Доказать что sin n ограниченная
Синус бесконечности
Что такое Синус (sin) бесконечности
Предел синуса на бесконечность не поддается определению.
\(x \mapsto ∞ \\\) не приближается к какому-либо фиксированному значению y.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Предел тригонометрической функции
Неопределенность предела синуса на бесконечности доказывается через тригонометрическую функцию. Допустим, что существует некий предел выражения:
Этот предел предполагает, что выражение стремится к какой-то конечной величине на бесконечности. Тогда справедливо следующее условие:
Далее разложим синусы по соответствующему правилу, получим:
Из этого следует, что
Тогда предел \(\sin\left(2n\right) при n\;\rightarrow\;\infty\) тоже равен нулю:
Требование к выполнению тригонометрического тождества
При решении тригонометрической функции необходимо соблюдать основное тригонометрическое тождество, определяющее связь между косинусом и синусом угла.
Результат решения уравнения
Исходя из вышеописанного, если \(\lim_
Но тогда cos(n) должен стремиться к нулю, а sin(n) к единице. Подобное заключение не соответствует здравому смыслу. Следовательно, доказано, что для синуса предел на бесконечности не определяется.
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Доказать, что последовательность sin(n^2) не имеет предела
 |
Последний раз редактировалось Deggial 25.10.2015, 12:21, всего редактировалось 9 раз(а).
| Супермодератор |
 |
Последний раз редактировалось Deggial 25.10.2015, 12:22, всего редактировалось 1 раз.
| i | Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин» Причина переноса: формулы не оформлены  ом |
|
 |
Последний раз редактировалось iancaple 25.10.2015, 14:16, всего редактировалось 2 раз(а).
|
Последний раз редактировалось Bellesimmo 25.10.2015, 14:57, всего редактировалось 6 раз(а).
А почему 
|
|
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
Доказать что sin n ограниченная
Войти
Авторизуясь в LiveJournal с помощью стороннего сервиса вы принимаете условия Пользовательского соглашения LiveJournal
Напомним, что последовательность <xn> называется расходящейся, если никакое число не является пределом этой последовательности (Кудрявцев, МФТИ, том первый).
Докажем от противного, что последовательность sin(n) является расходящейся.
Тогда последовательность sin(n) является фундаментальной и, в частности, верно, что
Учитывая то, что 
,
откуда следует, что
но тогда, т.к. существует
должно быть верно, что
Однако из cos 2 (n) + sin 2 (n) = 1 и из того, что
следует, что должно выполнятся
Полученное противоречие доказывает требуемое.
Доказать что sin n ограниченная
`|x_n-a| oo) x_n=a` (читается: предел `x_n` при `n`, стремящемся к бесконечности, равен `a`). Последовательность, называется сходящейся, если существует число `a`, являющееся её пределом. Если такого числа `a` не существует, то последовательность называется расходящейся.
Часто в определении предела полагают число `k` натуральным. Однако, как нетрудно понять, получится эквивалентное определение.
Пусть выбрано произвольное `epsilon>0`. Нам нужно найти такое число `k`, что при всех `n>k` выполнялось бы неравенство `|x_n-c| k` имеет место неравенство `|x_n-c| oo)x_n=c`.
В разобранном примере число `k` удалось выбрать так, чтобы оно годилось сразу для всех `epsilon`. Такой случай не типичен.
Доказать, что `lim_(n->oo)1/n=0`.
Могут ли два разных числа быть пределами одной и той же последовательности?
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`. Имеет ли предел последовательность `(x_(n+1))`?
Пусть `lim_(n->oo)x_n=a`, `epsilon>o`. Можно ли утверждать, что найдётся такое число `k`, что `|x_n-a| k`?
Да. Поскольку `lim_(n->oo)x_n=a`, то по определению предела для любого положительного числа `alpha`, а следовательно, и для `alpha=epsilon//2`, найдётся число `k`, такое что `|x_n-a|k`.
Сформулируем необходимое условие существования предела.
Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Доказать, что последовательность `x_n=(-1)^n` не имеет предела.
Предположим противное, т. е. какое-то число `a` является пределом этой последовательности. Тогда для `epsilon=1` найдётся такое число `k`, что `|x_n-a| k`. Пусть номер `N>k`, тогда `|x_N-a| oo)y_n!=0`). При этом
Ограничимся доказательством пункта 2. Фиксируем произвольное `epsilon>0`. Нам нужно показать, что существует такое число `k`, что `|x_ny_n-ab| k`. По теореме 2.1 последовательности `(x_n)` и `(y_n)` ограничены; тем самым найдётся такое `C>0`, что `|x_n| k_1`, а также число `k_2` такое, что `|y_n-b| k_2`. Если положить `k=max
`|x_ny_n-ab| oo)cx_n=clim_(n->oo)x_n` для любого `cinR`.
В самом деле, рассмотрим последовательность `y_n=c`. Поскольку `lim_(n->oo)y_n=c` (пример 2.1), то по пункту 2 теоремы 2.2
Показать, что `lim_(n->oo) 1/(n^2)=0`.
Поскольку `lim_(n->oo) 1/n=0`, то по пункту 2 теоремы 2.2
`lim_(n->oo) 1/(n^2)=lim_(n->oo) 1/n*lim_(n->oo) 1/n=0`.
Теорему 2.2 можно обобщить на произвольное (конечное) число слагаемых (сомножителей). В частности, `lim_(n->oo)1/n^m=0` для любого `m inN`.
Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через `x_n`. В числителе и знаменателе `x_n` стоят последовательности, не являющиеся ограниченными (доказывается аналогично примеру 1.6). По теореме 2.1 они не имеют предела и теорема о пределе частного (теорема 2.2 3)) «напрямую» здесь неприменима. Поступим следующим образом: поделим числитель и знаменатель на наибольшую степень `n`. По формулам сокращённого умножения `(n+2)^3-n(n-1)^2=8n^2+11n+8`, так что `x_n` можно переписать в виде:
Теперь в числителе и знаменателе `x_n` стоят сходящиеся последовательности:
По пункту 3 теоремы 2.2
Следующее полезное свойство пределов известно под названием теоремы о «зажатой» последовательности.
Для данного `epsilon>0` существует такое число `k_1`, что члены `x_n` лежат в интервале `(a-epsilon, a+epsilon)` при всех `n>k_1`, и существует такое число `k_2`, что члены `z_n` лежат в интервале `a-epsilon;a+epsilon)` при всех `n>k_2`. Положим `k=max
Попробуем «зажать» `x_n` между членами последовательностей, сходящихся к одному и тому же числу, и применим теорему 2.3.
`sqrt(n^2+n) 1/(n+1) iff n/(sqrt(n^2+n))>n/(n+1)`.
Учитывая `n/(sqrt(n^2+1)) oo)n/(n+1)=1` и `lim_(n->oo)1=1`, по теореме 2.3 `lim_(n->oo)x_n=1`.
Если для любого `n inN`, `n>=n_0` выполняется неравенство `a_n oo)a_n=a`, `lim_(n->oo)b_n=b`, то `a b`. По определению предела для `epsilon=(a-b)/2` найдутся такие `k_1`, `k_2`, что для `n>k_1` выполняется `|a_n-a| k_2` выполняется `|b_n-b| k` имеем `b_n oo)1/n=0`.
В теории пределов важную роль играет следующий факт.
Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Эта теорема эквивалентна свойству полноты множества действительных чисел. Образно говоря, свойство полноты означает, что числовая ось является «сплошным» множеством, множеством без «дырок».
Доказать расходимость последовательности
Для просмотра формул ваш браузер должен поддерживать MathML.
| Объявления | Последний пост | |
|---|---|---|
 | Открыта свободная публикация вакансий для математиков | 26.09.2019 16:34 |
| Математики, программисты, репетиторов (платформа SapioX) | 28.01.2021 12:47 |
| Гранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2022/2023 | 14.10.2021 12:28 |
Прошу подсказать на счет пункта 4) и указать на ошибки в остальных пунктах, пожалуйста.
1. Расходимость последовательности ведь означает одновременное выполнение двух условий
$\lim _
$\lim _
поэтому я и решил указать, что первое не выполняется.
2. Аргументировать можно было как-то так
$\sin \left( <\frac<\pi > <2>+ 2\pi k> \right) > \sin \left( <\left\lceil <\frac<\pi > <2>+ 2\pi k> \right\rceil > \right) > \sin \left( <\frac<\pi > <2>+ 2\pi k + 1> \right) \approx 0,54$
Но почему неверно равенство?
Есть масса других милых способов.
2. Докажем то, что предел не может быть числом отрицательным.
Но этот факт действительно следует из предыдущего (если предыдущий доказан верно)
3. Докажем, что предел не может быть числом положительным
Это ведь. и будет
Редактировалось 1 раз(а). Последний 10.10.2013 21:32.
2. Докажем то, что предел не может быть числом отрицательным.
Но этот факт действительно следует из предыдущего (если предыдущий доказан верно)
3. Докажем, что предел не может быть числом положительным
Это ведь. и будет
Аналогично доказываем и второе утверждение.
Да, здесь весьма просто уточнить: «моя явная глупость» 
. Предполагался, конечно, просто пример.
Аналогично доказываем и второе утверждение.
Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.10.2013 01:04.