Доказать что пустое множество не равно пустому множеству

Введение в теорию множеств

Концепция бесконечности идеологически далека от обычной математической терминологии — ни одна другая тема не выходит за пределы математики так, что превращается из практического, аналитического инструмента в явление мифического порядка. Понятие бесконечности на короткой ноге с такими культурными темами, как религия и философия, и окутана загадочной аурой божественности.

Когда-то давным давно во всех академических дисциплинах было заложено фундаментальное убеждение — существует единственная бесконечность.

Но 1874 году довольно малоизвестный математик провёл серию революционных наблюдений, подвергавших сомнению это всеми принятое и глубоко укоренившееся убеждение. Георг Кантор в своей (теперь уже ставшей легендарной) публикации On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers доказал, что множество вещественных чисел «более многочисленно», чем множество алгебраических чисел. Так он впервые показал, что существуют бесконечные множества разных размеров (не волнуйтесь — для прояснения этого мы вскоре подробно изучим его статью).

«Множество — это большое количество, которое позволяет воспринимать себя как одно» — Георг Кантор

С 1874 по 1897 год Кантор неистово публиковал статью за статьёй, разворачивая свою теорию абстрактных множеств в расцветающую дисциплину. Однако она была встречена упорным сопротивлением и критикой; многие педанты считали, что его теории перешли в область философии и нарушили принцип религии.

Однако когда начали находиться практические применения математического анализа, отношение к теории изменилось, а идеи и результаты Кантора начали получать признание. К первому десятилению 20-го века его наблюдения, теории и публикации достигли своей кульминации — признания современной теории множеств новой, совершенно уникальной областью математики:

Теория множеств — это математическая теория о точно определённых наборах (множествах) отдельных объектов, называемых членами или элементами множества.

Сколько чисел есть между 0 и 1?

Первая публикация Кантора, состоящая из четырёх с половиной страниц, является великолепным примером краткости. Она разделена на два отдельных доказательства, совместно приводящих к выводу о существовании по крайней мере двух уникальных видов множеств.

В первой части теории исследуется множество вещественных алгебраических чисел и доказывается, что это бесконечное счётное множество. Здесь не стоит путать — «счётное» не обязательно значит, что счёт ведётся строго в целых числах; в контексте теории множеств «счётное» означает, что множество, пусть даже состоящее из бесконечного числа элементов, можно описать повторяющимся рядом, например упорядоченной многочленной функцией. Кантор назвал это свойство бесконечного набора чисел соответствия «один к одному» с рядом, наличием взаимно однозначного соответствия.

Если говорить вкратце, то набор, или множество всех вещественных алгебраических чисел можно вывести с помощью какого-то теоретического ряда многочленов с различными степенями и коэффициентами; следовательно, множество всех вещественных алгебраических чисел является бесконечным счётным множеством.

Во второй части труда Кантора анализируется роль вещественных комплексных чисел, также называющихся трансцендентными числами. Транцендентные числа (лучшие примеры которых — это пи и e) имеют любопытное свойство: математически невозможно вывести их с помощью многочленной функции — они не являются алгебраическими. Вне зависимости от величин, количества частей, степеней или коэффициентов, никакой ряд никогда не может посчитать пи в своём наборе бесконечного счётного множества.

Затем Кантор указывает, что в любом замкнутом интервале [a,b] существует хотя бы одно транцендентное число, которое никогда нельзя будет подсчитать в бесконечном счётном множестве. Поскольку одно такое число существует, то предполагается, что в семействе вещественных чисел существует бесконечное количество транцендентных чисел.

Таким образом он доказал очень чёткое различие между множеством непрерывных, идущих потоком несчётных чисел и набора счётных чисел, которые можно представить как ряд, например, всех вещественных алгебраических чисел.

Далее: запись и операции

Первая публикация Кантора завершилась на этом потрясающем подтверждении существования по крайней мере двух разных видов бесконечности. После его первой статьи появился шквал дополнений, медленно, но верно прокладывавших путь к современной теории множеств.

Стоит также поделиться интересным наблюдением: большинство людей, использующих теорию множеств на практике, ценят скорее не эту конкретную теорему, а заданный ею обобщённый язык. Благодаря своей абстрактной природе теория множеств скрытно влияет на множество областей математики. В математическом анализе, который требует дифференциального и интегрального исчисления, необходимо понимание пределов и непрерывности функций, окончательно закреплённых в теории множеств. В алгебре логики логические операции «и», «или» и «не» соответствуют операциям пересечения, объединения и разности в теории множеств. И последнее, но не менее важное — теория множеств закладывает основы топологии — исследования геометрических свойств и пространственных отношений.

Вооружившись базовым пониманием истории множеств и совершив кратковременное погружение в глубины его влияния, мы можем приступать к знакомству с основами системы обозначений теории множеств.

Часть вторая. Краткий обзор операций, обозначений и диаграмм Венна.

Как сказано в предыдущей части, одно из фундаментальных преимуществ теории множеств произрастает не из какой-то конкретной теории, а из созданного ею языка. Именно поэтому основная часть этого раздела будет посвящена обозначениям, операциям и визуальному представлению теории множеств. Давайте начнём с объяснения базовых символов обозначения множества — соответствующих ему элементов. В таблице ниже показан пример одного множества A с тремя элементами:

A — это множество с элементами «1», «2» и «3»

«1» — элемент множества A

В первой строке показано множество A с тремя отдельными элементами (A = ); во второй строке показан правильный способ обозначения отдельного конкретного элемента 1, принадлежащего множеству A. Пока всё довольно просто, но теория множеств становится существенно интереснее, когда мы добавляем второе множество — начинается путешествие по стандартным операциям.

Операции: пересечение (intersection) — множество элементов, принадлежащих множеству A и множеству B;

объединение (union) — множество элементов, принадлежащих множеству A или множеству B;

подмножество (subset) — C является подмножеством A, множество C включено во множество A;

собственное (истинное) подмножество — C является подмножеством A, но C не равно A;

относительное дополнение (relative complement) — множество элементов, принадлежащих к A и не к B.

Вот и они, самые распространённые операции в теории множеств; они довольно популярны и в областях за пределами чистой математики. На самом деле, высока вероятность того, что вы уже видели подобные типы операций в прошлом, хоть и не совсем с такой терминологией, и даже пользовались ими. Хорошая иллюстрация: попросите любого студента описать диаграмму Венна из двух пересекающихся групп, и он интуитивно придёт к правильному результату.

Ещё раз взгляните на последнюю строку, относительное дополнение — какое необычное сочетание слов, правда? Относительное к чему? Если относительное дополнение A — B определяется как A и не B, то как нам обозначить всё, что не является B?

Универсальное множество — пустое множество

Оказывается, если мы хотим получить значимый ответ, то для начала нужно предоставить генеральной совокупности нашей задачи множеств некий контекст. Он часто явным образом задаётся в начале задачи, когда допустимые элементы множества ограничиваются некоторым фиксированным классом объектов, в котором существует универсальное множество, являющееся общим множеством, содержащим все элементы для этой конкретной задачи. Например, если мы хотели бы работать со множествами только из букв английского алфавита, то наше универсальное множество U состояло бы из 26 букв алфавита.

Для любого подмножества A множества U дополнение множества A (обозначаемое A′ или U − A) определяется как множество всех элементов в генеральной совокупности U, которое не находится в A. Если вернуться к поставленному выше вопросу, то дополнением множества B является всё в пределах универсального множества, что не принадлежит B, в том числе и A.

Прежде чем мы двинемся дальше, надо упомянуть ещё одно принципиальное множество, которое достаточно важно для базового понимания: нулевое или пустое множество. Учтите, что существует единственное пустое множество, поэтому никогда не говорят «пустые множества». Хотя мы не будем рассматривать в этой статье эквивалентность, основная теория гласит, что два множества эквивалентны, если они имеют одинаковые элементы; следовательно, может быть только одно множество без элементов. Поэтому существует единственное пустое множество.

Диаграммы Венна и остальное

Диаграммы Венна, официально изобретённые в 1880 году Джоном Венном, являются именно тем, что вы и представляете, хотя их научное определение звучит примерно так:

Схематичное изображение всех возможных отношений нескольких множеств

Ниже показано изображение шести самых распространённых диаграмм Венна, и почти во всех показаны недавно изученные нами операнды:

Объединение (union), пересечение (intersection), относительное дополнение (relative complement), симметрическая разность (symmetric difference), собственное множество (proper subset), абсолютное дополнение (universal дополнение).

Начав с очень простых обозначений множества и его элементов, мы узнали затем о базовых операциях, позволивших нарисовать эту визуальную подсказку. Мы рассмотрели все операции, за исключением симметрической разности (внизу слева). Чтобы не оставлять пробелов в знаниях, скажем, что симметрическая разность, также называемая дизъюнктивным объединением — это просто множество элементов, которые находятся в любом из множеств, но не входят в их пересечение.

Закончим мы этот раздел введением понятия мощности (кардинального числа). Мощность множества, обозначаемая символом абсолютного значения — это просто количество уникальных элементов, содержащихся в определённом множестве. Для показанного выше примера мощность трёх множеств равна: |A| = 3, |B| =6, |C| = 2.

Прежде чем двигаться дальше, дам вам пищу для размышлений — какова связь между мощностью и количеством возможных подмножеств?

Часть 3. Мощность и показательные множества

В предыдущих двух частях мы разобрались с основами теории множеств. В третьей части мы укрепим своё понимание, сосредоточившись на самом важном свойстве любого множества: общем количестве содержащихся в нём уникальных элементов.

Количество уникальных элементов во множестве, также известное как мощность, предоставляет нам фундаментальную опорную точку для дальнейшего, более глубокого анализа этого множества. Во-первых, мощность — это первое из рассматриваемых нами уникальных свойств, позволяющее нам объективно сравнивать различные виды множеств, проверяя, существует ли биекция (это, с небольшими оговорками, просто более изысканный термин для function ) одного множества на другое. Ещё один способ применения мощности, а также тема этой части статьи — мощность позволяет оценить все возможные подмножества, существующие в данном множестве. Что достаточно буквально можно применять в повседневных задачах распределения решений, будь то планирование бюджета на поездку в продуктовый магазин или оптимизация портфеля акций.

Примеры мощности множеств

Например, в таблице выше показаны пять отдельных множеств с их указанной справа мощностью. Как мы уже говорили, символ мощности напоминает символ абсолютного значения — значение, заключённое между двумя вертикальными линиями. Все примеры понятны, за исключением, возможно, последней строки, которая подчёркивает тот факт, что на мощность влияют только уникальные элементы множества.

Помните подмножества из предыдущей части статьи? Оказывается, что мощность некоторого множества A и количество возможных подмножеств множества A имеют удивительную связь. Ниже показано, что количество подмножеств, которые можно составить из некоторого подмножества, увеличивается с порядком мощности на предсказуемую величину:

Количество возможных подмножеств в C= 2 |C|

Давайте подробно рассмотрим показанный ниже пример. Однако для начала поразмыслим над формулой. Представим мощность как общее количество «позиций», которое представляет множество. При создании некоторого подмножества для каждой возможной позиции принимается булево решение (да/нет). Это означает, что каждый уникальный элемент, добавляемый к множеству (то есть увеличивающий мощность на единицу) увеличивает количество возможных подмножеств на множитель два. Если вы программист или учёный, то можете уяснить эту логику немного глубже, если поймёте, что все подмножества множества можно вычислить с помощью таблицы двоичных чисел.

Показательное множество (булеан)

Прежде чем мы вычислим все подмножества для примера множества C, я хотел бы ввести последнее понятие — булеан.

Булеан обозначается заглавной буквой S, за которой в скобках указывается исходное множество S(С). Булеан — это множество всех подмножеств C, включая пустое множество и само множество C. В таблице ниже показан булеан S(С) со всеми перестановками возможных подмножеств для множества C, содержащихся в одном большом множестве.

Для удобства форматирования я убрал запятые между множествами***

Чем может быть полезен булеан? На самом деле, вы скорее всего много раз интуитивно использовали булеаны, даже об этом не догадываясь. Каждый раз, когда вы выбираете подмножество элементов из более крупного множества, вы выбираете элемент булеана. Например ребёнок внимательно изучающий кондитерский магазин с купюрой в 5 долларов — какой элемент булеана множества всех доступных сладостей он выберет? Или если взять более технический пример: вам, как разработчику ПО может потребоваться запросить всех возможных пользователей базы данных, также обладающих свойством X и Y — ещё один случай, в котором одно подмножество выбирается из всех возможных подмножеств.

Эквивалентность и биективная функция

Теперь мы понимаем, что такое мощность множества, почему оно важно, и его связь с булеаном. Поэтому вернёмся ненадолго к тому, что упоминали в самом начале: что конкретно определяет эквивалентность в теории множеств?

Очевидно, что два множества с одинаковой мощностью имеют некое общее свойство, но на этом сходства заканчиваются — что если в одном из множеств есть многократно повторяющийся элемент? Что если два множества имеют одинаковую мощность и количество элементов? Нельзя отрицать, что они в какой-то степени «эквивалентны», но даже в этом случае всё равно есть возможность различий, потому что каждое множество может иметь разные элементы, повторяющиеся одинаковое количество раз. Смысл здесь в том, что концепция эквивалентности в теории множеств немного чужда другим областям математики. Установление эквивалентности в этом мире требует знакомства с этой концепцией и нового языка. В последней части этой статьи мы введём понятие эквивалентности, а также таких базисных свойств, как инъективные, биективные и сюръективные функции.

Часть 4. Функции.

В этой части мы подробнее расскажем о функциях в пределах теории множеств. Как и в случае с предыдущими понятиями, терминология стандартных функций в теории множеств слегка отличается от других областей математики, а потому требует объяснения. Терминологии довольно много, так что давайте сразу приступим к делу! В первой таблице внизу отражены понятия области определения, области значений и значения функции:

Функция в мире теории множеств — это просто соответствие некоторых (или всех) элементов из Множества A некоторым (или всем) элементам Множества B. В показанном выше примере набор всех возможных элементов A называется областью определения; элементы A, используемые в качестве входных значений, в частности называются аргументами. Справа набор всех возможных выходных значений (называющихся в других областях математики «областью значений»), называется кообластью; набор настоящих выходных элементов B, соответствующих A, называется образом.

Пока особо ничего сложного, только новый способ задания параметров функций. Далее мы расскажем о том, как описывать поведения этих функций соответствия при помощи обычных типов функций.

Инъекции, сюръекции и биекции

В теории множеств для классификации соответствия множеств обычно используются три понятия: инъекция, сюръекция и биекция. К сожалению, эти понятия имеют несколько разных названий, усиливающих неразбериху, поэтому мы сначала рассмотрим каждое определение, а затем изучим визуальные примеры. Все три термина описывают способ, которым отображаются аргументы на образы:

Прочитайте заново представленный выше список пунктов. Биекция — это просто функция, удовлетворяющая обоим предыдущим требованиям; то есть, функция инъективна и сюръективна. Инъективная функция не должна быть сюръективной, а сюръективная — инъективной. Ниже показан визуальный пример, в котором эти три классификации привели к созданию функций множеств, определяемых четырьмя возможными комбинациями инъективных и сюръективных свойств:

Биекция (инъекция + сюръекция), инъекция (инъекция + не-сюръекция), сюръекция (не-инъекция + сюръеция), без классификации (не-инъекция + не-сюръекция)

Вот и всё! Теперь мы обладаем элементарным пониманием самых часто встречаемых соотношений, встречающихся в мире множеств. Однако это ни в коем случае не конец нашего пути: напротив, это самое начало.

Фундаментальные основы теории множеств — ключ к пониманию более высокоуровневых областей математики. Чтобы продолжить наше движение вверх, к этим различным областям, далее нужно будет, пользуясь своими знаниями о теории множеств, уяснить одну из самых революционных теорий в истории математики: систему аксиом Цермело-Френкеля.

Источник

Операции с пустым и универсальным множествами

Обозначение

1) Указанием определяющего свойства A =

1) пустое множество, обычно обозначается символом Ø (в нем совсем ничего нет);

2) подмножество (множество, элементы которого являются элементами множества, которому принадлежит подмножество) и надмножество (множество элементов множества, которые не вошли в подмноество);

3) пространство (универсальное множество – множество вообще всевозможных элемнтов);

Мощность множества – количество элементов в множестве.

Принцип включения и исключения

Принципом включения и исключенияназывается формула, позволяющая вычислить мощность объединения множеств, если известны их мощности и мощности всех пересечений.

Рассмотрим частные случаи этой формулы для двух и трех множеств:

Справедливы аналогичные формулы и для пересечения множеств:

2. Операции над множествами.

· пересечение – когда «х» и в одном и в другом множестве

· объединение – когда «х» либо в одном либо в другом множествах

Если множества A и B не пересекаются: , то их объединение обозначают также: .

· разность (дополнение) – когда «х» только в А но не в В

· Декартово или прямое произведение – перемножение всевозможных пар элементов

Покрытие множества – семейство множеств, такое, что их объедение дает исходное множество.

Разбиение множества – представление множества в виде непересекающихся элементов.

Количество разбиений – полиномиальный коэффициент:

ПОЛЕ – множество с двумя внутренними ассоциативными и коммутативными бинарными операциями, связанными законом дистрибутивности. По первой операции есть нейтральный и обратный элементы для каждого. По второй операции – есть нейтральный для каждого кроме нейтрального по первой операции. (пример: Поле действительных чисел с операциями сложения и умножения)

Поле из конечного числа элементы – поле Галуа(французский математик ^_^)

GF(2) – поле из 2 элементов.

3. Универсальное множество.

Универсальное множество — в математике множество, содержащее все мыслимые объекты. Универсальное множество единственно. Обозначается буковкой I.

· Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества:

· Любое множество является подмножеством универсального множества:

· Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.

· В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

· Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.

· В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

· Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.

· В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.

· Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению (всему тому, что не является этим множеством :DD) этого множества.

· Дополнение универсального множества есть пустое множество.

4. Основные тождества алгебры множеств.

Для любых множеств A, B, C справедливы следующие тождества:

Коммутативность.

Ассоциативность.

Дистрибутивность.

а) AÈ (BÇC) = (AÈB) Ç (AÈC) (для объединения относительно пересечения);

Закон де Моргана.

а) = Ç (дополнение к объединению есть пересечение дополнений);

б) = È (дополнение к пересечению есть объединение дополнений).

Поглощение.

Двойное дополнение.

= A.

7. Закон исключенного третьего.

A È = U.

Операции с пустым и универсальным множествами.

а) A È U = U; б) A È Æ = A;

в) A Ç U = A; г) A Ç Æ = Æ;

д) = U; е) = Æ.

5. Декартово произведение множеств.

Декартовым (прямым) произведениеммножеств А и В (обозначение AxB) называется множество всех упорядоченных пар (a, b), таких, что a ∈ A и b ∈ B.

6. Бинарные отношения на множестве.

Бинарным отношением из множества A в множество B называется некоторое подмножество декартового произведения AxB

Отношения в дальнейшем будем обозначать ρ

(читается ρ отношение из A в B)

· Рефлексивное отношение — двухместное отношение R, определённое на некотором множестве и отличаю­щееся тем, что для любого х этого множества элемент х на­ходится в отношении R к самому себе, то есть для любого элемента х этого множества имеет место x R x. Примеры рефлексивных отношений: равенство

· Транзитивное отношение — двухместное отношение R, оп­ределенное на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых х, у, z этого множества из x R y и y R z следует xRz (xRy&yRz xRz). Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше»

7. Основные свойства бинарных отношений: рефлексия, симметричность, транзитивность.

Отношение эквивалентности — бинарное отношение R между предметами х и у, удовлетворяющее следующим свойствам:

1.свойству рефлексии: x R x (предмет находится в отношении R к само­му себе);

Таким образом, отношение типа равенства является одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Пример отношения, которое удовлетворяет свойству (3), но не удовлетворяет свойствам (1) и (2): «больше».

8. Отношение эквивалентности.

) на множестве X — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

a для любого a в X,

2. Симметричность: если a

3. Транзитивность: если a

b» читается как «a эквивалентно b».

9. Отображения множеств.

Если каждому элементу x множества X поставлен в соответствие ровно один элемент ƒ(x) множества Y, то говорят, что задано отображение ƒ из множества X в множество Y.

При этом, если ƒ(x)=y, то элемент y называется образом элемента x при отображении ƒ, а элемент x называется прообразом элемента y при отображении ƒ.

Функция – взаимно-однозначное отображение одного множества на другое.

10. Основные понятия и определения теории графов.

Граф —система, которая интуитивно может быть рассмотрена как множество кружков и множество соединяющих их линий.

Граф, в котором направление линий не выделя­ется (все линии являются ребрами), называется неориентирован­ным;

Граф, в котором направление линий принципиально (линии являются дугами) называется ориентированным.

Смешанный граф — это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые — неориентированными

Для любого графа есть матрица смежности.

Петля – дуга, которая соединяет вершину саму с собой. Петля при подсчете степени вершины берется дважды.

Планарный граф – все точки лежат в одной плоскости.

Раскрашенные графы – вершины при соединении красятся в разные цвета.

ПОЛНЫЙ ГРАФ – такой граф, все вершины которого соединены друг с другом ребрами.

Начало теории графов датируют 1736 г, когда Л. Эйлер решил популярную в то время «задачу о кенигсбергских мостах». Термин «граф» впервые был введен спустя 200 лет (в 1936) Д. Кенигом.

11. Ориентированные и неориентированные графы.

Граф, в котором направление линий не выделя­ется (все линии являются ребрами), называется неориентирован­ным;

Граф, в котором направление линий принципиально (линии являются дугами) называется ориентированным.

Из ориентированного графа сделать неориентированный граф – убрать стрелки

12. Способы задания графов: аналитический, геометрический, матричный. Матрицы смежности и инцидентности графа. Маршруты, циклы и цепи графа.

1. Геометрический способ задания графа– ну, просто нарисовать его таким, какой он есть.

2. Матрицей смежности – берем две вершины. Если между ними есть дуга или ребро – то пишем 1, нет – 0.

Матрицу инцидентности можно построить для ориентированных и неориентированных графов.

Вершина, соединенная с ребром – инцидентна.

Две вершины соединенные ребром – смежные.

Маршрут в графе — это чередующаяся последовательность вершин и рёбер v₀, e₁, v₁, e₂, v₂, …, e_k, v_k, в которой любые два соседних элемента инцидентны. Если v₀ = v_k, то маршрут замкнут, иначе открыт.

Маршрут, в котором ребра не повторяются – цепь (путь). Длина пути для ориентированного графа – количество дуг (ребер).

Цепи, у которых начала и концы совпадают – циклы.

Связный граф – из любой вершины есть маршрут в другую (матрица связности для такого графа состоит из единиц только)

матрица связности – в ней 0 и 1

1 – из одной вершины есть маршрут в другую

Граф Эйлера – в котором существует цикл.

Эйлеров граф – в нем есть маршрут, проходящий через все дуги по одному разу.

15. Высказывания простые и составные.

16. Логические операции. Таблицы истинности.

Логическая операции – конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, следование.

Один из способов задания логической операции – таблицей истинности.

Для каждой парочки 0 и 1 ставится в соответствие 0 или 1, т.о. задается логическая операция.

17. Булевы функции и формулы алгебры высказываний. ДНФ и КНФ.

Булевы функции – любые функции от 0 и 1. всего их 2^

Логическая функция – когда любым двум элементам ставится в соответствие элемент из этого же множества.

Штрих Шеффера (анти конъюнкция). Интересно отметить, что:

Стрелка Пирса (Лукашевича). В действительности:

Дизъюнктиивная нормальная форма (ДНФ)— форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов. Любая булева формула может быть приведена к ДНФ (я бы не рискнул так громко об этом заявлять ахахах). Для этого можно использовать закон двойного отрицания, закон де Моргана, закон дистрибутивности. Дизъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов.

Алгоритм построения КНФ и ДНФ

1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

Также можно использовать следующие свойства:

(X v Y) v Z = X v (Y v Z)

X ^ Y v X ^ Z = X ^ (Y v Z)

XY v X notY = X ^ (Y v notY) = X – минимальная дизъюнктивная нормальная форма.

18. Преобразования формул в СДНФ и СКНФ.

Если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной (например, z), то добавляем в нее выражение: (это не меняет самой дизъюнкции), после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона:

Таким образом, из КНФ получена СКНФ.

Если в какой-то простой конъюнкции недостает переменной, например, Z, вставляем в нее выражение: , после чего раскрываем скобки (при этом повторяющиеся дизъюнктные слагаемые не пишем). Например:

Таким образом, из ДНФ получили СДНФ.

А вообще, еще можно построить по таблице истинности. Для этого берем таблицу истинности.

Смотрим на значения функции. Если хотим строить СНДФ, то смотрим на те, где 1. Строим на значения переменных, при которых получено это значение. Строим конъюнктивная выражение с этими переменными так, чтобы вышла единица. Так делаем со всеми значениями-единицами в табличке. Полученные выражения разделяем дизъюнкцией.

Если хотим строить СКНФ, то смотрим на те, где 0. Строим дизъюнктивные выражения с переменными, при которых получены эти нули и соединяем их конъюнкцией.

19. Многочлены Жегалкина.

Многочлен Жегалкина – многочлен над полем GF(2), в котором в качестве умножения используется конъюнкция, а в качестве сложения – сложение по модулю 2.

Многочлен Жегалкина представляет собой сумму по модулю два произведений неинвертированных переменных, а также (если необходимо) константы 1. Формально многочлен Жегалкина можно представить в виде

Любую булеву функцию можно выразить через многочлен Жегалкина.

На самом деле, вот это вот куда проще, чем он объяснял.

Метод треугольника позволяет преобразовать таблицу истинности в полином Жегалкина путём построения вспомогательной треугольной таблицы в соответствии со следующими правилами:

· Строится полная таблица истинности, в которой строки идут в порядке возрастания двоичных кодов от 000…00 до 111…11. · Строится вспомогательная треугольная таблица, в которой первый столбец совпадает со столбцом значений функции в таблице истинности. · Ячейка в каждом последующем столбце получается путём суммирования по модулю 2 двух ячеек предыдущего столбца — стоящей в той же строке и строкой ниже. · Столбцы вспомогательной таблицы нумеруются двоичными кодами в том же порядке, что и строки таблицы истинности. · Каждому двоичному коду ставится в соответствие один из членов полинома Жегалкина в зависимости от позиций кода, в которых стоят единицы. Например, ячейке 111 соответствует член ABC, ячейке 101 — член AC, ячейке 010 — член B, ячейке 000 — член 1 и т. д. · Если в верхней строке какого-либо столбца стоит единица, то соответствующий член присутствует в полиноме Жегалкина.

20. Основные понятия и определения комбинаторики.

— число перестановок (упорядочивание)

— число перемещений (число размещений)

— число сочетаний (без учета порядка)

— число сочетаний с возвращениями с учетом порядка

— число сочетаний с возвращениями без учета порядка (число сочетаний с повторениями)

21. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Перестановки с повторениями.

– бином Ньютона

— биномиальные коэффициенты.

Свойства биномиальных коэффициентов:

1.Сумма коэффициентов разложения (a + b) n равна 2 n

Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева:

2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.

Это свойство следует из соотношения:

3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна

Рассмотрим n элементов m различных типов, причем в каждом типе все элементы одинаковы. Тогда перестановки из всех этих элементов с точностью до порядка следования однотипных элементов называются перестановками с повторением. Если k_i — количество элементов i-го типа, то k₁ + k₂ + …+ k_m = n и количество всевозможных перестановок с повторениями равно полиномиальному коэффициенту:

22. Связь комбинаторики с элементами теории конечных множеств.

Множество и элемент множества относятся к числу первичных понятий, для которых не существует определений в строгом смысле слова. Поэтому обычно говорят о множестве как о наборе предметов (элементов множества), наделённых определёнными общими свойствами. Множество книг в библиотеке, множество автомобилей на стоянке, множество звёзд на небосводе, растительный и животный мир Земли – всё это примеры множеств.

На практике часто приходится выбирать из некоторого множества объектов подмножества элементов, обладающих теми или иными свойствами, располагать элементы одного или нескольких множеств в определенном порядке и т. д. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют «комбинаторные задачи«.

Комбинаторика занимается различного рода соединениями, которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества.

23. Основные понятия и определения теории кодирования.

зд. Информация – жизненно важные изменения окружающей среды, на которые мы реагируем.

Информация измеряется в битах.

Речь – способ передачи информации у людей.

зд. Речь – универсальная система кодирования информации. Передать знания

Универсальный способ представления информации – письменность.

Любая последовательность символов в теории кодирования – слово: a_i1, a_i2, a_ik

КОДИРОВАНИЕ – иное представление информации (

к слову одного алфавита ставить взаимно-однозначно слово из другого алфавита). Каждый символ исходного алфавита заменяется не обязательно на один символ, но и может на целое слово.

24. Кодирование и декодирование.

Кодирование – перевод информации, представленной посредством первичного алфавита, в последовательность кодов.

Операции кодирования и декодирования называются обратимыми, если их последовательное применение обеспечивает возврат к исходной информации без каких-либо ее потерь.

+ Красиво рассказать про шифр Цезаря и достаточно.

25. Алфавитное кодирование.

Пусть есть два каких-то алфавита:

суть алфавитного кодирования в том, что каждому символу алфавита А ставится в соответствие символ алфавита В.

Префикс – первая часть слова

Суффикс – вторая часть слова.

26. Проблема взаимной однозначности алфавитного кодирования.

Слово «небо» = «-..—…—» Неоднозначное кодирование. Потому что при декодировании будут проблемы с различимостью символов. Чтобы такой проблемы избежать надо во второй алфавит добавить еще один символ, который будет суффиксом каждого кода. Например, пробел – «_» (дописать его к каждому коду в таблице)

Однозначное кодирование – тогда, когда код не является префиксом другого.

27. Свойство префикса алфавитного кодирования.

Свойство префиксности – когда код не является суффиксом другого (когда в конце есть пробел) + все, что в предыдущем билете.

28. Признаки взаимной однозначности алфавитного кодирования.

Если часть кода однозначно декодируется (ну, на примере Морзе – каждую хрень из точки и тире можно представить ОДНОЙ И ТОЛЬКО ОДНОЙ буквой) то такое кодирование взаимно-однозначное. + опять же, предыдущие билеты

29. Самокорректирующиеся коды и их свойства.

Коды, в которых возможно автоматическое исправление ошибок, называются самокорректирующимися.

Главное задача – при передаче информации в двоичном виде возможны искажения этой информации.

Искажение – связаны не с потерей, а с изменением двоичных символов. (замена одного символа на другой)

30. Коды Хемминга. Соотношение между числом информационных и контрольных символов кода Хемминга.

Nk куичные коды

1. Берем последовательность k длиной q (их всего q k )

2. Берем последовательность из n элементов, так, что n > k

3. Каждому коду последовательности k ставим в соответствие код из последовательности n.

nk-двоичный код – когда q = 2.

Код Хэмминга – код, исправляющий единичную ошибку. Работает на двоичной системе счисления. Является алфавитным, блоковым nk-двоичным кодом.

k – количество информационных бит

n – длина кодового слова

m – количество проверочных бит

Для кода Хемминга справедливо следующее соотношение:

k + m + 1 = 2 m Также, не стоит забывать, что m + k = n

k/n – отношение k к n – доля информационных символов в кодовом слове.

Из этого видно, что чем больше m – тем эффективнее код Хэмминга, т.к. доля информационных бит возрастает.

31. Процесс кодирования Хемминга.

Код Хэмминга строится путем умножения исходного слова на порождающую матрицу (она составит из базисных векторов – информационных битов и проверочных битов, которые проверяют, не было ли ошибки)

Например, построим 7,4 блоковой двоичный код (4 информационных, 3 проверочных)

Систематические коды – содержат информационные биты и проверочные.

32. Процесс декодирования Хемминга, исправляющего не более чем одну ошибку

Не пониманию, почему тут декодирование, но я хотел бы рассказать про кодирование. И о том, как построить порождающую матрицу.

Для удобства, используем порядок символов из Хэмминга (П₁ П₂ И₃ П₄ И₅ И₆ И₇). У нас есть сообщение: (1 1 0 1). Его надо помножить на матрицу, чтобы получить код Хэмминга.

Рассчитаем первый столбец матрицы: П₁ по формуле П₁ = И₃ + И₅ + И₇

33. Кодовое расстояние

Кодовое расстояние – минимальное расстояние всех векторов из К.

I. Блочный код К обнаруживает любые t и меньше ошибок, тогда и только тогда, когда d(k) >= t + 1

II. Блочный код К может исправить любые t ошибок в коде когда d(k) >= 2t + 1

34. Линейные пространства над конечными полями

Конечное поле, состоящее из n элементов, мы будем обозначать F_n.

По поводу конечных полей мы будем предполагать известными следующие факты:

Для поля из n = p m элементов, где p — простое число, это число p называют характеристикой.

Линейные пространства над конечными полями определяются точно так же, как линейные пространства над R или над C, но у них, конечно, есть некоторые специфические свойства.

Если поле F_n содержит F_mв качестве подполя, то F_nявляется линейным пространством над F_mнекоторой размерности k, поэтому n = mk.

Начать стоит с определения Эвклидова пространства.

Эвклидово пространство – пространство арифметическое над полем действительных чисел. Бесконечное, мать его.

Там есть скалярное произведение. Свойства его таковы:

2. (a + g, b) = (a, b) + (g, b)

4. (a,a) >= 0 (не выполняется в GF(2)); a=0 => (a,a)=0

Вообще, мы считаем скалярным произведением – длину одного вектора помноженную на длину другого и cos угла между ними. Но есть другой способ:

Норма (длина) вектора:

Расстояние между векторами ρ(a,b) = ||a-b||

Источник