Доказать что площадь выпуклого четырехугольника равна половине длины векторного произведения

Урок геометрии по теме «Теорема Вариньона. Решение задач». 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Задачи:

Ход урока

Введение

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.

Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.

1. Теоретическая часть

Вариньон Пьер [1] (1654–1722)

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики. », в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).

Теорема Вариньона [2]

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

ABCD – выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND

1) KLMN – параллелограмм;

Т.е., SKLMN = S_ABCD/2. Что и требовалось доказать.

Определение. Бимедианы четырехугольниках [3] – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)

Следствия из теоремы Вариньона

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.

Доказать: KLMN – ромб

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM и LN перпендикулярны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны

Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – равны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN

Доказать: KLMN – квадрат

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

2. Практическая часть. Решение задач.

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).

У четырехугольника диагонали равны aи b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

См. теорему Вариньона.

Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.

Олимпиадные задачи

1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий [5].

Доказать: S_ABCD= KM*LN

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны [6].

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника.

Что и требовалось доказать.

Заключение

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.

От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.

Источник

Применение теоремы Вариньона к решению задач

2. 2. Применение теоремы Вариньона к решению задач.

Рассмотрим применение теоремы Вариньона к решению планиметрических задач повышенной трудности. Дело в том, что планиметрические задачи на олимпиадах встречаются значительно чаще.

Задача 1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE середины сторон AB и CD, BC и DE соединены отрезками. K, L – середины этих отрезков. Доказать, что отрезок KL параллелен пятой стороне AE и составляет ¼ от неё.

Решение: отрежем четырёхугольник ABCD и пусть Р-середина AD, тогда по теореме Вариньона A1B1C1P – параллелограмм, А1С1 – его диагональ и К – середина А1С1, значит, К – середина и второй

диагонали параллелограмма В1Р. Значит, KL – средняя линия треугольника PB1D1, поэтому KL||PD1 и KL=1/2 PD1, но PD1 – средняя линия треугольника ADE, значит, PD1||AE и PD1=1/2AE, поэтому KL||AE и KL=1/4 AE.

Задача 2. Верно ли, что можно составить треугольник из любой средней линии треугольника и отрезков, вдвое меньших его диагоналей?

Решение: верно, так как параллелограмм Вариньона существует для любого выпуклого четырёхугольника. Например, условию задачи удовлетворяют треугольники KLM и LMN на рис. 10. рис. 10

Задача 3. Средние линии четырёхугольника ABCD равны a и b, а угол между ними 60˚. Найдите диагонали четырёхугольника.

Решение: пусть KM=a, LN=b, (рис. 10). Тогда NM=, а LT=.

Из треугольника LTM по теореме косинусов . Но LM= BD, поэтому , откуда BD=. Аналогично из треугольника TNM найдём MN, потом вычислим AC: AC=.

Ответ: ;

Задача 4. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

Доказательство: в параллелограмме Вариньона, как и в любом другом параллелограмме, сумма квадратов рис. 11 диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т. е. Учитывая, что KL=1/2 AC и LM= 1/2 BD (рис. 11), получим: KM2+LN2=1/2(AC2+BD2), AC2+BD2=2(KM2+LN2).

Задача 5. Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырёхугольника ABCD.

Доказательство: (рис. 12).

Учитывая, что , KL=1/2 AC и KN=1/2 BD, получим: рис. 12

.

Задача 6. Докажите, что все четырёхугольники, имеющие общие середины

Доказательство: действительно, для всех таких четырёхугольников определён один и тот же параллелограмм Вариньона. Его площадь равна половине площади каждого из исходных четырёхугольников (задача 5), тем самым их равновеликость доказана.

Задача 7. Докажите, что если диагонали четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

Доказательство: в случае равенства диагоналей AC и BD параллелограмм Вариньона KLMN является ромбом (рис. 13), а рис. 13

площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

, тогда .

Задача 8. Диагонали четырёхугольника ABCD равны d1 и d2, а средние линии равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника.

Решение: из условия задачи следует, что в параллелограмме Вариньона диагонали KM и LN равны (рис. 12). Значит, KLMN – прямоугольник и SKLMN=1/2 d1d2, а с другой стороны, SKLMN=1/2 SABCD, следовательно, SABCD=1/2d1d2.

Ответ: SABCD=1/2d1d2.

Задача 9. Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними.

Доказательство: согласно рис. 14 необходимо доказать, рис. 14

что . Треугольник KLN представляет собой половину параллелограмма Вариньона. (). Так как KL=1/2AC, то , значит, , а с другой стороны, (см. задачу 8), тогда .

Задача 10. Докажите, что сумма квадратов сторон четырёхугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверённым квадратом отрезка, соединяющего середину его диагоналей.

Доказательство: согласно рис. 11 надо доказать, что. Для медианы ET треугольника ELN имеем: , где , , откуда . Аналогично, выразив медиану FT треугольника KFM и учитывая, что и , получим: .

Кроме того, (задача 7).

Итак, получаем: , откуда:

Задача 11. Постройте трапецию по диагоналям, одному из углов и отрезку, соединяющему середины оснований.

Решение: пусть в трапеции ABCD, которую необходимо построить, известны длины диагоналей AC и BD, отрезка LN и величина угла А (рис. 15).

Поскольку и , нетрудно построить по трём рис. 15

сторонам треугольник KLN. Далее построим его до параллелограмма Вариньона. Затем на отрезке KN построим сегмент, вмещающий угол А, и проведём через точку N параллельно KM прямую, она пересечёт сегмент в точке А. Дальнейшее построение очевидно.

В ходе работы мы прорешали более двадцати пяти задач, формулировки и решения наиболее интересных из них дополнительно приведены в приложении. Мы убедились в том, что теорема Вариньона помогает красиво, оригинально решать задачи, открывать и доказывать новые свойства четырёхугольников.

Источник

Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 4

Описание файла

Просмотр DJVU-файла онлайн

Вектор с имеет длину 1 и делит пополам угол между а и Ь. Вычислить координаты вектора с. 2.24 (р). Даны два вектора а и Ь, причем а у’= о. Выразить через а и Ь ортогональную проекцию вектора Ь на прямую, направление которой определяется вектором а. 2.25. Найти сумму ортогональных проекций вектора а на стороны правильного треугольника. 2.26. Дан вектор а(1,1). Найти ортогональную проекцию вектора Ь на прямую, направление которой определяется вектором а, и ортогональную составляющую вектора Ь относительно этой прямой, если вектор Ь имеет координаты; 1) (1, — 3); 2) (1, — 1); 3) (3,3); 4) (-2, — 2). 18 Гль 1. Векттторы и коордииатлы 2.27. Дан вектор а(1, — 1,2).

Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений (х,а) = = 18, (х,Ь) = 1, (х,с) = 1. 2.31. Даны ненулевой вектор а и скаляр р. Выразить через а и р какой-нибудь вектор х, удовлетворяющий уравнению (х,а) =р. 2.32. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения (х,а) =р, а также его частного решения, коллинеарного вектору а: 1) на плоскости; 2) в пространстве. 2.33.

Объяснить геометрический смысл: 1) решения системы векторных уравнений (х, а) = р, (х, Ь) = т1 на плоскости (векторы а и Ь неколлинеарны); 2) решения системы векторных уравнений (х, а) = р, (х,Ь) = т1, (х,с) = сч в пространстве (векторы а., Ь, с нскомпланарны). 2.34 (р). Даны два вектора а(1,— 1,1) и Ь(5,1,1). Вычислить координаты вектора с, который имсет длину 1 и ортогоналсн векторам а и Ь. Сколько решений имеет задача? 2.35. Даны два вектора а (1, — 1, 1) и Ь (5,1,1). Вектор с имеет длину 1, ортогонален вектору а и образует с вектором Ь угол агссоз (

/2/27). Вычислить координаты вектора с.

Сколько решений имеет задача? 2.36. В равнобедренном треугольнике медианы., проведенные к боковым сторонам, взаимно псрпсндикулярны. Найти углы треугольника. 2.37. В параллелограмме АВСР точки К и  — середины сторон ВС и СР. Найти

= 3, а угол КАЛ = тт/3. Х е. Ска хрвое произведение векгаоров 2.38. Длины сторон треугольника связаны соотношением аг + бог = 5сг. Доказать, что две медианы треугольника перпендикулярны. 2.39. Длины соседних сторон параллелограмма относятся как т: и, а угол между этими сторонами равен се. Найти угол между диагоналями параллелограмма.

2.40. В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме квадратов двух других противоположных сторон. Найти угол между диагоналями четырехугольника. 2.41. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, а отношение длин оснований равно ш:и (т > > и). Найти: 1) отношение длин боковых сторон; 2) отношение длин диагоналей; 3) величину острого угла трапеции. 2.42. Доказать, что если в треугольнике равны длины двух медиан, длины двух высот или длины двух биссектрис, то этот треугольник равнобедренный.

2.43. Пусть М точка пересе сения медиан треугольника АВС. Доказать, что (АМ(

г+ + (ВС) г + (АС(г) с3 2.44. Длины ребер ААи АВ и АР параллелепипеда АВСРАсВсСсРс равны соответственно а, 6, с. Величины углов между ними е’.ВАР,

Аг АВ равны соответственно о,,б, у.

Найти длину диагонали АСь 2.45. Дан произвольный тетраэдр АВСР. Доказать: если перпендикулярны ребра АВ и СР и ребра АС и ВР, то ребра ВС и А.Р также перпендикулярны. 2.46. Даны два отрезка АВ и СР (вообтт

е говоря, в пространстве). Доказать, что отрезки перпендикулярны, если

центры граней ВСР и АВС соответственно. Найти угол между прямыми Мст и РЯ. 2.48. Длина ребра куба АВСРАсВсСгРс равна а. Точка Р—. середина ребра ССы точка Я «центр грани ААсВгВ. От- Гл. Е Векгпоры и координаты 20 резок МХ с концами на прямых АР и А

пересекает прямую РЯ и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка. 2.49.

В правильном тетраэдре АВСР точки Е и Е являются серединами ребер АР и ВС соответственно. На ребро СР взята точка Х, на отрезке ЕЕ точка М так, что л’.МХС = 45′,

ЯМЕ = атосов [2/3). В каком отношении точки М и?У делят отрезки ЕЕ и СР? 2.50. В правильной шестиугольной пирамиде ЯАВСРЕЕ ф вершина) длина стороны основания равна 2. Вершины К и М ромба КАМЕ лежат на ребрах АВ и БР соответственно, и [КМ[ = 3, а отрезок КЕ пересекает ребро ЯВ. Найти объем пирамиды. 3 3. Векторное и смешанное произведения векторов 3.1. Найти векторное произведение векторов а и Ь, заданных своими координатами: 1) а(3, — 1, 2), Ь[2, — 3, — 5); 2) а[2, — 1, 1), Ь [ — 4, 2, — 2); 3) а(6, 1, О)., Ь(3, — 2, О). 3.2.

Упростить выражения; 1) [а+Ь, а — Ь); 2) [а — Ь+ с/2, — а+ 2Ь вЂ” 5с). 3.3. Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому сомножителю. 3.4. Векторы а и Ь не коллинеарны. При каких значениях скаляра Л коллинеарны векторы Ла+ Ь и За+ ЛЬ? 3.5. Векторы ем ев, ез образуют; 1) ортонормированный правый базис; 2) ортонормированный левый базис; 3) ортогональный правый базис. Выразить векторные произведения [ем ез], [ез, ез), [ез, е

[ через векторы ем ез, ез. 3.6.

Известно, что а = [Ь, с[, Ь = [с, а), с = [а, Ь). Найти длины векторов а, Ь, с и углы между ними. 3.7. Решить задачи: 1) 2.34; 2) 2.35, дополнительно потребовав, чтобы ориентация тройки векторов а, Ь, с совпадала с ориентацией ортонормированного базиса, в котором заданы координаты векторов. З о. Векторное и емееааииое произоедеииа еектороо 21 3.8. На векторах а(2,3,1) и Ь( — 1,1,2), отложенных из одной точки, построен треугольник. Найти: 1) площадь этого треугольника; 2) длины трех его высот.

3.9 (р). Длины базисных векторов е1 и ез общей декартовой системы координат на плоскости равны соответственно 3 и 2, а угол между ними равен 30′. В этой системе координат даны координаты трех последовательных вершин параллелограмма: (1,3), (1,0) и ( — 1,2). Найти площадь параллелограмма. 3.10. Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника АВСР равна половине длины векторного произведения [АС, ВР

. 3.11. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных к граням произвольного тетраэдра, равных по длине площадям этих граней и направленных в сторону вершин,противолежащих этим граням, равна нулю. 3.12.

Доказать, что для трех нсколлинсарных векторов а, Ь, с равенства [а, Ь1 = [Ь, с) = [с,а) выполняются тогда и только тогда, когда а+ Ь + с = о. 3.13. Доказать тождества: Ь) (Ь,Ь) (а, а) (а, Ь) 2) [а, [Ь, сЦ = Ь(а, с) — с(а, Ь); 3) [[,Ь),[, 11)= ) д (а,с) (а,г1) 3.14. Даны ее, р, у плоские углы трехгранного угла. Найти его двугранные углы. 3.15. Даны два вектора а и Ь такис, что а

Выразить через а и Ь какой-нибудь вектор х, удовлстворякь еций уравнению [х,а) = Ь. 3.16. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения [х,а) = Ь, а также его частного решения, коллинеарного вектору (а, Ь). 3.17. Из одной точки отложены четыре вектора а, Ь, с, г1. Вектор е1 имеет длину 1 и образует с некомпланарными векторами а, Ь, с: 1) равные острые углы; 2) равныс тупые углы. Выразить вектор д через векторы а, Ь, с.

Гл. 1. Вектпоры и координаты 3.18. Из одной точки отложены четыре вектора а( — 1,1, — 1), Ь( — 1,1,1), с(5, — 1, — 1) и г1. Вектор е1 имеет длину 1 и образует с векторами а, Ь, с равные острые углы. Вычислить координаты вектора е1. 3.19. Найти смешанное произведение векторов а, Ь, с, заданных своими координатами; 1) а(1,— 1,1), Ь(7,3,— 5), с(-2,2,-2); 2) а(3,5,1), Ь(4,0,— 1), с(2,1,1); 3) а(2,1,0), Ь(3,4,-1), с(-1,-3,1); 4) а(1, 2, 3), Ь(5, — 2, 1), с(2, 1, 2). 3.20.

Проверить, компланарны ли векторы, заданные своими координатами в произвольном базисе: 1) а(2,3,5), Ь(7,1,— 1), с(3,— 5,— 11): 2) а(2,0,1), Ь(5,3,— 3), с(3,3,10). 3.21. Векторы а, Ь, с некомпланарны. При каких значениях скаляра Л компланарны векторы а+ 2Ь+Лс, 4а+5Ь+бе, 7а+ 8Ь+ Л2с? 3.22. Три некомпланарных вектора а, Ь, с отложены из одной точки. Найти: 1) обьсм треугольной призмы, основание которой построено на векторах а и Ь, а боковое ребро совпадает с вектором с; 2) объем тетраэдра, построенного на векторах а, Ь, с.

Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →