Доказать что множество кантора нигде не плотно

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Как доказать, что множество Кантора имеет мощность континуум

Последний раз редактировалось PAV 29.05.2012, 10:11, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось alcoholist 15.02.2012, 22:43, всего редактировалось 1 раз.

множество последовательностей 0 и 1

постройте биекцию с единичным отрезком

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Vladimir Gorlin 15.02.2012, 23:02, всего редактировалось 1 раз.

Да, я читал доказательство с троичной системой, но там не доказывается, почему элементы мно-ва К. представляются без двойки, и вообще хотелось бы чего-нибудь покрасивее.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось ИСН 15.02.2012, 23:03, всего редактировалось 1 раз.

Последний раз редактировалось Asker Tasker 09.06.2012, 17:53, всего редактировалось 2 раз(а).

На первом шаге выкидывается интервал (1/3; 2/3) и, если перейти к троичной системе, получим, что все точки этого интервала имеют в десятичной записи . С остальными интервалами похожая история: будут выкидываться интервалы, в которых i-ая цифра десятичной записи равна единице.

На концах интервалов возникнет небольшая проблема. Вернёмся к первому шагу: концы выкинутого интервала имеют двойное представление в троичной системе:
1/3 = 0,100.
2/3 = 0,122.
Договоримся использовать для таких точек ту форму записи, в которой отсутствуют единицы. Также отметим, что этих точек счётное число: имеем счётное число шагов и на каждом таких «точек деления» конечное количество, то есть всего их число счётное.

Что делается дальше, точно не помню, но, кажется, как-то так. В итоге получим, что множество Кантора состоит из точек, троичная запись которых допускает представление без единиц. Между точками, которые в принципе единиц не содержат, построим биекцию с двоичными дробями (из отрезка [0; 1]), допускающими однозначное представление. А дробей, допускающих двоякое представление, число счётное. Между ними и «точками деления» множества Кантора (которых тоже число счётное) биекцию построить просто.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Asker Tasker 12.06.2012, 20:23, всего редактировалось 1 раз.

A если привести такой контрпример:

При каждом разбиении образуются отрезки, концами которых являются рациональные числа. Поставим в соответствие каждому отрезку рациональное число являющееся, скажем, началом отрезка. Множество рациональных чисел счетно, следовательно множество отрезков то же счетно. Выходит совершенное канторово множество счетно.

Возникло противоречие с утверждением, что оно континуально.

Где ошибка в таком доказательстве?

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

Связь открытости и плотности

Здравствуйте!
Во многих задачниках по функциональному анализу и топологии есть задача «Докажите, что дополнение к открытому всюду плотному множеству нигде не плотно».
Как доказать её без привлечения топологии?

Уже доказал:
1) Что дополнение к всюду плотному множеству не обязательно нигде не плотно (пример с рациональными числами)
2) Что дополнение к нигде не плотному множеству всюду плотно.

Вопросов два: как это, собственно, доказать и почему если задать ограничение контрпримера из первого пункта на какой-нибудь открытый интервал, то контрпример не работает?

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось provincialka 06.05.2014, 01:21, всего редактировалось 2 раз(а).

Что вы понимаете под «ограничением» и что не работает?

Контрпример заключается в следующем:

Возьмём множество рациональных чисел на действительной прямой — оно всюду плотно на ней.
Дополнением до множества рациональных чисел является, очевидно, множество иррациональных чисел, которое также всюду плотно.

Теперь, если взять интервал (открытое множество) вместо действительной прямой и рассмотреть вышеизложенный пример на нём, то в дополнении к будут лежать 0, 1 и иррациональные числа. Ведь это тоже всюду плотное множество! Но тогда непонятно, что доказывать, если приведён контрпример.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось korobka 06.05.2014, 01:48, всего редактировалось 4 раз(а).

В смысле? Доказывать топологические свойства без привлечения топологии?[/quote]

Данную теорему нам нужно доказать в курсе мат.анализа, используя совсем не топологические определения нигде не плотности, всюду плотности, открытости и замкнутости. Могу привести эти определения.

Опираясь на четыре определения (и, возможно, описанные выше факты), нужно доказать это утверждение.

Действительно, не открытто.

Однако как доказать? Дополнение обязательно замкнуто, а дальше — тупик.

Админ форума

Заслуженный участник

Да, не сказал, прошу прощения.

Подскажите, пожалуйста, как действовать? Отталкиваться ли от того, что дополнение замкнуто? А какой в этом прок?

Заслуженный участник

Множество открыто, значит, какая-то из окрестностей точки множества состоит только из точек данного множества

Значит некоторая область в дополнении (там, где была сама точка и её окрестность) не будет содержать вообще ничего.

Так как такую окрестность мы можем выбрать для всех точек всюду плотного множества, то дополнение будет нигде не плотным.

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Доказать что множество кантора нигде не плотно

1) Идущая из глубины тысячелетий гениальная математическая абстракция натурального числа

2) Дроби, т.е. положительные рациональные числа

3) Отрицательные числа и ноль (согласно некоторым научным источникам

Отрицательные числа первоначально трактовались как долг при финансовых и бартерных расчетах, однако потом выяснилось, что без отрицательных чисел и в других областях человеческой деятельности никуда не денешься (кто не верит, пусть посмотрит зимой на градусник за окном). Число ноль, на мой взгляд, первоначально служило скорее не символом пустого места и отсутствием всякого количества, а символом равенства и завершенности процесса расчетов (сколько был должен соседу, столько ему и отдал, и вот теперь – ноль, т.е. жалко).

4) Иррациональные алгебраические числа

Иррациональные числа открыли в пифагорейской школе при попытке соизмерить диагональ квадрата с его стороной, но хранили это открытие в страшной тайне – как бы смуты не вышло! В это открытие посвящались только наиболее психически устойчивые и проверенные ученики, а истолковывалось оно как отвратительное явление, нарушающее гармонию мира. Но нужда и война заставили человечество учиться решать алгебраические уравнения не только первой степени с целыми коэффициентами. После Галилея снаряды стали летать по параболам, после Кеплера планеты полетели по эллипсам, механика и баллистика стали точными науками и везде нужно было решать и решать уравнения, корнями которых являлись иррациональные числа. Поэтому с существованием иррациональных корней алгебраических уравнений пришлось смириться, какими бы отвратительными они не казались. Более того, методы решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени, открытые в 16 веке итальянскими математиками Сципионом дель Ферро, Никколо Тартальей (Тарталья – это прозвище, означающее в переводе – заика, настоящей его фамилии я не знаю), Людовиком Феррари и Рафаэлем Бомбелли привели к изобретению совсем уж “сверхъестественных” комплексных чисел, которым суждено было получить полное признание только в 19 веке. Алгебраические иррациональности прочно вошли в человеческую практику уже с 16 века.

Лишь только в 1844 году Лиувилль построил исторически первый пример трансцендентного числа, а математический мир удивился самому факту существования таких чисел. Лишь только в 19 веке гениальный Георг Кантор понял, используя понятие мощности множества, что на числовой прямой трансцендентных чисел подавляющее большинство. Лишь только в пятом параграфе этой небольшой книжки мы, наконец-то, обратим на трансцендентные числа свое внимание.

Пункт 24. Мера и категория на прямой.

Я не думаю, что читатели ранее не встречались с этим изящным доказательством (хотя в моей практике встречались и очень темные студенты), просто идея этого доказательства далее будет использована при доказательстве теоремы Бэра и поэтому ее полезно напомнить заранее.

Легко понять, что множество А нигде не плотно тогда и только тогда, когда его дополнение A ў содержит плотное открытое множество. Легко понять, что множество А нигде не плотно тогда и только тогда, когда его замыкание
не имеет ни одной внутренней точки.

Нигде не плотные множества на прямой интуитивно ощущаются маленькими в том смысле, что в них полным полно дыр и точки такого множества расположены на прямой довольно редко. Некоторые свойства нигде не плотных множеств сформулируем скопом в виде теоремы.

Теорема 2. 1) Любое подмножество нигде не плотного множества нигде не плотно.

2) Объединение двух (или любого конечного числа) нигде не плотных множеств нигде не плотно.

3) Замыкание нигде не плотного множества нигде не плотно.

Доказательство. 1) Очевидно.

2) Если A 1 и A 2 нигде не плотны, то для каждого интервала I найдутся интервалы I 1 М ( I \ A 1 ) и I 2 М ( I 1 \ A 2 ). Значит, I 2 М I \( A 1 И A 2 ), а это означает, что A 1 И A 2 нигде не плотно.

Определение. Множество, которое можно представить в виде конечного или счетного объединения нигде не плотных множеств, называется множеством первой категории (по Бэру). Множество, которое нельзя представить в таком виде, называется множеством второй категории.

Теорема 3. 1) Дополнение любого множества первой категории на прямой является плотным.

2) Никакой интервал в R не является множеством первой категории.

3) Пересечение любой последовательности плотных открытых множеств является плотным множеством.

Доказательство. Три сформулированных в теореме свойства являются по существу эквивалентными. Докажем первое. Пусть

Второе утверждение теоремы непосредственно следует из первого, третье утверждение также следует из первого, если только сделать над собой усилие и перейти к дополнениям последовательности плотных открытых множеств.

Теорема 4 (Лебег). Любое счетное объединение нуль-множеств является нуль-множеством.

Никакой интервал или отрезок не является нуль-множеством, т.к. справедлива

Я не буду приводить здесь доказательство этой интуитивно очевидной теоремы ибо его можно найти в любом мало-мальски серьезном курсе математического анализа.

Предлагаю читателям самостоятельно проверить, что существуют множества первой категории, не являющиеся нуль-множествами, и существуют нуль-множества, не являющиеся множествами первой категории (впрочем, если вас затруднит придумывание соответствующих примеров, не отчаивайтесь, а просто дочитайте этот пункт до теоремы 6).

N – не более чем счетные множества
B – множества первой категории
О – множества меры нуль

Итак, мы ввели два понятия малости множеств. Нет ничего парадоксального, что множество, малое в одном смысле, может в другом смысле оказаться большим. Следующая теорема неплохо иллюстрирует эту мысль и показывает, что в некоторых случаях, введенные нами понятия малости могут оказаться диаметрально противоположными.

Теорема 6. Числовую прямую можно разбить на два дополняющих друг друга множества А и В так, что А есть множество первой категории, а В имеет меру нуль.

следовательно, В – нуль-множество.

Далее,
– плотное открытое подмножество R т.к. оно есть объединение последовательности открытых интервалов и содержит все рациональные точки. Это означает, что его дополнение G j ў нигде не плотно, следовательно
– множество первой категории.

1. Приведите пример двух всюду плотных множеств, пересечение которых не является всюду плотным. Приведите пример всюду плотного множества, дополнение до которого также всюду плотно.

2. Существует ли несчетное множество меры нуль, плотное на отрезке [0;1]?

5. Пусть множество Е на отрезке [0;1] имеет меру нуль. Является ли его замыкание множеством меры нуль?

8. Постройте на отрезке [0;1] совершенное нигде не плотное множество ненулевой меры.

НОВЫЕ ПОСТУПЛЕНИЯ В ЭРМТАЖ

Художник Валентин Сеpов. «Девочка с пеpсиками».

Иван Кpамской. «Неизвестная».

Забытый пpидвоpный художник «Поpтpет высокопоставленной дамы»

Скульптоp Мухина. «Рабочая и колхозник».

Художник Сальеpи. «Моцаpт за pоялем».

Художник Веpмееp. «Девушка в голубом»

Стpанная и гpотескная каpтина. В pентгеновски пpосвечиващем ключе даны ее пеpсонажи. Действительно девушка. Действительно в голубом.

Василий Кандинский. «Композиция N 456642695244962».

Как известно, идея о создании абстpактных каpтин, пpишла в голову художнику, когда он pазглядывал тpяпку, о котоpую вытиpал кисти. Тpяпка, о котоpую он вытиpал ноги, убедила его, что он на веpном пути. Данная pабота пpедставляет собой очеpедное изобpажение знаменитых тpяпок.

Художник Мин Здpав.

Плакат «Юноша, pазглядывающий бациллу тифа, увеличенную в 10000000000 pаз»

Источник