про нестрогое неравенство @falcao формулировка такая дана в демидовиче, то что xy (24 Сен 16:24) sanyapp

@sanyapp, приведите свои рассуждения для случая суммы. Чтобы стало понятнее, в каком месте Вы не видите, что они повторяются и для произведения. И я не писал про нестрогое неравенство. Я писал про строгое.

@sanyapp: а можно ссылку на страницы задачника?

Доказательство в другую сторону (на содержательном уровне) такое: полагаем a=sup X, b=sup Y. Берём eps > 0. Находим в X точку x > a-eps. В Y находим точку y > b-eps. Тогда при достаточно малом eps будет xy > (a-eps)(b-eps). Устремляем eps к нулю (справа). Это даст sup(XY)>=ab.

@caterpillar: я хотел своими глазами такие обозначения увидеть. Жаль, что в переизданиях классического задачника оставляют явную «архаику».

@sanyapp: если пределы пока не изучались, то достаточно рассмотреть разницу между числами и оценить её сверху: ab-(a-eps)(b-eps) (24 Сен 23:37) falcao

@falcao cтраница 11 http://pm-pu.ru/stuff/analiz/books/demidovich_sbornik.pdf на 8мой странице есть определение sup и inf, с 1 пунктом у меня получилось, а вот второй пункт пока нет. Мне надо как-то показать, что для любого еps>0 сущ. x’y’ принадл. что supsup — eps (25 Сен 14:19) sanyapp

Ну, считайте, что c=ab-eps. При рассуждении от противного это будет мажорантой (да, верхней границей) для XY. Но это вполне бессмысленное занятие так расписывать.

@sanyapp: выше всё было подробно расписано с участием eps на вполне формальном уровне.

Источник

Доказать, что множества чисел бесконечны
доброго времени суток. Объясните мне пожалуйста, с чего вообще начинается доказательство кагого.

Доказать, что противоположные стороны четырёхугольника равны между собой.
1. диагонали четырехугольника пересекаются в точке О, причем одна из диагоналей этой точкой.

У вас путаное объяснение и вы не учитываете возможность бесконечности, но принцип правильный.

Действуйте ясно. Вам требуется доказать, что нижняя грань некоторого множества будет равна такому-то числу. По определению для этого нужно убедиться, что 1) данное число является нижней границей; 2) никакое число, большее данного, не является нижней границей.

Даны два множества. Найти произведение элементов одновременно принадлежащим обоим множествам.
Даны два множества. Найти произведение элементов одновременно принадлежащим обоим множествам.

Доказать что множества эквивалентны
Докажите, что множества А= <точки на параболе>и В= <точки эллипса>эквивалентны на пополненной.

Доказать, что мощность множества счетна
Здравствуйте. Как доказать, что мощность множества рациональных чисел счетна?

Источник

Точные грани числовых множеств

Верхняя и нижняя грани числовых множеств.

Множество X вещественных чисел (X ⊂ \(\mathbb\)) называется ограниченным сверху, если существует вещественное число C такое, что все элементы множества X не превосходят C, то есть
$$
\exists C \ \in \ \mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \leq \ C.\label
$$

Всякое вещественное число C, обладающее свойством \eqref, называется верхней гранью числового множества X.

Аналогично, множество X ⊂ \(\mathbb\) называется ограниченным снизу, если
$$
\exists C’\in\mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geq \ C’.\label
$$

Всякое вещественное число С ‘ , удовлетворяющее условию \eqref, называют нижней гранью числового множества X.

Если числовое множество множество ограничено как сверху, так и снизу, его называют ограниченным, то есть <X — ограниченное множество>\(\Leftrightarrow\left\ <\exists C’\in \ \mathbb\ \exists C\in\mathbb: \ \forall x\in X \ \rightarrow \ C’ \ \leq \ x \ \leq \ C\right\>\).

Записать ⌉A с помощью кванторов, если A = <C — верхняя грань множества X ⊂ \(\mathbb\)>.

По условию \(B=\left\<\exists C \ \in \ \mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geqslant \ C\right\>\). Поэтому
$$
\rceil B=\left\<\forall C \ \in \ \mathbb: \ \exists x_C \ \in \ X \ \rightarrow \ x_C Определение 1.

Число M называется точной верхней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

Число M = sup X, вообще говоря, может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X. Например, если X — множество чисел x таких, что 1 ≤ x Замечание 2.

Из определения точной верхней грани множества следует, что если у числового множества X есть точная верхняя грань M, то она единственна.

Число m называется точной нижней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

Если непустое множество вещественных чисел X ограничено сверху, то существует sup X; если непустое множество X ограничено снизу, то существует inf X.

Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:

Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие \eqref. Пусть C=c₀,c₁c₂…c_n…; тогда c₀ — неотрицательное целое число, причем C x’.\label$$

Возьмем произвольное число x ∈ X и пусть x = a₀,<a_n>. Чтобы проверить выполнение условия \eqref, рассмотрим три произвольных случая:

$$x\not\in X_k \ \ \ \ \ при \ k=0,1,2,…,\label$$

$$x\in X_k \ \ \ \ \ при \ k=0,1,2,…,\label$$

$$\exists m: \ x\in X_, \ x\not\in X_\label$$

Из \eqref следует, что \(a_0 удовлетворяет произвольный элемент \(\widetilde x\in X_m\), так как

Из неравенства \eqref следует, что sup X есть нижняя грань множества Y. Точная нижняя грань множества Y, то есть число inf Y, есть наибольшая из всех нижних граней множества Y. Значит, sup X ≤ inf Y.

Источник

Числовые множества. 2.1 Свойства действительных чисел.

2.1 Свойства действительных чисел.

Для любых двух чисел а и b определено единственным способом число, называемое их суммой и обозначаемое a+b. Сумма обладает свойствами:

1. Для любых двух a и b: a+b=b+a. Это свойство называется переместительным (коммутативным) законом сложения.

2. Для любых a,b,c: a+(b+c)=(a+b)+c. Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом сложения.

3. Существует число 0, называемое нулем, такое, что для любого числа а: а+0=а.

4. Для любого а существует такое число, обозначаемое –а и называемое противоположным данному, такое, что а+(-а)=0.

Далее, вместо а+(-b) будем писать а-b.

Для любых двух чисел а и b определено единственным способом число, называемое их произведением и обозначаемое а·b. Произведение обладает свойствами:

5. Для любых чисел а и b: а·b=b·а. Это свойство называется переместительным (коммутативным) законом умножения.

6. Для любых чисел a,b,c: a·(b·c)= (a·b)·c. Это свойство называется сочетательным (ассоциативным) законом умножения.

7. Существует число 1, называемое единицей, такое, что для любого числа а: а·1=а.

8. Для любого числа а≠0 существует число, называемое обратным для а и обозначаемое 1/а, такое, что а·(1/а)=1.

Cвязь операций сложения и умножения.

9. Для любых чисел а, b, c: (a+b)·c = a·c + b·c. Это свойство называется распределительным (дистрибутивным) законом умножения относительно сложения.

Для любых двух чисел a и b справедливо одно из соотношений: а b (а больше b) так, что выполняются свойства:

10. Если а>b, то для любого с: а+с>b+с.

11. Если а>b, то для любого с>0: а·c>b·c.

12. Каковы бы ни были непустые множества А R, В R, у которых для любых элементов аєА, bєB выполняется неравенство а≤b, всегда существует такое число z , что для всех хєА, уєВ: х≤z ≤у.

2.2 Числовые промежутки

Отрезок, интервал, полуинтервал записываются соответственно как

2.3 Точные грани числовых множеств

Множество X действительных чисел (X Ì R) называется ограниченным сверху, если существует число с Î R такое, что все элементы множества X не превосходят с, т.е.

$ с Î R: «x X x ≤ с.

Множество X Ì R называется ограниченным снизу, если существует число d Î R такое, что все элементы множества X не меньше d, т.е.

$ d Î R : «x X x ³ d.

Множество X Ì R называется ограниченным, если оно ограничено как сверху, так и снизу, т.е.

Последнее условие равносильно условию

$ g Î R : «x X | x | ≤ g.

Если множество Х ограничено сверху, то наименьшее из чисел, ограничивающее его сверху, называют его супремумом (supremum).

Число a является супремумом множества Х, если выполняются следующие условия:

1) » x X x ≤ a;

Cупремум множества Х обозначается sup X.

Если множество Х ограниченно снизу, то наибольшее из чисел, ограничивающее его снизу, называют его инфимумом (infimum).

Число b является инфимумом множества Х, если выполняются следующие условия:

1) » x X x ³ b;

5) Неравенство |x| ³ a (a >0) означает, что либо х ³ a, либо х ≤-a;

9) | | = (y ¹ 0).

ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ

Решение. При любом натуральном n выполняются неравенства 0 0 существует 1/n такое, что выполняется неравенство

Докажем теперь, что число 0 является инфимумом множества X. Для этого надо проверить, что для любого e>0 существует такое, что выполняется неравенство

. И взяв какое-нибудь натуральное число n > , получим требуемое n, а это, согласно определению инфимума, и означает, что inf X = 0.

Решение. 1) При х ³0 х = х + 2, откуда вытекает, что 0 = 2 и т.е. вытекает, что наше уравнение не имеет решений.

Решение. Так как |x |> x только при х 0, что аn>b.

Задача 7. Пусть X и Y — два непустых множества действительных чисел. Доказать, что если Y Ì X, то: a) sup Y ≤ sup X; б) inf Y ³ inf X.

Задача 8. Пусть X и Y — два непустых множества чисел, а X+Y – множество всевозможных чисел вида x+y; где xÎX, yÎY. Показать, что sup (X+Y) = sup X + sup Y; inf (X+Y) = inf X + inf Y.

Задача 9. Пусть X и Y — два непустых числовых множества неотрицательных действительных чисел, а XY – множество всевозможных чисел вида xy; где xÎX, yÎY. Показать, что sup (XY) = (sup X)×(sup Y); inf (X·Y) = (inf X)×(inf Y).

Задача 11. Пусть X и Y — два непустых множества неотрицательных действительных чисел, а X-Y – множество всевозможных чисел вида x-y; где xÎX, yÎY. Показать, что sup (X-Y) = (supX) – (infY).

Задача 12. Решить уравнения и неравенства:

г) | | = .

Задача 14. Решить уравнения и неравенства:

Задача 15. Решить уравнения:

а) |sin x|- sin x =2; б) x 2 – 2|x| + 3= 0.

Задача 16. Решить уравнения и неравенства:

Задача17. Решить уравнения и неравенства:

Задача 18. Решить неравенства:

Дата добавления: 2015-01-12 ; просмотров: 14 | Нарушение авторских прав

Источник

Доказать что inf xy inf x inf y

Логическая функция F задаётся выражением:

На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу, затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности:

Тогда 1-му столбцу соответствует переменная y, а 2-му столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.

Выражение равняется 1, если хотя бы одна из двух скобок равна 1. Первая скобка принимает 1 при наборе значений переменных (0, 1, 1). Вторая принимает 1 при двух наборах значений переменных: (0, 0, 0), (0, 1, 0). Из набора с нулями выводов не сделать, в остальных двух x оба раза 0, y оба раза 1. Находим в таблице такие столбцы. Получаем, что нужный порядок: y, z, x.

Источник