Доказать что оператор эрмитов

10.4. Еще о свойствах эрмитового оператора

Т°. Чтобы линейный оператор АÎL(V, V) был эрмитов необходимо и достаточно,

Достаточность. Пусть Im(Ах, Х) = 0 Þ (AIx, x) = 0 Þ Þ ||AI|| = 0 Þ AI = 0 Þ

Аz = λZ Þ = (Ах, Х),

Где Х – собственный вектор и ||Х|| = 1 ▶

Следствие: Пусть А – эрмитов оператор и M = . Тогда для собственных значений λ оператора А справедливо M £ l £ M.

Т°. Если А – самосопряженный (эрмитов) оператор и «XÎV; (Ax, X) ³ 0, то

◀ . Обозначим l = (Ax0, X0) = ||A||. Рассмотрим

||(A – lЕ)Х0||2 = (Ax0 – lX0, Ax0 – lX0) = (Ax0, Ax0) – l(Х0, Ах0) – (Ax0, X0) + l(Х0, Х0) =

= = (Ax0, Ax0) – l(Ах0, Х0) – l(Ах0, Х0) + l2(Х0, Х0) = =

Продолжаем изучение спектральных свойств эрмитовых операторов.

Т°. Пусть для эрмитового оператора А M = ; тогда M и

М – наименьшее и наибольшее собственное значение оператора А.

◀ Достаточно доказать, что M и М – собственные значения оператора А.

2) Рассмотрим В = –А Þ В – эрмитов. Þ Þ – M – собственное значение В

Тº (о собственном базисе эрмитового оператора). Если А – эрмитов оператор: АÎL(V, V) в N-мерном унитарном пространстве, то в V существует N-линейно-независимых, попарно ортогональных и единичных собственных векторах.

«ХÎV1: (Ах, е1) = (Х, Ае1) = l1(Х, Е1) 0, т. е. (Ах, е1) = 0 Þ .

2) Теперь можем рассмотреть А в V1: АÎL(V1, V1), А – эрмитов Þ lmax = l2 =

Рассмотрим V2 = ℒ^(Е1, Е2). Тогда V = V1 Å ℒ(Е1), V2 – инвариантно относительно А.

«ХÎV2: (Ах, a1Е1+a2Е2) = (Х, А(a1Е1) + А(a2Е2)) = 0,

т. е. в V существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора А ▶

Примечание: Договоримся, в дальнейшем, нумеровать собственные значения в порядке их убывания с учетом кратности, т. е. l1 ³ l2 ³ … ³ lN и соответствующие им векторы Е1, Е2, …, Еn обладают свойством (Ei, Ej) = dIj.

Примечание: Из доказанной выше теоремы следует: , или , где Еm = ℒ(Е1, Е2, …, Еm).

Т° (минимаксное свойство собственных значений). Пусть А – эрмитов оператор и l1 ³ l2 ³ … ³ lN его собственные значения, тогда где ℇM –множество всех M-мерных подпространств пространства V.

Источник

Реферат: Эрмитовы операторы

Пусть M и N — линейные множества. Оператор L , преобразующий элементы множества M в элементы множества N , называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство

При этом множество M = M_L называется областью определения оператора L . Если Lf = f при всех f Є M , то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.

Пусть L — линейный оператор с областью определения M_L . Уравнение

называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из M_L — решением этого уравнения.

Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение

называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).

В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.

Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения и_о этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u ₁ . и₂ — соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация

также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения

существует, то его общее решение представляется формулой

Линейный оператор L , переводящий M_L СL ₂ ( G ) в L₂ (G), называется эрмитовым, если его область определения M_L плотна в L₂ (G) и для любых f и g из M_l справедливо равенство

Выражения ( Lf , g ) и ( Lf , f ) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L .

Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма ( Lf , f ), f Є M_l , где M_l плотна в L₂ (G), принимала только вещественные значения.

Линейный оператор L , переводящий M_l С L₂ (G) в L₂ (G), называется положительным, если M_l плотна в L₂ (G) и

В частности, всякий положительный оператор эрмитов.

Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны .

Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма ( Lf , f ) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ₀ — вещественное (неотрицательное) число.

Докажем, что любые собственные функции и ₁ и и ₂ , соответствующие различным собственным значениям λ₁ и λ₂ , ортогональны. Действительно, из соотношений

из вещественности λ₁ и λ₂ и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств

При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Таким образом, если система собственных функций <и_к > эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:

1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.

3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.

Источник

Эрмитовы операторы

Эрмитовы операторы

Содержание

Пусть M и N — линейные множества. Оператор L, преобразующий элементы множества M в элементы множества N, называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство

При этом множество M = M_L называется областью определения оператора L. Если Lf = f при всех f Є M, то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.

Пусть L — линейный оператор с областью определения M_L . Уравнение

называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из M_L — решением этого уравнения.

Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение

называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).

В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.

Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения и_о этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)

Рассмотрим линейное однородное уравнение

где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из M_L. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из M_L, называются собственными значениями оператора L, а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 ≤ r ≤ ∞, линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.

Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u₁. и₂ — соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация

также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения

существует, то его общее решение представляется формулой

где и* — частное решение (6) и с_k, k = l,2. r, — произвольные постоянные.

Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (Lf, f), f Є M_l, где M_l плотна в L₂(G), принимала только вещественные значения.

В частности, всякий положительный оператор эрмитов.

Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть λ₀ — собственное значение, u₀ — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L, L u₀ = λ₀u₀. Умножая скалярно это равенство на u₀, получим

Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Lf, f) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ₀ — вещественное (неотрицательное) число.

Докажем, что любые собственные функции и₁ и и₂, соответствующие различным собственным значениям λ₁ и λ₂, ортогональны. Действительно, из соотношений

из вещественности λ₁ и λ₂ и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств

Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ₁,λ₂. повтори λ_k столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и₁,и₂,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция и_k:

Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система <φ_k> состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ₁,ψ₂. линейно независимых функций из L₂(G) преобразуется в ортонормальную систему φ₁,φ₂, — следующим процессом ортогонализации Шмидта:

При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Таким образом, если система собственных функций <и_к> эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:

Список литературы

1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.

3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.

Источник

Эрмитов оператор

Смотреть что такое «Эрмитов оператор» в других словарях:

ЭРМИТОВ ОПЕРАТОР — линейный оператор А в гильбертовом пространстве Н сплотной областью определения D(A )и такой, что = для любых х, у D(A). Это условие эквивалентно тому, что: 1) D(A) D(A*), 2) Ах = А * х для всех х D(A), где А * … Физическая энциклопедия

эрмитов оператор — ermitinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian operator; selfadjoint operator vok. Hermite Operator, m; hermitescher Operator, m; selbstadjungierter Operator, m rus. самосопряжённый оператор, m; эрмитов оператор, m… … Fizikos terminų žodynas

Оператор плотности — Матрица плотности (оператор плотности) один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так … Википедия

Оператор координаты — В квантовой физике наряду с оператором импульса имеет место оператор координаты. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 … Википедия

ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — А в векторном пространстве L отображение, сопоставляющее каждому вектору е век poro множества D (содержащегося в L и наз. областью определения Л. о.) др. вектор, обозначаемый Ае (и называемый значением Л. о. на векторе е). Выполнены след. условия … Физическая энциклопедия

Сопряжённый оператор — Содержание 1 Общее линейное пространство 2 Топологическое линейное пространство … Википедия

САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР — см. Эрмитов оператор. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 … Физическая энциклопедия

самосопряжённый оператор — ermitinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian operator; selfadjoint operator vok. Hermite Operator, m; hermitescher Operator, m; selbstadjungierter Operator, m rus. самосопряжённый оператор, m; эрмитов оператор, m… … Fizikos terminų žodynas

Источник

ЭРМИТОВ ОПЕРАТОР

Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 3 изд. Хар., 1978; 12] Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М. 1979.
В. И. Соболев

Смотреть что такое «ЭРМИТОВ ОПЕРАТОР» в других словарях:

ЭРМИТОВ ОПЕРАТОР — линейный оператор А в гильбертовом пространстве Н сплотной областью определения D(A )и такой, что = для любых х, у D(A). Это условие эквивалентно тому, что: 1) D(A) D(A*), 2) Ах = А * х для всех х D(A), где А * … Физическая энциклопедия

эрмитов оператор — ermitinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian operator; selfadjoint operator vok. Hermite Operator, m; hermitescher Operator, m; selbstadjungierter Operator, m rus. самосопряжённый оператор, m; эрмитов оператор, m… … Fizikos terminų žodynas

Эрмитов оператор — бесконечномерный аналог эрмитова линейного преобразования (см. Эрмитова форма). Линейный ограниченный оператор А в комплексном гильбертовом пространстве (См. Гильбертово пространство) и называется эрмитовым, если для любых двух векторов х … Большая советская энциклопедия

Оператор плотности — Матрица плотности (оператор плотности) один из способов описания состояния квантовомеханической системы. В отличие от волновой функции, пригодной лишь для описания чистых состояний, оператор плотности в равной мере может задавать как чистые, так … Википедия

Оператор координаты — В квантовой физике наряду с оператором импульса имеет место оператор координаты. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 … Википедия

ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР — А в векторном пространстве L отображение, сопоставляющее каждому вектору е век poro множества D (содержащегося в L и наз. областью определения Л. о.) др. вектор, обозначаемый Ае (и называемый значением Л. о. на векторе е). Выполнены след. условия … Физическая энциклопедия

Сопряжённый оператор — Содержание 1 Общее линейное пространство 2 Топологическое линейное пространство … Википедия

САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР — см. Эрмитов оператор. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 … Физическая энциклопедия

самосопряжённый оператор — ermitinis operatorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hermitian operator; selfadjoint operator vok. Hermite Operator, m; hermitescher Operator, m; selbstadjungierter Operator, m rus. самосопряжённый оператор, m; эрмитов оператор, m… … Fizikos terminų žodynas

Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →