Доказать что прямая ав перпендикулярна плоскости амс

Урок геометрии по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Цели:

План:

Ход урока

I. Теоретический опрос (4 ученика у доски)

1) доказать лемму о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к третьей;
2) доказать теорему о 2-ух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости;
3) доказать обратную теорему о параллельности 2-ух прямых, перпендикулярных к плоскости;
4) доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Пока ученики готовятся у доски к ответу, с классом проводится фронтальный опрос.
(С помощью мультимедиапроектора на экране появляются вопросы (Приложение 1), и ученики отвечают на них)

1. Закончить предложение:

а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… (угол между ними равен 90°)
б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… (она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)
в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… (параллельны)
г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… (перпендикулярна и к другой прямой)
д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… (параллельны)

2. Дан параллелепипед

б) Определите взаимное расположение:
1) прямой CC₁ и плоскости (DСВ) (ответ: они перпендикулярны)
2) прямой D₁C₁ и плоскости (DCB) (ответ: они параллельны)

Далее выслушиваются ответы учеников у доски с дополнениями и исправлениями по необходимости. Затем рассматриваются презентации по данной теме, подготовленные рядом учеников в качестве зачётных работ (Приложение 2, Приложение 3, Приложение 4).
(Накануне изучения каждой темы учащимся предлагается такой вариант зачёта)

II. Решение задач.

1. Решение задач по готовым чертежам (Устно)

Дано: АВСD – прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ BC
Доказать: AD ⊥ AM
Доказательство:
1) ∠ABC = 90°, т.к. АВСD – прямоугольник ⇒ BC ⊥ AB, BS ⊥ MB по условию, MB ⋂ AB = B, т.е. МВ и АВ лежат в плоскости (АМВ) ⇒ BC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2) BC ∥ AD (по свойству сторон прямоугольника) ⇒ AD ⊥ (AMB) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
3) Т.к. AD ⊥ (AMB) ⇒ AD ⊥ AM по определению прямой, перпендикулярной плоскости.
Ч.т.д.

(Устные ответы к каждой задаче требуется обосновывать, проговаривая всякий раз формулировки применяемых теорем)

2. Решение письменных задач

Класс делится на три группы (например, по рядам), и каждой группе даётся задача с последующей проверкой решения у доски.

№1.2 (№125 учебника)

Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках P₁ и Q₁. Найдите P₁Q₁, если PQ = 15 cм; PP₁ = 21,5 cм; QQ₁ = 33,5 cм.
Решение:

Отрезок МН пересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ.
Решение:

1) Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости α, то МЕ ∥ НР (обосновать) и через них проходит некоторая плоскость β. α ⋂ β = EP;
2)МЕ ⊥ EP; НР ⊥ EP(обосновать), т.е. ∠MEK = ∠HPK = 90°;

3) ∆ HPK: KP =

= 3 см;

4) ∠EMK = ∠PHK (накрест лежащие для параллельных прямых МЕ и НР и секущей МН),

тогда ∆ MEK ∆ HPK по двум углам и

; т.е.

⇒ EK =

= 9 см,

РЕ = РК + КЕ, РЕ = 3 + 9 = 12 см.

3. Самостоятельная работа (направлена на проверку усвоения материала по данной теме)

1) AA₁ ⊥ AB, AA₁ ⊥ AD, а AB ⋂ AD = A ⇒ AA₁ ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. AA₁ ∥ BB₁, то BB₁ ⊥ (ABC) ⇒ BB₁ ⊥ BD;
2) ∆ ABD: ∠BAD = 90°. По теореме Пифагора:

BD =

= 20 см;

3) ∆ B₁BD – прямоугольный. По теореме Пифагора:

B1B =

= 15 см.

1) BB₁ ⊥ AB, BB₁ ⊥ BC, а AB ⋂ BC = B ⇒ BB₁ ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. BB₁ ∥ AA₁, то AA₁ ⊥ (ABC) ⇒ AA₁ ⊥ AC;
2) Используя свойство диагоналей ромба, имеем в ∆ AOB: ∠AOB = 90°, BO = ½ BD = 8 см. По теореме Пифагора:

AO =

= 6 см,

AO = ½ AC ⇒ AC = 12 см;
3) ∆ A₁AC – прямоугольный. По теореме Пифагора:

AA1 =

= 5 см.

Индивидуальное задание для более сильных учеников. (Вариант III)

1) Т.к. CD ⊥ (FDC) ⇒ CD ⊥ AC и CD ⊥ BC, т.е. ∆ ADC, ∆ BDC – прямоугольные;
2) ∆ ADC = ∆ BDC (по двум катетам) ⇒ AD = BD, т.е. ∆ ADB – равнобедренный и DM – медиана, а значит и высота; 3) DC ⊥ MC ⇒ MCD – прямоугольный,

тогда MC =

= 9;

4) ∆ ABC – равносторонний, поэтому СМ – медиана и высота, т.е. ∆ MCB – прямоугольный, ∠B = 60°,

sin ∠B =

, тогда

,

а АВ = ВС (по условию).
5) S_{∆ ADB} = ½ DM ∙ AB;

S∆ ADB = ½ ∙ 15 ∙

.

Ответ:

III. Подводятся итоги урока. Задание на дом: повторить теоретический материал по изученной теме, глава II, №130, №131.

Для подготовки к уроку использовались материалы учебника «Геометрия – 10-11» авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова и др., методические рекомендации к учебнику «Изучение геометрии в 10-11 классах» авторов С.М. Саакяна, В.Ф. Бутузова, «Поурочные разработки по геометрии» автора В.А. Яровенко.

Источник

1) закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;

2) выработать навыки решения основных типов задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

I. Организационный момент

Сообщить тему и план урока.

II. Актуализация знаний учащихся

1) Теоретический опрос.

Сформулировать и доказать теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости (подготовиться у доски одному из учащихся, затем заслушать его ответ всем классом).

2) Индивидуальные письменные задания:

— доказать теорему о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей (1 ученик);

— доказать теорему, устанавливающую связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости (1 ученик);

— доказать теорему, обратную к теореме, устанавливающей связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости (1 ученик);

— доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости (1 ученик).

3) Самостоятельное решение задач по готовым чертежам с последующей проверкой и обсуждением по необходимости.

Точка М лежит вне плоскости ABC.

1. Рис. 1. Доказать: прямая АС перпендикулярна плоскости АМВ.

Решение к задачам 1-6.

4. Рис. 4. Доказать: ВС ⊥ DE.

AC ⊥ АВ (по условию), AC ⊥ AM (по условию).

(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

MB ⊥ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

MB || DC (по свойству сторон прямоугольника). Следовательно, DC ⊥ (ABC) (по теореме о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости).

ВС ⊥ (АМВ) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

2) BC || AD (по свойству сторон прямоугольника). Следовательно, AD ⊥ (AMB) (по теореме о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости).

3) AD ⊥ AM (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

Значит, CD = BD (по определению медианы).

2) ВС ⊥ (AMD) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

3) ВС ⊥ DE (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

1) AC ∩ BD = О; АО = ОС, ВО = OD (по свойству диагоналей параллелограмма).

Следовательно, МО ⊥ BD.

3) В ΔАМС: МО ⊥ АС (доказывается аналогично п. 2).

4) МО ⊥ (AВС) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Следовательно, МО ⊥ BD.

(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Решение письменно на доске и в тетрадях задачи № 130 (подробное решение в учебнике), № 134 (с помощью учителя), к доске вызвать сильного ученика.

(Прежде чем приступать к решению задачи, повторить понятия: расстояние между двумя точками и расстояние от точки до прямой. Сформулировать определения этих понятий.)

Найти: а) МА, MD, МС; б) ρ (М; АС), ρ (М; BD).

1) АВ = ВС = CD = AD = n (по свойству сторон квадрата).

По теореме Пифагора: Получим,

4) Так как ∠MBA = ∠MBC = 90°, т.

MB ⊥ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Значит, MB ⊥ BD, BD ⊂ (ABC) (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

6) ρ (M; BD) = MB (по определению расстояния от точки до прямой). Значит, ρ (М; BD) = m.

9) МО = ρ (М; АС) (по определению расстояния от точки до прямой). (Ответ: )

(Учитель должен сформулировать идею решения задачи, если это необходимо.)

Дано: (рис. 10).

Доказать: b ⊂ α. (В ходе решения задачи учащимися следует задавать наводящие и уточняющие вопросы.)

Предположим, что b ⊄ α (Что определяют две пересекающиеся прямые?)

По теореме о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, существует плоскость β, проходящая через прямые а и b. (Каково взаимное расположение плоскостей α и β?) Так как (по определению прямой перпендикулярной плоскости). Получим, противоречие. Значит, b ⊂ α.

IV. Подведение итогов

1) Повторить материалы § 1, с. 34-38.

2) Решить задачи: № 129, 136.

Дан ΔABC, АВ = АС = ВС, CD ⊥ (ABC), AM = MB, DM = 15, CD = 12. Найти площадь ΔADB.

Источник

Презентация по геометрии «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Описание презентации по отдельным слайдам:

№3 Точка М лежит вне плоскости АВС ABCD – прямоугольник Доказать: AD AM Решение: Прямая СВ перпендикулярна плоскости АМВ, АD  ВС, откуда прямая АD перпендикулярна плоскости АМВ и AD AM. А М В C D

№3 Точка М лежит вне плоскости АВС А М В C D ABCD – прямоугольник Доказать: AD AM Решение

№4 Точка М лежит вне плоскости АВС Доказать: ВС  DE Указание: Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости AMD А Е М В С D

№7 Прямая а перпендикулярна плоскости АВС а М С А D В Дано:

№8 Прямая а перпендикулярна плоскости АВС Дано: ΔАВС – равносторонний. AB=2√3, MD=4 Найти: МС М а В С D A Ответ: 5

№9 Прямая а перпендикулярна плоскости АВС Дано: ΔАВС – равносторонний. AB=4√3, О – центр окружности, описанной около ΔАВС. MО=3 Найти: МВ А М В С О а Ответ: 5

№10 Прямая а перпендикулярна плоскости АВС Дано: О – центр окружности, описанной около ΔАВС.

№12 Прямая а перпендикулярна плоскости АВС 60 45 А В С D М а Дано: ABCD – прямоугольник. MD=8 Найти: АВ и AD Решение: из треугольника AMD (

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Еженедельная учебно-методическая газета МАТЕМАТИКА, №20, 2004 г Учебник Геометрии 10-11 классы, Атанасян и др.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1216426

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

В России планируют создавать пространства для подростков

Время чтения: 2 минуты

В России предложили учредить День семейного волонтерства

Время чтения: 2 минуты

В России утверждены новые аккредитационные показатели для школ и колледжей

Время чтения: 2 минуты

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти педагоги призеров и победителей олимпиады получат денежные поощрения

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Геометрия. 10 класс

Прямая, перпендикулярная к плоскости

Соберите из тайлов изображение.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Подпишите каждое изображение, в каком доказательстве оно используется?

Перпендикулярность прямой и плоскости

Выберите ребра, перпендикулярные плоскости DCС₁.

Перпендикулярные прямые в пространстве

Закончите предложения, чтобы получилось верное утверждение, установив соответствие между элементами.

Параллельные прямые, перпендикулярные плоскости

Распределите пары «прямая-плоскость» по категориям.

Параллельны

Перпендикулярны

Признак параллельности прямой и плоскости

Подчеркните лишние элементы в решение задачи

Доказать, что прямая АС перпендикулярна плоскости АМВ.

Что и требовалось доказать.

Прямая, перпендикулярная к плоскости

Точки A, М и О лежат на прямой a, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, B, С и D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: АОВ, МОС, DAM, DOA, BMO?

Перпендикулярность прямой и плоскости

Выберите верные утверждения

Прямоугольный параллелепипед

Укажите верные и неверный свойства, которыми обладает прямоугольный параллелепипед. Для каждого утверждения укажите: да или нет

Сумма плоских углов при вершине равна 270°

Все три измерения равны

Все грани – прямоугольники

Диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам

Диагонали перпендикулярны основаниям

Все диагонали равны

Свойства прямоугольника

Прямая РQ параллельна плоскости α. Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р₁ и Q₁. Докажите, что PQ = P₁Q₁.

Выберите элементы, пропущенные в тексте.

Две прямые и перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, эти прямые параллельны между собой. Пусть через них проходит плоскость β. В плоскости β прямые PQ и P₁Q₁ параллельны, так как по условию PQ параллельна α.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Решите задачу. Запишите ответ.

Проведенная к плоскости перпендикулярная прямая пересекает плоскость в точке O.

На прямой отложен отрезок AD, точка O является серединной точкой этого отрезка.

Определи вид и периметр треугольника ABD, если AD = 4 см, а OB = 2 см (ответ округли до одной десятой).

Прямая, перпендикулярная к плоскости

Введите правильные данные в решение задачи.

Плоскости α и β пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям α и β. Прямая a пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС ⊥ a.

Прямая МА плоскости α. Прямая а в плоскости α. Значит, прямая МА перпендикулярна прямой а.

Прямая МB плоскости β. Прямая а лежит в плоскости β. Значит, прямая МB перпендикулярна прямой а.

Прямая а перпендикулярна двум прямым из плоскости АВМ. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости АВМ. Прямая СМ лежит в плоскости АВМ. Значит, прямой МС, что и требовалось доказать.

Источник