Доказать что множество точек разрыва монотонной функции не более чем счетно

08. Примеры равномощных множеств

Приведенные выше примеры и теоремы показывают, что установить равномощность различных множеств далеко не просто. В этом параграфе мы рассмотрим примеры построения биекции между различными множествами. Будут приведены примеры доказательств равномощности ряда множеств.

Пример 1. Установить биекцию между отрезком [0, 1] и отрезком [а, в].

Решение. Легко устанавливается биективность линейного отображения x = (в – a)t + a отрезка [0, 1] на отрезок [а, в].

Пример 2. Установить биекцию между интервалом (0, 1) и интервалом (–¥, +¥).

Решение. Легко устанавливается биективность отображения x= ctg(pt) интервала (0, 1) на интервал (–¥, +¥).

Задача. Рассмотреть основные элементарные функции и найти промежутки, на которых они являются биективным отображением.

Пример 3. Построить биекцию между отрезком [0, 1] и интервалом (0, 1).

Решение. Решение этой задачи основано на несчетности рассматриваемых множеств и теореме 4 из параграфа 6. Идея решения состоит в том, что из интервала (0, 1) выделяют некоторое счетное множество А. Затем к нему добавляют две точки <0>и <1>. Вновь полученное множество (обозначим его В Ì [0, 1]), также является счетным. Следовательно, множества А и В равномощны и существует биекция f, отображающая B на A. Построим теперь биекцию отрезка [0, 1] на интервал (0, 1) следующим образом:

Пример 4. Построить биекцию между окружностью единичного радиуса и отрезком [0, 1].

Схема решения. Легко устанавливается биекция между точкой окружности и углом, соответствующим этой точке. Этим получается биекция окружности и полуотрезка [0, 2p). Затем по схеме примера 3 строится биекция полуотрезка [0, 2p) на отрезок [0, 1].

Пример 6. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на отрезке [а, в], конечно или счетно.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Про счетные множества

Я понимаю,что есть счетное множество(т.е. можно осуществить биекцию на множество натуральных чисел или биекцию на счетное множество),мощность континуума(множество,эквивалентное [0,1] или эквивалентное мн-ву мощности континуума).
А задачи решить не представляю как:
1)Доказать,что мн-во всех монотонных функций f(x),заданных на [a,b],имеет мощность континуума.
2)Доказать,что мн-во точек ,имеет мощность континуума.
3)Доказать,что мн-во точек разрыва монотонной функции f(x) не более,чем счетно.
4)Доказать,что мн-во точек строгого локального максимума произвольной функции f(x),x из [a,b],не более чем счетно.
5)Доказать,что объединение континуума множеств мощности континуума имеет мощность континуума.
6)Доказать,что мн-во всех точек любого интервала (a,b) имеет мощность континуумаю
7)Доказать,что мн-во точек (x,y) единичного квадрата имеет мощность континуума.
8)Доказать,что проивольный набор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен.
9)Доказать,что произвольное мн-во точек на плоскости,расстояние между любыми двумя из которых превосходит фиксированное число a>0,не более чем счетно.
10)Доказать,что любая последовательность имеет континуум подпоследовательностей.
11)Доказать,что мн-во всех последовательностей непрерывных на [a,b] функций имеет мощность континуума.
12)Доказать,что мн-во всех интервалов на прямой R имеет мощность континуума.
13)Доказать,что мн-во всех непрерывных на [a,b] функций имеет мощность континуума.
14)Доказать,что мн-во всех чисел,являющихся корнем какого-либо алгебраического многочлена с целыми коэффициентами,счетно.
15)Доказать,что мн-во точек разрыва первого рода функции f(x) имеет мощность континуума.
16)Доказать,что мн-во всех точек из все координаты которых рациональны,счетно.
17)Д-ть,что мн-во всех замкнутых подмножеств прямой R имеет мощность континуума.
18)Д-ть,что мн-во всех счетных подмн-в мн-ва мощности континуума имеет мощность континуума.
19)Д-ть,что мн-во всех конечных подмн-в счетного мн-ва счетно.
20)Д-ть,что мн-во всех интервалов (a,b) с рациональными концами a,b счетно.
21)Д-ть,что проивольный надор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен.

Супермодератор

Ну и что, Вы хотите, чтобы мы все сели и написали Вам решения всех этих задач, да еще и с учетом многообещающего «и т.д.» в конце?

Напишите хотя бы свои соображения хоть по каким пунктам, чтобы можно было с чего-то начать.

Или для разгона докажите, что множество всех рациональных чисел счетно, равно как и пар рациональных чисел, и троек, и четверок и т.д. Это уже поможет решить некоторые задачи из списка.

Также обращаю внимание, что не всегда можно просто построить биекцию некоторого множества на множество, скажем, натуральных чисел, но можно построить биекцию на его подмножество (т.е. закодировать элементы множества различными натуральными числами, но при этом некоторым числам не будет поставлено в соответствие ни одного числа), и этого также достаточно для того, чтобы показать счетность.

Супермодератор

Ну и когда Вы с этим разберетесь, то получите решение задач 16 и 20 из списка.

И еще раз: хотелось бы получить от Вас хоть какие-то соображения по хоть каким-то из пунктов. Давать здесь готовые решения учебных задач не принято, это четко написано в объявлении в начале данного раздела.

Заслуженный участник

Супермодератор

— \infty Woland а как?Мне вообще не понятно как доказывать.
14)Докажем,что биекция мн-ву натуральных чисел существует.Алгебр.ур-ие=декартово произведение ,где n-степень алгебр.ур-ия.Корни ур-ия-это объединение счетного мн-ва.
4)Все точки лок.максимума ф-ии f(x) на [a,b] можно занумеровать в порядке их следования (от a к b).Эти точки есть декартово произведение R на R.И аналог.пункту 17.
А больше я не знаю:подскажите вообще алгоритм какой-нибудь решения таких задач и парочку примеров из этих пунктов.А я попробую при Вас решить аналогично!

Супермодератор

4: неверно. Где Вы использовали условие, что это строгие локальные максимумы?

Для 3 используйте соображение, что если функция монотонна, то ее разрывы только первого рода, есть предел слева и справа. Между этими пределами на оси значений каждой точке резрыва сопоставляется некоторый интервал, причем интервалы для разных точек разрыва не пересекаются. В каждом интервале можно выбрать рациональную точку.

Добавлено спустя 5 минут 38 секунд:

Для 3 используйте соображение, что если функция монотонна, то ее разрывы только первого рода, есть предел слева и справа. Между этими пределами на оси значений каждой точке резрыва сопоставляется некоторый интервал, причем интервалы для разных точек разрыва не пересекаются. В каждом интервале можно выбрать рациональную точку.

Супермодератор

Супермодератор

1. Каждому интервалу сопоставлена рац. число.

2. Разным интервалам сопоставлены разные рац. числа.

Это значит, что установлено взаимно-однозначное соответствие между всеми указанными интервалами и некоторым подмножеством рац. чисел. Таким образом, мощность множества интервалов не может превосходить мощность множества рац. чисел. Более точно, множество интервалов равномощно множеству . Если конечно, то и интервалов конечно. Если же бесконечно, тогда оно счетно, т.е. и множество интервалов счетно.

Итог: множество интервалов не более чем счетно.

1)Идея: возьмите какую-нибудь монотонную функцию, и параллельным
переносом двигайте, её параллельно оси Y. Замете, что все они различны,
а множество точек интервала (0,1) равно континууму.
2)Это стандартная задача. Поищете на форуме, она здесь уже рассматривалась (и не однократно).

Добавлено спустя 21 минуту 19 секунд:

Насчёт 7. Можно действовать так: поскольку существует биекция
между (множеством всевозможных, бесконечных, двоичных
последовательностей) и . То необходимую нам биекцию
строим так: для двух бесконечных последовательностей
и ,где
принимают значения лишь нуль либо один. Формируем 3-ю
легко видеть,что построенное отображение
биективно. Значит множество точек квадрата() равномощно
отрезку [0,1]. Оставшихся же точек на квадрате т.е. таких,что какая либо
координата записывается лишь с конечным числом знаков после запятой не более чем счётно.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Разрывы монотонной функции

Доказать, что число разрывов монотонной функции не более чем счетно.

Не знаю даже как подступиться.

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 13.04.2014, 18:26, всего редактировалось 2 раз(а).

Заслуженный участник

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось gris 13.04.2014, 18:36, всего редактировалось 2 раз(а).

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось provincialka 13.04.2014, 18:31, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Alex Sominsky 13.04.2014, 19:05, всего редактировалось 1 раз.

Понял, спасибо. Как просто!

Но снова появились сомнения. Ведь тоже самое можно сделать и для перекрывающихся интервалов.

Заслуженный участник

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Мощность множества

Одной из задач теории множеств является определение числа элементов множества и исследование вопроса о сравнении друг с другом двух множеств по количеству элементов.

Для конечных множеств самой разной природы эта задача легко решается непосредственным подсчетом. Для бесконечных – с помощью взаимно однозначного (биективного) отображения. Рассмотрим примеры построения такого отображения.

Задача 1. В качестве множества А рассмотрим интервал на числовой прямой, пусть А=(–1, 1), а в качестве множества В –множество действительных чисел R. Это множества одинаковой мощности, т.к отображение f(x) = tg(px/2), хÎА позволяет установить между ними искомое взаимно-однозначное соответствие.

Мощность – это то общее, что есть у любых двух эквивалентных множеств. Мощность множества A обозначается m(A) или |A|. Таким образом, m(A) = m(B), если A

Если множество A эквивалентно какому-либо подмножеству множества B, то мощность A не больше мощности B (т.е. m(A)£m(B)). Если при этом множество B не эквивалентно никакому подмножеству множества A, то m(A)

Задача 5. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества E на прямой больше единицы, то множество E конечно или счетно.

Задача6. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на [a, b], не более, чем счетно.

Решение. Каждая точка разрыва монотонной функции f(x) является точкой разрыва первого рода. Действительно, так как функция f(x) монотонна и ограничена на отрезке, то она имеет конечные пределы при x®x±0, где x – произвольная точка разрыва функции f(x).

Назовем скачком функции в точке x разность f(x+0) –f(x–0) этих пределов. Пусть функция f(x) возрастает. Легко проверить, что множество точек разрыва, в которых скачок больше a (где a – произвольное положительное число), конечно, а число этих точек не больше, чем (f(b) – f(a)) /a.

Так как все E_k конечны, то E не более чем счетно.

Для монотонно убывающей на [a, b] функции доказательство аналогично.

Задача 7. Доказать, что множество всех непрерывных функций на отрезке [a, b] имеет мощность континуума.

Решение. Рассмотрим множество Q всех рациональных точек отрезка [a,b], занумерованных произвольным образом, т.е. Q= =1, r₂. >. Поставим в соответствие каждой непрерывной на [a,b] функции f последовательность действительных чисел f(r₁), f(r₂). Так как непрерывная функция на [a,b] полностью определяется своими значениями в точках множества Q, то тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех непрерывных функций на [a,b] и частью множества всех последовательностей действительных чисел. Значит, в силу результатов задач 11-13 п. 4, мощность множества всех непрерывных функций на [a,b] не больше мощности континуума. С другой стороны, она не может быть меньше мощности континуума, так как все функции, постоянные на [a,b], уже образуют множество мощности континуума. Для завершения доказательcтва остается применить теорему Кантора-Бернштейна (см. п.4).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Найти взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] на отрезок [a, b].

2. Отобразить взаимно однозначно луч [0, +¥) на всю числовую прямую.

3. Построить взаимно однозначное отображение окружности единичного радиуса на отрезок [0, 1].

4. Установить взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом E=<(x, y) | x 2 +y 2 2 +y 2 £ 1>.

5. Установить взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом и замкнутым единичным кругом.

6. Установить взаимно однозначное соответствие между окружностью и прямой.

7. Установить взаимно однозначное соответствие между сферой с одной выколотой точкой и плоскостью.

8. Установить взаимно однозначное соответствие между сферой и плоскостью.

9. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех многочленов с рациональными коэффициентами и множеством всех натуральных чисел.

10. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех конечных подмножеств натурального ряда чисел и множеством натуральных чисел.

11. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех последовательностей действительных чисел и множеством всех последовательностей натуральных чисел.

12. Установить взаимно однозначное соответствие между

множеством всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел и множеством всех бесконечных двоичных дробей, которые соответствуют числам интервала (0, 1].

13. Верно ли утверждение: «Если A

D, причем A É B, C É D, то A \ B

14. Пусть A É C, B É D, C È D

C. Доказать, что A È D

15. Верно ли утверждение: «Если A

B, C É A, C É B, то C \ A

16. Верно ли утверждение: «Если A

B, A É C, B É C, то A \ C

17. Какова мощность множества всех рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?

18. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости, радиусы и координаты центра которых – рациональные числа, счетно.

19. Какова мощность множества всех многочленов, коэф-фициентами которых служат корни многочленов с целыми коэф-

фициентами (алгебраические числа).

20. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на всей числовой прямой, конечно или счетно.

21. Пусть E – какое-либо несчетное множество положительных чисел. Доказать, что найдется такое число t > 0, что множество E Ç(–t, +¥) несчетно.

22. Доказать, что множество всех стационарных последовательностей натуральных чисел счетно. Последовательность называется стационарной, если она состоит из одинаковых элементов.

23. Определить мощности следующих множеств:

а) множество всех треугольников на плоскости, координаты вершин которых выражаются рациональными числами;

б) множество корней многочленов с целыми коэффициентами;

в) множество вещественных чисел от 0 до 1, в десятичном представлении которых 7 стоит на 3-м месте (т.е. числа вида 0.ab7cd. ).

24. На числовой прямой задано неограниченное счетное множество Е. Доказать, что всегда существует вещественное число z, что сдвинув множество Е на z вправо, получим новое множество Е₁, которое будет иметь пустое пересечение с Е.

25. Какова мощность множества всех функций, определенных на отрезке [a, b] и разрывных хотя бы в одной точке этого отрезка?

26. Какова мощность множества всех строго возрастающих непрерывных функций, заданных на отрезке [a, b]?

27. Какова мощность множества всех монотонных функций на отрезке [a, b]?

28. Показать, что множество всех перестановок натурального ряда N имеет мощность континуума.

29. Какова мощность множества всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел?

30. Какова мощность множества всех последовательностей натуральных чисел?

Источник