Доказать что квадрат длины отрезка касательной равен произведению

Математика, физика на «отлично»

Теорема о квадрате касательной

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

Теорема о квадрате касательной

Доказательство: Проведём отрезки АК и ВК (см. рисунок). Треугольники АКМ и ВКМ подобны: угол М у них общий, а углы АКМ и В равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги АК. Следовательно, MK/MA = MB/MK, или MK² = MA·MB.

Поделиться

Понравилось это:

Похожее

9 комментариев »

спасибо, хорошее доказательство

комментарий от iklop | 10.04.2011 | Ответить

комментарий от Никита | 26.03.2012 | Ответить

комментарий от Юра | 29.11.2012 | Ответить

комментарий от Маринка | 30.11.2012 | Ответить

Плохой сайт — доказательство не правильное

комментарий от Владимир | 10.06.2013 | Ответить

все правильно простите))

комментарий от Владимир | 10.06.2013 | Ответить

Рада, что вы разобрались =)

комментарий от Маринка | 16.07.2013

углы АКМ и В равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги АК.
Про В понятно, а про второй не очень. Поясните пожалуйста

комментарий от Kaspar | 12.12.2014 | Ответить

Kaspar, угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.

комментарий от Маринка | 28.07.2015 | Ответить

Добавить комментарий Отменить ответ

О нас

Здравствуй студент, абитуриент, школьник!

На сайте Вы можете знакомиться с публикациями по математике, физике, другим ВУЗовским и школьным предметам. При желании или срочной необходимости у грамотных специалистов, которые работают на данном сайте, Вы можете:

(курсовой, контрольной или любой другой отчётной). Также — договориться о занятиях с репетитором по некоторым предметам в Москве.

Школьник или студент из любого города России может быть уверенным в том, что получит грамотную и профессиональную помощь и пополнит багаж своих знаний.

В данный момент возможно сотрудничество по следующим дисциплинам:

• Математика, высшая математика (все разделы)
• Физика (все разделы)
• Английский язык
• Экономика
• Гуманитарные дисциплины (культурология, философия, русский язык и культура речи)

Учимся вместе и достигаем новых, долгожданных вершин!

Источник

Свойство касательной и секущей

Теорема о пропорциональности отрезков секущей и касательной

(Свойство касательной и секущей, проведённых из одной точки)

Для касательной и секущей к окружности, проведённых из одной точки, квадрат расстояния от этой точки до точки касания равен произведению длины секущей на длину её внешней части.

Другими словами, квадрат расстояния от данной точки до точки касания равен произведению расстояний от этой точки до точек пересечения секущей с окружностью.

Дано : окр. (O;R), AK — касательная, AB — секущая,

Проведём хорды BK и CK.

Рассмотрим треугольники ABK и AKC.

(как вписанный угол, опирающийся на дугу CK).

Значит, треугольники ABK и AKC подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

По основному свойству пропорции

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найти AC, если диаметр окружности равен 15, а AB=4.

Дано :

∆ABC, B, C ∈ окр.(O;R) O∈AC, AB — касательная, AB=4, FC — диаметр, FС=15

По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки,

Пусть AF=x, тогда AC=x+15. Составим и решим уравнение:

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Следовательно, AC=1+15=16.

Источник

Касательная к окружности

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

Докажем, что касательная и радиус АВ перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

Поскольку ∠АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, ⌒АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично должны быть равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

sin BDA = AB : AD = 4,5 : 9 = 0,5

Мы знаем, что прямая, проложенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проложенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN между ними равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности опускаются две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

Сократим уравнение на (у + R) и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ ⌒АВ.

⌒АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

⌒КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

Источник

Окружность: важные теоремы, связанные с длинами отрезков

\(\blacktriangleright\) Если радиус перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам;

\(\blacktriangleright\) Если вписанный угол – прямой, то он опирается на диаметр;

\(\blacktriangleright\) Произведения отрезков хорд равны; \[\large\]

\(\blacktriangleright\) Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть; \[\large\]

\(\blacktriangleright\) Произведения двух секущих, проведенных из одной точки вне окружности, на их внешние части одинаковы; \[\large< OA\cdot OC=OB\cdot OD>\]

\(\blacktriangleright\) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны; \[\large\]

\(\blacktriangleright\) Если хорды отсекают от окружности равные дуги (меньшие полуокружности), то такие хорды равны.

Произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой. Покажем это:
Соединим \(AC\) и \(BD\)

Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то \[AB^2=AC\cdot AD=AC\cdot (AC+CD),\] откуда \[10^2=5\cdot (5+CD) \quad \Rightarrow \quad CD=15.\]

Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то \[AB^2=AC\cdot AD=AC\cdot (AC+CD),\] откуда \[(6\sqrt2)^2=AC\cdot (AC+14) \quad \Rightarrow \quad AC^2+14AC-72=0 \quad \Rightarrow \quad AC=4 \text < или >AC=-18\]

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Покажем это:
Опишем около треугольника \(ABC\) окружность

Так как \(AB\) и \(CD\) – пересекающиеся в точке \(K\) хорды, то \[AK\cdot KB = CK\cdot KD\]

\[\dfrac=\dfrac \quad \Rightarrow \quad CH^2=AH\cdot HB \quad \Rightarrow \quad CH=\sqrt<28\cdot 7>=14.\]

Если старшеклассник готовится к сдаче ЕГЭ по математике базового уровня и при этом рассчитывает на получение конкурентных баллов, ему непременно стоит повторить все теоремы, связанные с длинами отрезков.

Как показывает практика, подобные планиметрические задания включаются в аттестационное испытание каждый год. Это означает, что справляться с задачами ЕГЭ на применение теорем, связанных с длинами отрезков, должны все выпускники, независимо от уровня их подготовки.

Полезная информация

Для того чтобы решить задачи ЕГЭ с применением теорем, связанных с длинами отрезков, рекомендуется следовать определенного алгоритму. Сначала стоит выполнить чертеж. Затем нужно нанести на него все известные параметры исходя из условия задачи. После этого стоит вспомнить относящиеся к ним понятия и теоремы. Затем отразите на чертеже все соотношения между элементами, которые следуют из них логически. Сопоставив имеющиеся параметры, вы сможете найти правильный ответ.

Как подготовиться к экзамену?

Планиметрические задачи вызывают у вас сложность? Образовательный портал «Школково» поможет восполнить пробелы в знаниях. На нашем сайте учащиеся смогут найти и повторить материал, который вызывает затруднения. Наши специалисты собрали и изложили всю теоретическую информацию в максимально доступной и понятной форме.

Все упражнения на сайте, например, задачи на тему «Окружность в ЕГЭ», содержат подробный алгоритм решения и правильный ответ. Выполнять простые и более сложные задания школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. Любое задание в случае необходимости возможно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему для обсуждения с преподавателем или репетитором.

Источник

Об отрезках касательной к окружности

Разделы: Математика

Чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов, выпускников, участников математических олимпиад. Если посмотреть статистику ЕГЭ 2010 года, то видно, что к геометрической задаче С4 приступило около 12% участников, а получило полный балл только 0,2% участников, а в целом задача оказалась самой сложной из всех предложенных.

Очевидно, что чем раньше мы предложим школьникам красивые или неожиданные по способу решения задачи, тем больше вероятность заинтересовать и увлечь всерьёз и надолго. Но, как же трудно найти интересные и сложные задачи на уровне 7 класса, когда только начинается систематическое изучение геометрии. Что можно предложить интересующемуся математикой школьнику, знающему только признаки равенства треугольников, свойства смежных и вертикальных углов? Однако, можно ввести понятие касательной к окружности, как прямой, имеющей с окружностью одну общую точку; принять, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Конечно, стоит рассмотреть все возможные случаи расположения двух окружностей и общих касательных к ним, которых можно провести от нуля до четырёх. Доказав ниже предложенные теоремы, можно значительно расширить набор задач для семиклассников. При этом попутно доказать важные или просто интересные и занимательные факты. Причём, поскольку многие утверждения не входят в школьный учебник, то обсуждать их можно и на занятиях кружка и с выпускниками при повторении планиметрии. Актуальными эти факты оказались в прошлом учебном году. Так как многие диагностические работы и сама работа ЕГЭ содержали задачу, для решения которой необходимо было использовать доказываемое ниже свойство отрезка касательной.

Т₁ Отрезки касательных к окружности, проведённые из
одной точки равны (рис. 1)

Вот именно с теоремой можно сначала познакомить семиклассников.
В процессе доказательства использовали признак равенства прямоугольных треугольников, сделали вывод о том, что центр окружности лежит на биссектрисе угла ВСА.
Попутно вспомнили, что биссектриса угла есть геометрическое место точек внутренней области угла, равноудалённых от его сторон. На этих доступных даже только начинающим изучать геометрию фактах основывается решение уже далеко нетривиальной задачи.

1. Биссектрисы углов А, В и С выпуклого четырёхугольника АВСD пересекаются в одной точке. Лучи АВ и DC пересекаются в точке Е, а лучи
ВС и АD в точке F. Докажите, что у невыпуклого четырёхугольника AECF суммы длин противоположных сторон равны.

Решение (рис. 2). Пусть О – точка пересечения данных биссектрис. Тогда О равноудалена от всех сторон четырёхугольника АВСD, то есть
является центром окружности вписанной в четырёхугольник. По теореме 1 верны равенства: AR = AK, ER = EP, FT = FK. Почленно сложим левые и правые части, получим верное равенство:

Рассмотрим необычную по формулировке задачу, для решения которой достаточно знание теоремы 1.

2. Существует ли n-угольник, стороны которого последовательно 1, 2, 3, …, n, в который можно вписать окружность?

Решение. Допустим, такой n-угольник существует. А₁А₂ =1, …, А_n-1А_n = n – 1, А_nА₁ = n. B₁, …, B_n – соответствующие точки касания. Тогда по теореме 1 A₁B₁ = A₁B_n Можно обобщить этот факт – суммы сторон описанного чётноугольника, взятых через одну, равны. Например, для шестиугольника ABCDEF верно: AB + CD + EF = BC + DE + FА.

3. МГУ. В четырёхугольнике ABCD расположены две окружности: первая окружность касается сторон AB, BC и AD, а вторая – сторон BC, CD и AD. На сторонах BC и AD взяты точки E и F соответственно так, отрезок EF касается обеих окружностей, а периметр четырёхугольника ABEF на 2p больше периметра четырёхугольника ECDF. Найти AB, если CD = a.

Решение (рис. 1). Так как четырёхугольники ABEF и ECDF вписанные, то по теореме 2 Р_ABEF = 2(AB + EF) и Р_ECDF = 2(CD + EF), по условию

Р_ABEF – Р_ECDF = 2(AB + EF) – 2(CD + EF) = 2p. AB – CD = p. АВ = а + р.

Опорная задача 1. Прямые АВ и АС – касательные в точках В и С к окружности с центром в точке О. Через произвольную точку Х дуги ВС
проведена касательная к окружности, пересекающая отрезки АВ и АС в точках М и Р соответственно. Докажите, что периметр треугольника АМР и величина угла МОР не зависят от выбора точки Х.

Решение (рис. 5). По теореме 1 МВ = МХ и РС = РХ. Поэтому периметр треугольника АМР равен сумме отрезков АВ и АС. Или удвоенной касательной, проведённой к вневписанной окружности для треугольника АМР. Величина угла МОР измеряется половиной величины угла ВОС, который не зависит от выбора точки Х.

Опорная задача 2а. В треугольник со сторонами а, b и c вписана окружность, касающаяся стороны АВ и точке К. Найти длину отрезка АК.

Решение (рис. 6). Способ первый (алгебраический). Пусть АК = АN = x, тогда BK = BM = c – x, CM = CN = a – c + x. АС = АN + NC, тогда можем составить уравнение относительно х: b = x + (a – c + x). Откуда .

Способ второй (геометрический). Обратимся к схеме. Отрезки равных касательных, взятые по одному, в сумме дают полупериметр
треугольника. Красный и зелёный составляют сторону а. Тогда интересующий нас отрезок х = р – а. Безусловно, полученные результаты совпадают.

Опорная задача 2б. Найти длину отрезка касательной АК, если К – точка касания вневписанной окружности со стороной АВ. Решение (рис. 7). АК = АM = x, тогда BK = BN = c – x, CM = CN. Имеем уравнение b + x = a + (c – x). Откуда . Заметим, что из опорной задачи 1 следует, что СМ = р _{Δ АВС}. b + x = p; х = р – b. Полученные формулы имеют применение в следующих задачах.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с. Решение (рис. 8). Так как OMCN – квадрат, то радиус вписанной окружности равен отрезку касательной CN. .

5. Докажите, что точки касания вписанной и вневписанной окружности со стороной треугольника симметричны относительно середины этой стороны.

Решение (рис. 9). Заметим, АК – отрезок касательной вневписанной окружности для треугольника АВС. По формуле (2) . ВМ – отрезок касательной вписанной окружности для треугольника АВС. По формуле (1) . АК = ВМ, а это и означает, что точки К и М равноудалены от середины стороны АВ, что и требовалось доказать.

6. К двум окружностям проведены две общие внешние касательные и одна внутренняя. Внутренняя касательная пересекает внешние в точках А, В и касается окружностей в точках А₁ и В₁. Докажите, что АА₁ = ВВ₁.

Решение (рис. 10). Стоп… Да что тут решать? Это же просто другая формулировка предыдущей задачи. Очевидно, что одна из окружностей является вписанной, а другая вневписанной для некоего треугольника АВС. А отрезки АА₁ и ВВ₁ соответствуют отрезкам АК и ВМ задачи 5. Примечательно, что задача, предлагавшаяся на Всероссийской олимпиаде школьников по математике, решается столь очевидным образом.

7. Стороны пятиугольника в порядке обхода равны 5, 6, 10, 7, 8. Доказать, что в этот пятиугольник нельзя вписать окружность.

Решение (рис. 11). Предположим, что в пятиугольник АВСDE можно вписать окружность. Причём стороны AB, BC, CD, DE и ЕA равны соответственно 5, 6, 10, 7 и 8. Отметим последовательно точки касания – F, G, H, M и N. Пусть длина отрезка AF равна х.

Но, AF = AN. То есть 10 – х = х; х = 5. Однако, отрезок касательной AF не может равняться стороне АВ. Полученное противоречие и доказывает, что в данный пятиугольник нельзя вписать окружность.

8. В шестиугольник вписана окружность, его стороны в порядке обхода равны 1, 2, 3, 4, 5. Найти длину шестой стороны.

Решение. Конечно, можно отрезок касательной обозначить за х, как и в предыдущей задаче, составить уравнение и получить ответ. Но, гораздо эффективнее и эффектнее использовать примечание к теореме 2: суммы сторон описанного шестиугольника, взятых через одну, равны.

Тогда 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + х, где х – неизвестная шестая сторона, х = 3.

9. МГУ, 2003 г. химический факультет, № 6(6). В пятиугольник АВСDE вписана окружность, Р – точка касания этой окружности со стороной ВС. Найдите длину отрезка ВР, если известно, что длины всех сторон пятиугольника есть целые числа, АВ = 1, СD = 3.

Решение (рис.12). Так как длины всех сторон являются целыми числами, то равны дробные части длин отрезков BT, BP, DM, DN, AK и AT. Имеем, АТ + ТВ = 1, и дробные части длин отрезков AT и TB равны. Это возможно только тогда, когда АТ + ТВ = 0,5. По теореме 1 ВТ + ВР.
Значит, ВР = 0,5. Заметим, что условие СD = 3 оказалось невостребованным. Очевидно, авторы задачи предполагали какое-то другое решение. Ответ: 0,5.

10. В четырёхугольнике ABCD AD = DC, AB = 3, BC = 5. Окружности, вписанные в треугольники ABD и CBD касаются отрезка BD в точках M и N соответственно. Найти длину отрезка MN.

Решение (рис. 13). MN = DN – DM. По формуле (1) для треугольников DBA и DBС соответственно, имеем:

11. В четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. Окружности, вписанные в треугольники ABD и CBD имеют радиусы R и r соответственно. Найти расстояние между центрами этих окружностей.

Решение (рис. 13). Так как по условию четырёхугольник ABCD вписанный, по теореме 2 имеем: AB + DC = AD + BC. Воспользуемся идеей решения предыдущей задачи. . Это означает, что точки касания окружностей с отрезком DM совпадают. Расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов. Ответ: R + r.

Фактически доказано, что условие – в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, равносильно условию – в выпуклом четырехугольнике ABCD окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC касаются друг друга. Верно обратное.

Доказать эти два взаимно-обратных утверждения предлагается в следующей задаче, которую можно считать обобщением данной.

12. В выпуклом четырехугольнике ABCD (рис. 14) окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC касаются друг друга. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC также касаются друг друга.

13. В треугольнике АВС со сторонами а, b и c на стороне ВС отмечена точка D так, что окружности, вписанные в треугольники АВD и ACD касаются отрезка AD в одной точке. Найти длину отрезка BD.

Решение (рис. 15). Применим формулу (1) для треугольников ADC и ADB, вычислив DM двумя

Оказывается, D – точка касания со стороной ВС окружности, вписанной в треугольник АВС. Верно обратное: если вершину треугольника соединить с точкой касания вписанной окружности на противоположной стороне, то окружности, вписанные в получившиеся треугольники, касаются друг друга.

14. Центры О₁, О₂ и О₃ трёх непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек О₁, О₂, О₃ проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке.

Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих.

Решение (рис. 16). Важно понять, как использовать тот факт, что заданные окружности имеют одинаковые радиусы. Заметим, что отрезки ВR и DМ равны, что следует из равенства прямоугольных треугольников О₁ВR и O₂BM. Аналогично DL = DP, FN = FK. Почленно складываем равенства, затем вычитаем из полученных сумм одинаковые отрезки касательных, проведенных из вершин А, С, и Е шестиугольника ABCDEF: АR и AK, CL и CM, EN и EP. Получаем требуемое.

Вот пример задачи по стереометрии, предлагавшейся на XII Международном математическом турнире старшеклассников “Кубок памяти А. Н. Колмогорова”.

17. ЕГЭ. Диагностическая работа 8.12.2009 г, С–4. Дана трапеция ABCD, основания которой BC = 44, AD = 100, AB = CD = 35. Окружность, касающаяся прямых AD и AC, касается стороны CD в точке K. Найдите длину отрезка CK.

Найдем диагональ AC. Опустим из вершин B и C на сторону AD перпендикуляры BE и CF соответственно. AE = FD, так как трапеция равнобедренная. BCFE – прямоугольник.

Возможны две геометрические конфигурации.

Первый случай (рис. 18): окружность вписана в треугольник ACD.

По формуле (1)

Второй вариант (рис.19): окружность касается продолжений сторон AC и AD за точками C и D соответственно и отрезка CD.

По формуле (2)

18. ЕГЭ. 4.6. 2010 г. В треугольнике АВС АВ = 13, ВС = 11, СА = 9. Точка D лежит на прямой АС, причём АD : DС = 1 : 9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ВDС и ВDА, касаются стороны ВD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.

Решение. Возможны два случая (рис. 20 и рис. 21). По формуле (1) найдём длины отрезков DE и DF.

В первом случае AD = 0,1АС, СD = 0,9AC. Во втором – AD = 0,125АС, СD = 1,125AC. Подставляем данные и получаем ответ: 4,6 или 5,5.

Задачи для самостоятельного решения/

1. Периметр равнобедренной трапеции, описанной около окружности равен 2р. Найдите проекцию диагонали трапеции на большее основание. (1/2р)

2. Открытый банк задач ЕГЭ по математике. В4. К окружности, вписанной в треугольник ABC (рис. 22), проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника. (24)

3. В треугольник АВС вписана окружность. MN – касательная к окружности, M Î АС, N Î ВС, ВС = 13, АС = 14, АВ = 15. Найдите периметр треугольника MNC. (12)

4. К окружности, вписанной в квадрат со стороной а, проведена касательная, пересекающая две его стороны. Найдите периметр отсечённого треугольника. (а)

5. Окружность вписана в пятиугольник со сторонами а, d, c, d и e. Найдите отрезки, на которые точка касания делит сторону, равную а.

Ответ:

6. В треугольник со сторонами 6, 10 и 12 вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что она пересекает две большие стороны. Найдите периметр отсечённого треугольника. (16)

7. CD – медиана треугольника ABC. Окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD, касаются отрезка CD в точках M и N. Найдите MN, если АС – ВС = 2. (1)

8. В треугольнике АВС со сторонами а, b и c на стороне ВС отмечена точка D. К окружностям, вписанным в треугольники АВD и ACD, проведена общая касательная, пересекающая AD в точке М. Найти длину отрезка АМ. (Длина АМ не зависит от положения точки D и
равна ½ (c + b – a))

9. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса а. Радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен R. Найдите длину гипотенузы. (R – a)

10. В треугольнике АВС известны длины сторон: АВ = с, АС = b, ВС = а. Вписанная в треугольник окружность касается стороны АВ в точке С₁. Вневписанная окружность касается продолжения стороны АВ за точку А в точке С₂. Определите длину отрезка С₁С₂. (b)

11. Найдите длины сторон треугольника, разделённых точкой касания вписанной окружности радиуса 3 см на отрезки 4 см и 3 см. (7, 24 и 25 см в прямоугольном треугольнике)

12. Соросовская олимпиада 1996 г, 2 тур, 11 класс. Дан треугольник АВС, на сторонах которого отмечены точки А₁, В₁, С₁. Радиусы окружностей вписанных в треугольники АС₁В₁, ВС₁А₁, СА₁В₁ равны по r. Радиус окружности, вписанной в треугольник А₁В₁С₁ равен R. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. (R + r).

Задачи 4–8 взяты из задачника Гордина Р. К. “Геометрия. Планиметрия.” Москва. Издательство МЦНМО. 2004.

Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →