Доказать что наименьший положительный период

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 4 сентября 2021 г.

Урок 5. Периодичность тригонометрических функций

Из этого определения сразу следует, что если Т – период функции

– также периоды функций. Значит у периодической функции бесконечно много периодов.

Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом .

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

у = х – [х] , где [х] – целая часть числа. Если к произвольному значение аргумента этой функции добавить 1 , то значение функции от этого не изменится :

Следовательно, при любом значении х

sin (α + 360 ° ) = sin α

Таким образом, функции sin α и cos α от прибавления к аргументу α одного полного оборота ( 2π или 360 ° ) не меняют своих значений.

где k – любое целое число.

Следовательно, функции sin α и cos α – периодические.

Наименьшее положительное число, от прибавления которого к любому допустимому значению аргумента не изменяется значение функции, называется периодом функции.

В самом деле, пусть α – произвольный угол, составленный с осью Ох подвижным радиусом ОМ единичной окружности.

отсюда следует, что значения tg α и с tg α не изменяются, если к углу α прибавить любое число полуоборотов:

где k – любое целое число.

вычисляются по формуле

равен наименьшему числу, при делении которого на T ₁ и T ₂ получаются целые числа.

Найти период функции

не существует, так как такого числа, при делении которого на 2π и на 2 получались бы целые числа, нет.

Периода не существует.

Доказать следующее утверждение :

Так как тангенс – периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 180 ° , то получим :

Доказать следующее утверждение :

Так как косинус – чётная и периодическая функция с минимальным периодом 2π , то получим :

сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1.

Доказать следующее утверждение :

Так как синус – нечётная и периодическая функция с минимальным периодом 20 ∙ 360 ° , то получим :

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

так как 2 πk период синуса, то получим :

sin (7х + 7 t ) = sin (7х + 2 πk ),

Найти основной период функции

Пусть Т основной период функции, тогда:

со s 0,3х = со s 0,3(х + t ) = со s (0,3х + 0,3 t )

так как 2 πk период косинуса, то получим :

Найти период функции :

y = 5 sin 2 x + 2 ctg 3х.

Наименьшее число, при делении которого на

Найти период функции :

Находим периоды слагаемых. Период функции

Очевидно, что период заданной функции равен

Найти период функции :

Периода у заданной функции не существует, так как нет такого числа, при делении которого на 2 и на π одновременно получались бы целые числа.

Найти период функции :

Приведём к общему знаменателю периоды :

Тогда наименьшее общее кратное (НОК) будет :

Теперь найдём период заданной функции :

Источник

§ 13. Свойства тригонометрических функций

Объяснение и обоснование

ления этих функций.

Например, — это ордината соответствующей точки единичной

окружности. Поэтому значение будет положительным, если точка

имеет положительную ординату, a это будет тогда, когда точка находит-

верти, то ее ордината отрицательна, и поэтому тоже отрицателен.

Аналогично, учитывая, что — это абсцисса соответствующей точки ,

получаем, что >0 в I и IV четвертях (абсцисса точки положительна)

и Функция y = f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если для

любого x из области определения функции числа (x + T) и (x – T) также

Из приведенного определения получаем, что f (x – T) = f ((x – T) + T) =

= f (x), то есть, если T — период функции f (x), то и – T тоже период этой

Учитывая, что на единичной окружности числам (углам) где

соответствует одна и та же точка (рис. 71), получаем:

Тогда является периодом функций и .

При k = 1 получаем, что — это период функций и .

Докажем, что эти функции не могут иметь меньший положительный пе-

риод. Чтобы доказать, что — наименьший положительный период

бого значения x выполняется равенство cos (x + T) = cos x. Взяв x = 0,

получаем cos T = 1. Но это означает, что на единичной окружности при

повороте на угол T точка снова попадает в точку , то есть ,

где k ∈ Z. Таким образом, любой период косинуса должен быть кратным

, а значит,

— наименьший положительный период косинуса.

Чтобы обосновать, что — наименьший положительный период

функции sin x, достаточно в равенстве sin (x + T) = sin x, которое выпол-

няется для любых значений x, взять . Получаем Но это

означает, что при повороте на угол точка попадает в точку A (0;1)

(рис. 71), то есть таким образом . Следовательно,

любой период синуса должен быть кратным , а значитит,

— наименьший положительный период косинуса.

Если учесть, что на единичной окружности точки и являются

диаметрально противоположными, то этим точкам соответствует одна и та же

точка на линии тангенсов (рис. 72) или на линии котангенсов (рис. 73). Тогда

также

То есть периодом функций tg x и ctg x является (k ≠ 0, k ∈ Z).

Наименьшим положительным периодом для функций tg x и ctg x явля-

ется

Чтобы доказать это, достаточно в равенстве tg (x + T) = tg x взять x = 0.

Тогда получим tg T = 0. Таким образом, T =, где k ∈ Z. Итак, любой

период тангенса должен быть кратным а значит, — наименьший по-

ложительный период тангенса. Аналогично в соответствующем равенстве

для ctg x достаточно взять .

ции y = f (x), напомним, что по определению график функции y = f (x)

ординаты (x; y) = (x; f (x)). Первая координата для точек графика вы-

бирается произвольно из области определения функции. Выберем как

первую координату значение x + T (или в обобщенном виде — значение

x + kT при целом значении k) и учтем, что для периодической функции

f(x + T) = f(x – T) = f (x) (в общем случае f (x + kT) = f (x)). Тогда графи-

ку функции y = f (x) будет принадлежать также точка M1 координатной

плоскости с координатами:

(x + T; y) = (x + T; f (x + T)) = (x + T; f (x)).

ным переносом вдоль оси Ox на T единиц (рис. 74). В общем случае точку

реносом вдоль оси Ox на kT единиц. Таким образом, через промежуток T

вид графика периодической функции будет повторяться. Поэтому для

построения графика периодической функции с периодом T достаточно

построить график на любом промежутке длиной T(например, на проме-

жутке [0;T]), а потом полученную линию параллельно перенести вправо

и влево вдоль оси Ox на расстояние kT, где k — любое натуральное число.

Примеры решения задач

Задача 1 Пользуясь периодичностью, четностью и нечетностью триго-

нометрических функций, найдите:

Задача 1 Докажите утверждение: если функция y = f (x) периодическая

с периодом T, то функция y = Af (kx + b) также периодическая

с периодом (A, k, b — некоторые числа и k ≠ 0).

Используем утверждение, доказанное в задаче 2 для нахождения перио-

1) если функция sin x имеет период , то функция sin 4x имеет период

2) если функция tg x имеет период ,то функция имеет период

Вопросы для контроля

б *) Обоснуйте знаки тригонометрических функций в каждой из коорди-

2. а) Какие из тригонометрических функций являются четными, а какие

нечетными? Приведите примеры использования четности и нечетности

для вычисления значений тригонометрических функций.

б *) Обоснуйте четность или нечетность соответствующих тригонометри-

3. а) Какая функция называется периодической? Приведите примеры.

б *) Обоснуйте периодичность тригонометрических функций. Укажи-

те наименьший положительный период для синуса, косинуса, тангенса

и котангенса и обоснуйте, что в каждом случае этот период действитель-

но является наименьшим положительным периодом.

Упражнения

1. Пользуясь периодичностью, четностью и нечетностью тригонометриче-

ской функции, найдите:

1) 2) sin (–750°); 3) 4) ctg 945°;

5) 6) cos (–3630°); 7) 8) tg 600°.

2*. Среди данных функций найдите периодические и укажите наименьший

положительный период для каждой из них:

1) f(x)= x^2; 2) f(x)= sin 2x; 3) f(x)= | x |; 4) f(x)= tg 3x; 5)f(x) = 3.

3. Найдите период каждой из данных функций:

1) y= cos 2x; 2)y = tg 5x; 3) 4) y = ctg 3x; 5)

4. На каждом из рисунков 75–78 приведена часть графика некоторой перио-

дической функции с периодом T. Продолжите график на отрезке [–2T; 3T].

Источник

Периодические функции

С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.

Дадим определение периодической функции:

Например, — периодические функции.

Для функций и период

Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:

1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и Найдите значение выражения

График функции может выглядеть, например, вот так:

Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.

2. График четной периодической функции совпадает с графиком функции на отрезке от 0 до 1; период функции равен 2. Постройте график функции и найдите f(4 ).

Построим график функции при

Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при симметричную части графика от 0 до 1.

Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.

3. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период функции равен

График функции получается из графика функции сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).

Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен На отрезке укладывается ровно 5 полных волн функции

4. Период функции равен 12, а период функции равен 8. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.

Источник