Доказать что скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение векторов: свойства, примеры вычисления, физический смысл

Скалярное произведение векторов называют число, равное произведению дин этих векторов на косинус угла между ними.

При умножении вектора самого на себя, получим квадрат его дины:

Скалярное умножение вектора самого на себя называют скалярным квадратом.

Вычисляется по формуле:

Сформулируем определение произведения для двух векторов:

Скалярное произведение двух векторов a → на b → называют произведение длины вектора a → на проекцию b → на направление a → или произведение длины b → на проекцию a → соответственно.

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

для трехмерного пространства применимо выражение:

Фактически это является третьим определением скалярного произведения.

Следует отложить векторы

– соответственно для векторов трехмерного пространства.

Скалярное произведение и его свойства

Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.

Дистрибутивность справедлива для любых чисел:

Скалярное произведение с примерами и решениями

Любая задача такого плана решается с применением свойств и формул, касающихся скалярного произведения:

Рассмотрим некоторые примеры решения.

Длина a → равна 3, длина b → равна 7. Найти скалярное произведение, если угол имеет 60 градусов.

По условию имеем все данные, поэтому вычисляем по формуле:

В данном примере рассматривается формула вычисления по координатам, так как они заданы в условии задачи:

Для начала вычисляются координаты векторов, так как по условию даны координаты точек:

Подставив в формулу с использованием координат, получим:

Выносим коэффициент за знак произведения и получим:

По свойству коммутативности преобразуем:

Теперь применим формулу для скалярного произведения с заданным по условию углом:

Если имеется числовая проекция.

Подставив в формулу, получим выражение:

Задачи при известном скалярном произведении, где необходимо отыскать длину вектора или числовую проекцию.

Из формулы видно, что необходимо найти сумму произведений координат:

Физический смысл скалярного произведения

Механика рассматривает приложение скалярного произведения.

При работе А с постоянной силой F → перемещаемое тело из точки M в N можно найти произведение длин векторов F → и M N → с косинусом угла между ними, значит работа равна произведению векторов силы и перемещения:

Источник

Скалярное произведение векторов

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные определения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.

Угол между векторами

Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=

2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.

3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.

Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.

То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by

А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz

Докажем это определение:

для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)

то последнее равенство можно переписать так:

а по первому определению скалярного произведения имеем

Записывайтесь на наши курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В плоской задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В пространственной задаче скалярное произведение векторов a = и b = можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by + az * bz

Формула скалярного произведения n-мерных векторов

Свойства скалярного произведения

Свойства скалярного произведения векторов:

a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 a ┴ b

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)

По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.

Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,

Примеры вычислений скалярного произведения

Пример 1.

Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

(→a,→b) = →|a| * →|b| * cos(→a,→b) = 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.

Ответ: (→a,→b) = 21/2 = 10,5.

Пример 2.

Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если →|a| = 2, →|b| = 5, ∠(→a,→b) = π/6.

Используем формулу →a * →b = →|a| * →|b| * cosα.

→a * →b = →|a| * →|b| * cosα = 2 * 5 * cosπ/6 = 10 * √3/2 = 5√3

Пример 3.

Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем

Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем

Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:

Пример 4.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.

Пример 5.

б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).

а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно

Обратите внимание на два существенных момента:

Ответ: а) →a перпендикулярно →b, б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.

Пример 6.

По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:

Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.

Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).

Вычислим скалярное произведение:

Вычислим длины векторов:

Найдем косинус угла:

Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:

Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.

Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°

Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.

А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Источник

Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов и обозначается

Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратам.

Решение. По определению находим

Геометрический смысл скалярного произведения векторов

Рассмотрим ортогональную проекцию ненулевого вектора на ось, задаваемую вектором (рис. 1.37). Согласно пункту 1 замечаний 1.4, алгебраическое значение длины проекции равно произведению длины вектора на косинус угла между векторами и :

Алгебраические свойства скалярного произведения

Для любых векторов и любого действительного числа :

Первое свойство определяет симметричность скалярного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю, четвертое свойство — неотрицательность скалярного квадрата. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство соответствует закону коммутативности умножения чисел, второе — закону дистрибутивности умножения по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является число (скаляр), то такое произведение векторов называется скалярным.

1. Свойства аддитивности и однородности скалярного произведения означают линейность скалярного произведения по первому множителю :

3. Для любых векторов справедливо неравенство Коши — Буняковского

4. Из неравенства Коши — Буняковского следует неравенство треугольника (длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон и больше модуля их разности):

Геометрические свойства скалярного произведения

С помощью скалярного произведения можно находить основные метрические величины: длины отрезков (или, что то же самое, длины векторов) и величины углов.

2. Величина угла между ненулевыми векторами находится по формуле:

Отсюда заключаем, что:

— ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: ;

— угол между ненулевыми векторами и острый тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно;

— угол между ненулевыми векторами и тупой \frac<\pi><2>\right)» png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAFIAAAAmBAMAAAClsdF/AAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAAZvHEYFEYuAx8CFysX6e75gAAAHwSURBVDjLY2AgCbCY4JBgFBQUZGBwcoALOE/ArtDpHRAUMLAjDLLBYaJRsGpTjAMDoy5MhNUAu0r2AuGNC0EMjgNQkX0JuDywQ/ohWMsSKF8Zp1eD2MBmMjZBuNzPcSlkXM4GNpOhbgOYYlqISyX7E56XYIZfAJiSUsClksOA7SmYIdwIpvIKcKnkTWC4BmZAjY7bgNNHAlCa7Q2YshMgGN2Mb8HkYhTBMGz6GFeARBkfowi6mmNRygi2l+0RiD2NgaH4JljQ1cYBU+k9kF8gAWHCwNTcATHNxxRTaVwCTCX7AYZaBw9o4hM33YBbpbADowkDMyyZijeBTGVRAgN1NJUMYgUMEjC/iBmBVIpgVSkhwLuB4RDcSLDtjFhtlyjwEBBvgTkTn4/YHivnWECc6dqKLZRActzgkJ/87lUIoZBnXAwm10BNUkdW6BMDCS9GSFCD1Yu9xhLdnOaHlyOlEIY4kBuYFmBLyRNY1oEdz/kGkZKFL2BROW8Jg14AUkoG5w5OLB5m2LWQIQ5cFvA2EshxjAIMeuBCwQ+S1bif4SnbVjkg5WJG3CUDA9NK5JIBT2nDUAX2OttqAiUY0J+d4OwpASvBGExxqZzswAbySyzBkpazLS0JGJ5sJgRLb2dgkQz0w2YHggXCZGNjY7h1ACJhdRVcflHKAAAAAElFTkSuQmCC» style=»vertical-align: middle;» /> тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

Свойства 1 и 2 следуют непосредственно из определения скалярного произведения. Третье и четвертое свойства вытекают из геометрического смысла скалярного произведения (см. (1.8)) и п.1 замечаний 1.4.

Пример 1.14. Доказать тождества

Решение. Используя коммутативность и линейность скалярного произведения, запишем равенства

Заменяя скалярные квадраты векторов квадратами их длин (см. геометрическое свойство 1), получаем

Если из первого равенства вычесть второе, то придем к тождеству (а). Если же сложить оба равенства, то получим тождество (б).

Доказанные равенства выражают следующие свойства параллелограмма, построенного на векторах и ( и — его диагонали):

а) скалярное произведение векторов равно одной четвертой от разности квадратов диагоналей параллелограмма, построенного на множителях;

б) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Источник

Доказать что скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов `vec a` и `vec b` называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, и обозначается `vec a * vec b`.

Иногда используют более сложные обозначения для скалярного произведения векторов: `(vec a vec b)` или даже `(vec a, vec b)`.

Если векторы `vec a` и `vec b` ортогональны `(vec a _|_ vec b)`, то `cos alpha = 0` и поэтому `vec a * vec b = 0`. Скалярное произведение двух векторов также равно нулю, если хотя бы один из векторов является нулевым.

Если векторы коллинеарны и одинаково направлены, то `cos alpha = 1`, поэтому скалярное произведение векторов `vec a` и `vec b` равно произведению модулей векторов `vec a` и `vec b`. В частности, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: `vec a * vec a = a^2`.

2. Имеется ещё одна важная форма записи скалярного произведения: через проекции векторов в прямоугольной системе координат `xOy`. Пусть в некоторой системе координат векторы `vec a` и `vec b` имеют координаты `(a_x ; a_y)` и `(b_x ; b_y)`. Тогда для скалярного произведения векторов справедлива формула

Действительно, имеем `vec a * vec b = (a_x vec i + a_y vec j) * (b_x vec i + b_y vec j)`, или после перемножения скобок

`vec a * vec b = a_x b_x vec i vec i + a_x b_y vec i vec j + a_y b_x vec j vec i + a_y b_y vec j vec j`.

Учитывая, что векторы `vec i` и `vec j` единичные и взаимно перпендикулярные,

(`vec i * vec i = vec j * vec j = 1` и `vec i * vec j = vec j * vec i = 0`), получим (7).

(написано по просьбе Володковича Н.А., преподавателя школы Смоленской обл.). Кажущееся привычным перемножение скобок

`vec a * vec b = (a_x vec i + a_y vec j) * ( b_x vec i + b_y vec j) = a_x b_x vec i vec i + a_x b_y vec i vec j + a_y b_x vec j vec i + a_y b_y vec j vec j`

не так очевидно для векторов. Во всяком случае, нужно ещё доказать, что оно согласуется с определением (6) скалярного произведения. Докажем, что

`(vec a + vec b)(vec c + vec d) = vec a * vec c + vec a * vec d + vec b * vec c + vec b * vec d`. (*)

Для этого заметим, что скалярное произведение (6) можно переписать в виде

`vec a * vec b = a * b_a` (6′),

где `b_a` – проекция вектора `vec b` на направление вектора `vec a`.

(Можно было записать и иначе:

`vec a * vec b = a_b * b` (6″),

где `a_b` – проекция вектора `vec a` на направление вектора `vec b`.)

Далее – цепочка простых выкладок:

`vec a * (vec c + vec d) = (vec c + vec d) * vec a = a (c_a + d_a) = a * c_a + a * d_a = vec a * vec c + vec a * vec d`,

При другом выборе системы координат векторы `vec a` и `vec b` имели бы другие координаты `(a_x ; a_y)` и `(b_x ; b_y)`. Поэтому могло бы показаться, что в новой системе координат скалярное произведение векторов (7) будет иметь другое значение. На самом деле, согласно (6) величина скалярного произведения останется такой же: модули векторов и угол между ними не зависят от поворотов и сдвигов системы координат.

`vec a = (3; lambda)`, `a = 5`. Определите `lambda`.

Согласно формуле (4) имеем `3^2 + lambda ^2 = 5^2`, откуда `lambda = 16` и `lamda =+- 4`. Заметим, что условию задачи удовлетворяют два разных вектора (см. рис. 16).

Векторы `vec a = (0; 3)` и `vec b = (lambda ; 5)` коллинеарны друг другу. Определите `lambda`.

Вектор `vec a` параллелен оси `Oy` (перпендикулярен оси `Ox`: `a_x = 0`). Поэтому коллинеарный ему вектор `vec b` также должен быть перпендикулярен оси `Ox`, т. е. должно выполняться равенство `b_x = 0`, или `lambda = 0`.

Векторы `vec a = (- 1; 3)` и `vec b = (lambda; 5)` перпендикулярны друг другу. Определите `lambda`.

Векторы `vec a` и `vec b` перпендикулярны друг другу, поэтому равно нулю скалярное произведение этих векторов (см. формулу (6) и вывод после неё). Тогда по формуле (7) для скалярного произведения векторов имеем: `(- 1) * lambda + 3 * 5 = 0`, откуда `lambda = 15`.

Векторы `vec a`, `vec b`, `vec c` составляют треугольник (см. рис. 17).

Воспользовавшись свойствами скалярного произведения векторов, докажите теорему косинусов

`vec c * vec c = + (vec a + vec b) * (vec a + vec b) = vec a * vec a + vec a * vec b + vec b * vec a + vec b * vec b = a^2 + b^2 + 2ab cos alpha`.

`a = sqrt(a_x^2 + a_y^2) = sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt13`,

`b = sqrt(b_x^2 + b_y^2) = sqrt((- 2)^2 + (- 1)^2) = sqrt5`.

Тогда `cos alpha = (- 8)/(sqrt13 * sqrt5) = (- 8)/sqrt(65)

Источник

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок № 2. Скалярное произведение векторов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— ввести понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов, рассмотреть формулу скалярного произведения в координатах;

— показать применение скалярного произведения векторов при решение задач.

— рассмотреть основные свойства скалярного произведения;

— сформировать умения вычислять скалярное произведение векторов и находить угол между векторами;

— показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Формула вычисления скалярного произведения векторов по определению:

Формула вычисления скалярного произведения векторов через координаты:

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Работа по теме урока. Объяснение новой темы

Угол между векторами

Если векторы не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОB образуют угол АОВ.

Определение: Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярное произведение векторов:

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Запишем формулу:

Утверждение1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Утверждение2. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Формула скалярного произведения двух векторов и

Через их координаты

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Угол между векторами.

Косинус угла между векторами пространства , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой:

Сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов и любого числа k справедливы равенства:

1) причем при

2) (переместительный закон).

3) (распределительный закон).

4) (сочетательный закон).

Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Дано: прямоугольный параллелепипед, где . Найти и .

Решение: ранее в таких случаях мы пытались по рисунку находить величины углов.

Но теперь мы владеем формулой косинуса угла между прямыми.

Для удобства изобразим прямоугольную систему координат так, чтобы точка B совпадала с точкой начала координат. Взяв длину рёбер AB и BC за единичные отрезки, можно утверждать, что длина отрезка BB равна 2.

Тогда не трудно определить координаты точек B, D, C и D₁.

Теперь не трудно найти координаты векторовBD и CD как разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Получаем, что вектор BD <1-0;1-0;0-0>. А вектор

Теперь можем воспользоваться формулой косинуса угла между прямыми. Подставим координаты направляющих векторов.

Ответ:

Найдите: косинус угла между прямыми DC и CM (СМ – высота треугольника АВС), поставьте ему в соответствие верный вариант ответа из предложенных ниже:

Треугольник АВС правильный, поэтому тоска М является серединой стороны АВ.

Введем систему координат как показано на рисунке.

Найдем координаты векторов

Применив формулу косинуса угла между векторами, получим .

Ответ:

Источник