Доказать что произведение двух четных функций есть четная функция

Произведение двух четных функций есть четная функция».

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет для меня большой самостоятельный интерес.

Но материал, связанный с изучением функций и построением их графиков в основной школе изучается недостаточно полно с точки зрения требований, предъявленных на экзаменах. Поэтому задачи на построение графиков функций, с использованием их свойств, не редко вызывают затруднение у нас и требуют подробного рассмотрения.

Своё исследование я решила начать с вопроса: как чётность функций влияет на построение графиков функций, содержащих произведение функций, разность, частное, функции (или аргумент) под знаком модуля.

Возникла проблема в более детальном рассмотрении сложных функций, содержащих, в частности, произведение нескольких функций, чётность которых известна.

В связи с этим мною была выдвинута гипотеза: «произведение двух четных функций есть четная функция».

Поэтому объектом моего исследования является алгебра, а

предметом исследования – чётность функций, графики чётных функций.

Ставлю следующие цели и задачи:

1. Показать организацию учебной исследовательской работы по алгебре и обсудить целесообразность ее использования для развития моей личности, в частности, для развития моего исследовательского типа мышления.

2. Систематизировать и расширить знания по теме «Функции и их графики»:

а) изучить поведение графиков различных функций в зависимости от их свойств;

б) научиться выполнять различные преобразования графиков функций.

3. Составить коллекцию графиков функций и с ней познакомить желающих.

Для проверки гипотезы мною был собран «первичный фонд информации» в виде конкретных примеров известных мне функций.

Модель позволяет обобщить задачу и перейти от исследования конкретных, «живых» математических объектов к общей математической ее постановке.

На этапе применения я синтезирую новые задачи, в которых будет востребован данный материал, таким образом, присваивая его как инструмент для дальнейшего изучения математики.

Источник

Исследовательская работа по теме: «Четность произведения двух функций»

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №129

Советского района Волгограда

Исследовательская работа по теме:

«Четность произведения двух функций»

обучающиеся 8 «Б» класса

Иванас Ирина Анатольевна,

Глава 1. Теоретическая подготовка и сбор материала исследования. 5

Сбор первичного фонда информации. 5

Классификация фонда. 5

Составление модели для исследования. 6

Сбор дополнительного фонда для того, чтобы можно было

исследовать все виды моделей. 6

Глава 2. Исследование собранного материала. 7

2.1. Исследование полученных моделей на четность

(по выбранному вопросу). 7

Глава 3. Гипотеза и ее проверка на практических примерах. 8

3.1. Формулировка гипотезы. 8

3.2. Проверка гипотезы на дополнительном фонде. 8

Глава 4. Обобщенная формулировка гипотезы и её теоретическое обоснование. 9

4.1. Формулировка гипотезы в виде теорем (если…, то…). 9

4.2. Доказательство теоремы в общем виде. 9

Список литературы 12

Проблема. Четность произведения двух функций.

изучение алгоритма определения четности произведения двух функций;

содействие углублению теоретического материала;

развитие познавательного интереса, расширение представления о свойствах произведения двух функций;

развитие умения осуществлять самостоятельный поиск информации, анализировать и обобщать её.

расширить знания программного материала о четности функции;

продолжить формирование умения исследовать функцию на четность с помощью определения;

формировать культуру построения графиков функций, культуру формулирования новой гипотезы и её доказательства;

развивать способность к исследовательской и проектной деятельности;

повысить информационную и коммуникативную компетентность.

расширение знаний о четности функции, четности произведения двух функций;

развитие средствами составления гипотез и их доказательства своих индивидуальных способностей и своего саморазвития;

умение использовать новую информацию и дополнительную литературу, выполнять анализ полученного материала и синтезировать его в доказательстве гипотезы.

Объектная область : математика.

Объект исследования: функции.

Предмет исследования : четность функции.

метод визуализации данных.

Новизна и практическое значение:

Изучая свойства элементарных функций (линейная, квадратичная, степень с натуральным показателем, обратная пропорциональность, модуль), мы узнали, как исследовать функцию на четность по определению. Изучаемые в школьной программе функции были исследованы нами на четность. В данной работе с помощью теоретического материала и графиков функций исследована четность произведения двух функций, что способствует углублению знаний и расширению кругозора.

Глава 1. Теоретическая подготовка и сбор материала исследования.

Изучая теоретический материал по теме «Функции и их свойства мы

познакомились со свойством четности.

По определению, которое мы нашли в дополнительной литературе,

четной называется функция f(x), обладающая следующими свойствами:

1). Область определения функции (D(f)) симметрична относительно начала отсчета;

Сбор первичного фонда информации.

Из собственного опыта мы собрали копилку конкретных примеров функций, известных из курса алгебры:
y=5x; y=-7x+5; y=x 2 ; y=x 3 ; y=x 4 ; y=x 5 ; y=|x|; y=3/x; y=5; y=x; y=5x 2 +2x-3

На этом этапе мы провели классификацию собранного фонда функций по четности.

Составление модели для исследования.

Для четности произведения двух функций, четность которых известна, возможны варианты:

Ч Ч;

Ч Н;

Н Н.

Сбор дополнительного фонда для того, чтобы можно было исследовать все виды моделей.

у=5х x 3

у= х 5 3/x

у=х x 3

Глава 2. Исследование собранного материала.

2.1. Исследование полученных моделей на четность (по выбранному вопросу).

2). z (- x ) = (- x ) 2 (- x ) 4 =(- x ) 6 = x 6 = z ( x )

2). f (- x ) = (- x ) (- x ) 3 =(- x ) 4 = x 4 = f ( x )

Глава 3. Гипотеза и ее проверка на практических примерах.

3.1. Формулировка гипотезы.

В первом случае: Ч Ч=Ч (произведение двух четных функций есть четная функция).

Во втором случае: Ч Н=Н (произведение четной функции на нечетную функцию есть нечетная функция).

В третьем случае: Н Н=Ч (произведение двух нечетных функций есть четная функция).

3.2. Проверка гипотезы на дополнительном фонде.

2). у(х)=|x| 3/x

2). у(-x) =|-x| 3/(-x)=-|x| 3/x=- у(x)

3). у(х)= х 5 3/x

2). у(-x) =(-x) 5 3/(-x) =x 5 3/x= у(x)

Глава 4. Обобщенная формулировка гипотезы и её теоретическое обоснование.

4.1. Формулировка гипотезы в виде теорем (если…, то…).

1). Если перемножить две четные функции, то в результате получится четная функция.

2). Если перемножить четную и нечетную функции, то в результате получится нечетная функция.

3). Если перемножить две нечетные функции, то в результате получится четная функция.

4.2. Доказательство теоремы в общем виде.

1). Если перемножить две четные функции, то в результате получится четная функция.

2). Если перемножить четную и нечетную функции, то в результате получится нечетная функция.

3). Если перемножить две нечетные функции, то в результате получится четная функция.

Изучив теоретический материал, рассмотрев свойство четности элементарных функций, мы исследовали четность произведения двух функций, четность которых была нам уже известна. Работая над этой темой мы выяснили, что произведение двух четных функций и двух нечетных функций есть четная функция, а произведение четной функции и нечетной функции есть нечетная функция.

При помощи определения четности функции нам удалось провести исследование частных примеров, затем проверить и доказать гипотезу четности и нечетности произведения двух функций.

Изучение данной проблемы помогло нам выбрать дальнейший путь исследований.

Нами были определены следующие направления работы:

увеличить фонд за счет добавления более сложных функций. Здесь можно доказать теорему о том, что произведение любого количества четных функций есть функция четная (Ч Ч Ч … Ч=Ч);

рассмотреть частные случаи (отыскание возможных следствий из доказанной теоремы);

составить и проверить обратные утверждения.

Полученные знания и умения сбора и анализа материала, составления гипотезы и доказательства её помогут нам провести исследование по выбранному направлению.

Источник

Четные и нечетные функции

График четной функции симметричен относительно оси \(y\) :

График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

\(\blacktriangleright\) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

\(\blacktriangleright\) Некоторые свойства:

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций — четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.

Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной \(T\) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:

При каких значениях параметра \(a\) уравнение

имеет единственное решение?

\[2\cdot 0+a\mathrm\,(\cos 0)+a^2=0 \quad \Rightarrow \quad a^2+a\mathrm\,1=0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin\begin &a=0\\ &a=-\mathrm\,1 \end \end\right.\]

симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)

\(\dfrac n2, n\in\mathbb\)

(Задача от подписчиков)

имеет хотя бы один корень.

(Задача от подписчиков)

имеет шесть различных решений.

Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.

1) Чтобы уравнение \((*)\) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: \[D=a^2-16a+52>0\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\]

2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как \(t>0\) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: \[\begin 12-a>0\\-(a-10)>0\end\quad\Leftrightarrow\quad a

Источник

Общие сведения

Исследование функции на четность и нечетность — базовый элемент, показывающий ее поведение, которое зависит от значения аргумента. Последний является независимой переменной, соответствующей определенным допустимым значениям. Множество чисел, которое может принимать неизвестная независимого типа, называется областью определения. Областью значений функции вида y = f (x) являются все значения зависимой переменной «y».

Теперь следует сформулировать список базовых знаний, которые необходимы для анализа выражений на четность. Если нужно выполнить другие процедуры исследования, то его следует расширить. Например, для нахождения максимума следует ознакомиться с производной. Необходимый минимум знаний о функциях следующий:

Первый элемент необходим для выявления аргумента, при котором можно узнать его недопустимые значения, а также определить симметричность. От свойств и вида также зависит четность. Первое рекомендуется применять в частных случаях, например, произведение двух нечетных тождеств. Результат следует проверять при помощи соответствующего программного обеспечения. Например, онлайн-калькулятор четности и нечетности функций позволяет следить за правильностью решения.

Область определения

Первый элемент, который нужен для анализа, следует рассмотреть подробнее. Область определения функции z = g (y) специалисты рекомендуют обозначать литерой «D». Полная запись выглядит таким образом: D (z). Кроме того, следует выяснить симметричность множества. Под последним понимается некоторый интервал, который нужно найти.

D (z) записывается в виде множества. Например, D (z) = [1;8]. Запись значит ограниченность аргумента, принимающего значения от 1 включительно до 8 включительно, то есть следующие цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Если указана запись в виде (1;4), то ее нужно трактовать таким образом: от 1 не включительно до 4 не включительно, то есть в интервал входят только числа 2 и 3.

Для определения величины D (z) необходимо решить неравенство, корнем которого являются все значения аргумента. Для этих целей можно использовать и специализированное программное обеспечение. Математики рекомендуют свести пользование решебниками и программами к минимуму, поскольку не всегда предоставится возможность воспользоваться ими на экзаменах или контрольных.

Основные виды

Исследование функции зависит от ее вида, который нужно правильно определять. Для начала следует обозначить сложность, поскольку от этого параметра зависят дальнейшие действия и свойства, которыми придется руководствоваться. Математики производят разделение таким образом:

Алгебраические делятся на рациональные (без корня) и иррациональные (наличие радикала). Первые состоят из целых и дробных. D (z) для этих типов — все множество действительных чисел. Если функция представлена в виде обыкновенной дроби, то значение аргумента, приводящее к пустому множеству (знаменатель равен нулю), нужно исключить. Когда аргумент находится под знаком радикала (корня), тогда она считается иррациональной. Однако следует проверить, чтобы под корнем четной степени не было отрицательного значения, которое приводит к неопределенности.

Все функции, содержащие sin, cos, tg и ctg, являются тригонометрическими. Кроме того, arcsin, arccos, arctg и arcctg — обратные тригонометрические. Трансцендентные можно разделить на такие три группы: показательные, степенные и логарифмические.

Второе отличается от первого формулой. Другой тип классификации основан на периодичности. В зависимость от этого параметра все функции делятся на периодические и непериодические. Параметр периодичности означает повторение ее поведения через определенный период Т.

Существует еще один критерий. Он называется монотонностью. В зависимости от него, функции бывают монотонными и немонотонными. Первая группа характеризуется постоянностью, то есть она либо убывает, либо возрастает. Все остальные могут убывать и возрастать на определенных промежутках. Примером является y = cos (x), поскольку она является убывающей и возрастающей через определенный период.

Правила для выявления

Для того чтобы исследовать на четность, существует два правила или теоремы, которые записываются в виде двух формул. Четная — функция вида w (x), для которой справедливо такое равенство: w (-x) = w (x). Для нечетной соотношение немного другое: w (-x) = w (x). Однако бывают выражения, к которым не применимы эти тождества. Они принадлежат общему виду.

Для оптимизации решения специалисты рекомендуют использовать некоторую последовательность действий или специальный алгоритм. Он позволяет определить четность за минимальный промежуток времени и без ошибок. Необходимо обратить внимание на пункты или шаги, по которым выполняется подробная оценка:

Следствия из утверждений

Свойства или следствия из утверждений расчетов позволяют оптимизировать процесс решения, поскольку нет необходимости выполнять какие-либо действия. Очень часто приходится тратить много времени на задание, которое можно решить за несколько минут. Математики выделяют следующие свойства для таких функций:

Второе свойство можно записать математически таким образом: z (x) = y (x) + w (x). Выражение y (x) можно выразить следующим образом: y (x) = [z (x) — z (-x)] /2. Тождество w (x) выражается через z (x) формулой: w (x) = [z (x) + z (-x)] /2.

Классификация по четности

Специалисты давно уже исследовали некоторые функции. Примеры четных и нечетных можно классифицировать по признаку четности. Эти данные значительно ускоряют процесс анализа любого выражения. К нечетным функциям относятся следующие (следует учитывать, что аргумент «x» принадлежит множеству действительных чисел Z):

Кроме того, существуют еще составные выражения, элементами которых являются простые функции. Для анализа необходимо руководствоваться свойствами. Следующий класс, который объединяет все четные выражения, состоит из следующего перечня:

Остальные составляют класс общего вида, который не принадлежит к четным и нечетным. При решении задач необходимо иметь таблицу всех функций, которая должна быть составлена перед обучением. Следует учитывать, что на экзаменах и контрольных функции, используемые для описания каких-либо процессов, практически не исследуются. Зная алгоритм, не составит особого труда проверить выражение на четность. Следующим этапом, который поможет закрепить теоретические знания, считается практика.

Пример решения

Задачи исследования функции на четность встречаются редко, поскольку этот элемент входит в полный анализ ее поведения. Пусть дано тождество z (y) = (y 2 — y — 2) / (y 2 — 1). В этом случае следует действовать по алгоритму:

Задачу можно решить вторым способом — проанализировать составляющие элементы. Например, знаменатель всегда будет нечетным, поскольку от четного y 2 отнимается нечетное число (6 — 1 = 5). Этот способ используется в некоторых языках программирования, для написания подпрограмм и процедур, позволяющих проверить или отобрать все нечетные значения. Числитель также является нечетным, поскольку он содержит нечетный элемент «y». Если построить график, используя любой из веб-ресурсов, то он окажется симметричным относительно начала координат.

Первое свойство свидетельствует о том, что функция является нечетной. Некоторые новички делают распространенную ошибку, считая, что отношение нечетных есть величина четная. Однако такое утверждение не применимо в этом случае. Если бы было произведение двух нечетных выражений, то результат являлся бы четным. Об этой особенности свидетельствует свойство под номером 4.

Таким образом, для исследования функции на предмет ее четности или нечетности нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который рекомендуют математики. Он позволит выполнить операцию без ошибок и за короткий промежуток времени.

Источник

Урок-исследование по алгебре «Четность произведения двух функций», 9 класс

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение городского округа Тольятти «Гимназия № 48 имени Героя России О.Н. Долгова» (МБУ «Гимназия № 48»)

Четность произведения двух функций, четность каждой из которых известна.

(Урок-исследование по алгебре в 9 классе)

Тема: «Четность произведения двух функций, четность каждой из которых известна»

Цель: развитие личности ученика, в частности развитие умений

• сравнивать по отдельным параметрам,

• сопоставлять и анализировать,

Тип урока: изучение нового материала

Форма работы: урок-исследование

Вид деятельности на уроке: групповая работа в исследовательском режиме

Собрать первичный фонд информации;

Составить модели для исследования;

Собрать дополнительный фонд для того, чтобы можно было исследовать все виды моделей;

Проверить гипотезу на дополнительном фонде;

Выбрать дальнейший путь исследований;

Применить новую модель;

Представить результаты исследования.

Деятельность учащегося на уроке:

договаривался, кто, что, когда будет делать – планировал работу;

совместно с группой вспоминал все функции, которые он знает;

разбивал функции на группы;

спорил, доказывая, что одна функция – чётная, а другая – нечётная;

придумывал дополнительный фонд;

объяснял, спрашивал, пытался понять, писал, чертил,…

Собрать первичный фонд информации

y = 2x;
y = –2x + 5;
y = /x/;
y = ;
y = x;
y = 5x 2 + 2x – 3;
y = 5;
y = x 2 ;
у = х 4 ;
у = х 3 ;

Функция не является ни чётной, ни нечётной

у = х 2
у = х 4
у = /х/
у = 5

у = 2х
у = х 3
у = х 5
у =
у = х

у =
у = –2х + 5
у = 5х 2 + 2х–3

Составить модели для исследования

Для чётности возможны варианты:

Собрать дополнительный фонд для того, чтобы можно было исследовать все виды моделей

у = х 2 . х 4 ;
у = х 2 . 2х;
у = х 2 . /х/;
у = х 4 . х 3 ;
у = х 4 . /х/;

Исследовать полученные модели на чётность

у = х 2 – чётная;
y = х 4 – чётная;
Проверить на чётность функцию
g = х 2 . х 4

В данном случае Ч . Ч = Ч

Проверить гипотезу на дополнительном фонде

Выбрать дальнейший путь исследований

Возможны следующие направления работы по группам:

Увеличить фонд за счёт добавления более сложных функций. Здесь можно доказать теорему о том, что произведение любого количества чётных функций есть функция чётная (Ч . Ч . Ч… . Ч = Ч);

Рассмотреть частные случаи;

Составить и проверить обратные утверждения;

Применить новую модель

Определить чётность функции у = х 2 . /х/ . (х 4 –3) . (х 124 + 715) . 33333;

Представить результаты исследования

Представление результатов проводится в виде мини-конференциии, где поочерёдно выступают представители каждой группы. Группы оформляют отчёты по исследовательской работе, которые вывешиваются в классе. В дальнейшем они используется в учебном процессе.
Таким образом, можно утверждать, что детская исследовательская работа строится по законам настоящей исследовательской научной работы.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДВ-265070

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

В России планируют создавать пространства для подростков

Время чтения: 2 минуты

ДНР полностью перешла на стандарты и программы России в образовании

Время чтения: 1 минута

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Трехлетнюю олимпиаду среди школ запустят в России в 2022 году

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

К 2024 году в каждой российской школе должен появиться спортивный клуб

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник