Доказать что равенство ab ba e

Обратная матрица. Квадратная матрица n-го порядка, у которой по диагонали 1, а все остальные элементы 0, называется единичной и обозначается E

Операции с матрицами

Квадратная матрица n-го порядка, у которой по диагонали 1, а все остальные элементы 0, называется единичной и обозначается E.

Для любой матрицы A справедливы равенства AE=EA=A. Таким образом, единичная матрица играет роль 1 среди матриц.

Определение 6.1. Матрица B называется обратной к матрице A, если AB=BA=E. Обратная матрица обозначается .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц.

Свойство 6.1. Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть существует две обратные матрицы к A, которые обозначим через B и C. Рассмотрим произведение BAC. С одной стороны (BA)C=EC=C, а с другой B(AC)=BE=B. Результат не зависит от способа расстановок скобок, поэтому B=C.

Определение 6.2. Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0.

Теорема 6.1. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы к A является ее невырожденность.

Доказательство. Пусть к матрице A существует обратная . Из равенства следует равенство определителей , откуда .

Пусть . Построим матрицу B, элементы которой равны . Найдем AB. Элемент матрицы произведения, стоящий на пересечение строки i и столбца j равен . Сумма является разложением по строке j определителя матрицы, отличающейся от матрицы A только строкой j, вместо которой стоит строка i. Если , то эта матрица имеет две одинаковые строки и ее определитель равен 0. Если i=j, то получаем матрицу A. Таким образом, элемент матрицы произведения, расположенный на пересечении строки i и столбца j равен 0 при и 1 при i=j, то есть AB=E. Аналогично, проверяется равенство BA=E.Следовательно, матрица B – обратная к A.

Следствие 6.1 Если BA=E или AB=E, то .

Доказательство. Если BA=E, то матрица A – невырожденная, и к ней существует единственная обратная матрица. Далее, или .

Источник

Произведение матриц и его свойства.

2.3.1. Определение. Произведением строки A=(а₁, а₂, … а_n) на столбец B=(b₁, b₂, … b_n) T называется число a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n.

Это произведение обозначается через AB.

AB=(1, 2, 4) =1×(-1)+2×2+4×3=15.

Таким образом, по определению

(а₁, а₂, … а_n) =a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n,

то есть для того, чтобы строку умножить на столбец, необходимо, чтобы число элементов строки равнялось числу элементов столбца.

2.3.2. Определение. Произведением матрицы A=(a_ij)_m´n на матрицу B=(b_ij)_n´k называется матрица C=(c_ij)_m´k, такая, что

Произведение матрицы A на матрицу B обозначается через AB.

Таким образом, AB=(a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_inb_nj)_m´n, то есть элемент c_ij произведения A на B получается как произведение i—й строки (то есть строки под номером i) матрицы A на j—й столбец (то есть столбца под номером j) матрицы B. В частности, для того, чтобы умножить матрицу A на матрицу B, необходимо, чтобы число элементов в строке матрицы A совпадало с числом элементов в столбцах матрицы B, что означает, что число столбцов первого сомножителя должно совпадать с числом строк второго. В противном случае произведение матриц не существует. При этом число строк произведения AB равно числу строк первой матрицы A, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы B. Так, произведение матрицы A=(a_ij)_2´2 на матрицу B=(b_ij)_2´2 является матрицей C=(c_ij)_2´2 размерности 2´2:

= ;

= .

Произведение B=(b_ij)_2´3 на A=(a_ij)_2´2 не существует, так как число 3 столбцов матрицы B не равно числу 2 строк матрицы A. Например, если A= , B= , C= , то

AB= = = ,

BA= = = ,

AC= = = ,

CA не определено (то есть не существует).

В частности, мы видим, что, вообще говоря, AB≠BA, то есть привычное для чисел правило «от перестановки мест сомножителей призведение не меняется» для матриц не работает.

2.3.3. Теорема. Операция произведения матриц обладает следующими свойствами:

(AB)C=A(BC).

a(AB)=(aA)B=A(aB).

A(B+C)=AB+AC.

(A+B)C=AC+BC.

2.3.4. Перечисленные свойства естественным образом обобщаются. Например, как и в случае суммы, свойство 2 о обобщается следующим образом:

и результат произведения не зависит от расстановки скобок.

В силу этого в произведениях типа (2.2) скобки принято опускать:

Вообще, в произведении (2.3) определено произведение любого количества l друг за другом идущих матриц: A_iA_i+1…A_i+l—1. В силу свойства 1 о результат произведения зависит от порядка следования сомножителей. Более того, при перестановке сомножителей произведение может быть вообще не определённым (то есть не существовать).

Здесь сочетания знаков «+» и «-» произвольные.

(A₁A₂…A_k—1A_k) Т = .

A k = .

Упражнения.

2.4.1. Выполнить действия:

а) 4 -2 ; б) 3 +4 ;

в) 2 -3 +4 .

а) A=(2, 3, 4), B=(2, 1, 3) T ; б) A=(2, 3, 4), B= ;

в) A= , B= ; г) A= , B= ;

д) A= , B= , е) A= , B= .

Решение. в) AB не определено, так как число 3 столбцов A не совпадает с числом 2 строк B.

BA= = = .

Ответ: в) AB и B T A T не определены, BA= , A T B T = .

2.4.3. Вычислить:

а) ; б) ; в) .

Решение. б) = = ,

= = = .

Замечаем, что = . Поэтому = .

Ответ: б) .

2.4.4. Вычислить:

а) +6 —

-2 ;

б) +

+3 ;

Решение. а) Выполним вычисления по действиям:

1) = =

=

=

2) =

=

=

3) 6 =6 =

= =

= =

5) 2 =2 =

6) +6 —

-2 =

= + — =

Ответ: а)

Источник