Доказать что произведение двух нечетных функций есть функция четная

Четные и нечетные функции

График четной функции симметричен относительно оси \(y\) :

График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

\(\blacktriangleright\) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

\(\blacktriangleright\) Некоторые свойства:

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций — четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.

Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной \(T\) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:

При каких значениях параметра \(a\) уравнение

имеет единственное решение?

\[2\cdot 0+a\mathrm\,(\cos 0)+a^2=0 \quad \Rightarrow \quad a^2+a\mathrm\,1=0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin\begin &a=0\\ &a=-\mathrm\,1 \end \end\right.\]

симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)

\(\dfrac n2, n\in\mathbb\)

(Задача от подписчиков)

имеет хотя бы один корень.

(Задача от подписчиков)

имеет шесть различных решений.

Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.

1) Чтобы уравнение \((*)\) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: \[D=a^2-16a+52>0\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\]

2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как \(t>0\) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: \[\begin 12-a>0\\-(a-10)>0\end\quad\Leftrightarrow\quad a

Источник

Исследовательская работа по теме: «Четность произведения двух функций»

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №129

Советского района Волгограда

Исследовательская работа по теме:

«Четность произведения двух функций»

обучающиеся 8 «Б» класса

Иванас Ирина Анатольевна,

Глава 1. Теоретическая подготовка и сбор материала исследования. 5

Сбор первичного фонда информации. 5

Классификация фонда. 5

Составление модели для исследования. 6

Сбор дополнительного фонда для того, чтобы можно было

исследовать все виды моделей. 6

Глава 2. Исследование собранного материала. 7

2.1. Исследование полученных моделей на четность

(по выбранному вопросу). 7

Глава 3. Гипотеза и ее проверка на практических примерах. 8

3.1. Формулировка гипотезы. 8

3.2. Проверка гипотезы на дополнительном фонде. 8

Глава 4. Обобщенная формулировка гипотезы и её теоретическое обоснование. 9

4.1. Формулировка гипотезы в виде теорем (если…, то…). 9

4.2. Доказательство теоремы в общем виде. 9

Список литературы 12

Проблема. Четность произведения двух функций.

изучение алгоритма определения четности произведения двух функций;

содействие углублению теоретического материала;

развитие познавательного интереса, расширение представления о свойствах произведения двух функций;

развитие умения осуществлять самостоятельный поиск информации, анализировать и обобщать её.

расширить знания программного материала о четности функции;

продолжить формирование умения исследовать функцию на четность с помощью определения;

формировать культуру построения графиков функций, культуру формулирования новой гипотезы и её доказательства;

развивать способность к исследовательской и проектной деятельности;

повысить информационную и коммуникативную компетентность.

расширение знаний о четности функции, четности произведения двух функций;

развитие средствами составления гипотез и их доказательства своих индивидуальных способностей и своего саморазвития;

умение использовать новую информацию и дополнительную литературу, выполнять анализ полученного материала и синтезировать его в доказательстве гипотезы.

Объектная область : математика.

Объект исследования: функции.

Предмет исследования : четность функции.

метод визуализации данных.

Новизна и практическое значение:

Изучая свойства элементарных функций (линейная, квадратичная, степень с натуральным показателем, обратная пропорциональность, модуль), мы узнали, как исследовать функцию на четность по определению. Изучаемые в школьной программе функции были исследованы нами на четность. В данной работе с помощью теоретического материала и графиков функций исследована четность произведения двух функций, что способствует углублению знаний и расширению кругозора.

Глава 1. Теоретическая подготовка и сбор материала исследования.

Изучая теоретический материал по теме «Функции и их свойства мы

познакомились со свойством четности.

По определению, которое мы нашли в дополнительной литературе,

четной называется функция f(x), обладающая следующими свойствами:

1). Область определения функции (D(f)) симметрична относительно начала отсчета;

Сбор первичного фонда информации.

Из собственного опыта мы собрали копилку конкретных примеров функций, известных из курса алгебры:
y=5x; y=-7x+5; y=x 2 ; y=x 3 ; y=x 4 ; y=x 5 ; y=|x|; y=3/x; y=5; y=x; y=5x 2 +2x-3

На этом этапе мы провели классификацию собранного фонда функций по четности.

Составление модели для исследования.

Для четности произведения двух функций, четность которых известна, возможны варианты:

Ч Ч;

Ч Н;

Н Н.

Сбор дополнительного фонда для того, чтобы можно было исследовать все виды моделей.

у=5х x 3

у= х 5 3/x

у=х x 3

Глава 2. Исследование собранного материала.

2.1. Исследование полученных моделей на четность (по выбранному вопросу).

2). z (- x ) = (- x ) 2 (- x ) 4 =(- x ) 6 = x 6 = z ( x )

2). f (- x ) = (- x ) (- x ) 3 =(- x ) 4 = x 4 = f ( x )

Глава 3. Гипотеза и ее проверка на практических примерах.

3.1. Формулировка гипотезы.

В первом случае: Ч Ч=Ч (произведение двух четных функций есть четная функция).

Во втором случае: Ч Н=Н (произведение четной функции на нечетную функцию есть нечетная функция).

В третьем случае: Н Н=Ч (произведение двух нечетных функций есть четная функция).

3.2. Проверка гипотезы на дополнительном фонде.

2). у(х)=|x| 3/x

2). у(-x) =|-x| 3/(-x)=-|x| 3/x=- у(x)

3). у(х)= х 5 3/x

2). у(-x) =(-x) 5 3/(-x) =x 5 3/x= у(x)

Глава 4. Обобщенная формулировка гипотезы и её теоретическое обоснование.

4.1. Формулировка гипотезы в виде теорем (если…, то…).

1). Если перемножить две четные функции, то в результате получится четная функция.

2). Если перемножить четную и нечетную функции, то в результате получится нечетная функция.

3). Если перемножить две нечетные функции, то в результате получится четная функция.

4.2. Доказательство теоремы в общем виде.

1). Если перемножить две четные функции, то в результате получится четная функция.

2). Если перемножить четную и нечетную функции, то в результате получится нечетная функция.

3). Если перемножить две нечетные функции, то в результате получится четная функция.

Изучив теоретический материал, рассмотрев свойство четности элементарных функций, мы исследовали четность произведения двух функций, четность которых была нам уже известна. Работая над этой темой мы выяснили, что произведение двух четных функций и двух нечетных функций есть четная функция, а произведение четной функции и нечетной функции есть нечетная функция.

При помощи определения четности функции нам удалось провести исследование частных примеров, затем проверить и доказать гипотезу четности и нечетности произведения двух функций.

Изучение данной проблемы помогло нам выбрать дальнейший путь исследований.

Нами были определены следующие направления работы:

увеличить фонд за счет добавления более сложных функций. Здесь можно доказать теорему о том, что произведение любого количества четных функций есть функция четная (Ч Ч Ч … Ч=Ч);

рассмотреть частные случаи (отыскание возможных следствий из доказанной теоремы);

составить и проверить обратные утверждения.

Полученные знания и умения сбора и анализа материала, составления гипотезы и доказательства её помогут нам провести исследование по выбранному направлению.

Источник