Доказать что векторы перпендикулярны

Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.

Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).

рис. 1

Примеры задач на ортогональность векторов

Примеры плоских задач на ортогональность векторов

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

Так в случае пространственной задачи для векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z >, условие ортогональности запишется следующим образом:

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Перпендикулярность векторов

Мы можем выяснить, будут ли два каких-либо вектора взаимно перпендикулярными. Для этого нужно воспользоваться координатами векторов и некоторыми приемами, описанными в данной статье. Информация о перпендикулярности будет полезной для решения некоторых задач физики и математики.

Координаты вектора на плоскости, равного по модулю и перпендикулярного данному

Пусть на плоскости заданы координаты какого-либо вектора. Из этих координат получим координаты двух дополнительных векторов, перпендикулярных первоначальному вектору. Все три вектора будут иметь равные длины и располагаться в плоскости xOy.

Алгоритм получения координат перпендикулярных векторов

Вектор на плоскости xOy, перпендикулярный данному вектору получают так:

Графический пример

Рассмотрим небольшой графический пример (рис. 1).

На плоскости проведены три вектора: один красный и два черных и, отмечены их координаты. Рассмотрим подробнее координаты двух векторов: \(\vec\) и \(\vec\).

Векторы, изображенные черным цветом, перпендикулярны красному вектору.

Условие перпендикулярности векторов

Взаимную перпендикулярность двух векторов можно проверить, вычислив их скалярное произведение. Этот способ проверки можно применять для векторов, расположенных как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.

Векторы будут перпендикулярными, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пусть, известны координаты двух векторов и пусть каждый вектор имеет ненулевую длину.

Запишем условие перпендикулярности векторов.

Для двумерного случая:

\[ \large \boxed < a_\cdot b_ + a_ \cdot b_ = 0 >\]

Для трехмерного случая:

\[ \large \boxed < a_\cdot b_ + a_ \cdot b_ + a_ \cdot b_ = 0 >\]

Пользуясь любой из этих формул, можно определить одну неизвестную координату вектора.

При этом, должны быть известными остальные координаты этого вектора и все координаты второго вектора.

Примечание:

Есть такое правило: Количество неизвестных должно равняться количеству уравнений.

Чтобы однозначно определить значение неизвестной, в уравнение должна входить только одна неизвестная. Остальные величины должны быть известными.

Перпендикулярные векторы в физике

В физике перпендикулярность некоторых векторов достаточно важна.

Вот несколько примеров:

Источник

Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения

Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.

Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.

При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90 ° ( π 2 радиан) называют перпендикулярными.

Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?

Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.

Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.

Вторая часть доказательства

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Применим на практике и рассмотрим на примерах.

Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.

Ответ: да, заданные векторы a → и b → перпендикулярны.

Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим

Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному

Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.

Ненулевой вектор a → может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.

Рассмотрим доказательство на примере.

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

При решении применяется понятие векторного произведения векторов.

Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.

Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим :

Источник

Как найти вектор, перпендикулярный вектору

Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие вектора и перпендикулярности векторов

Вначале надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.

Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.

Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.

Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.

Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.

Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.

Введем теперь, непосредственно, определение коллинеарных векторов.

Два ненулевых вектора будем называть перпендикулярными (ортогональными), если они лежат на каких-либо перпендикулярных прямых (рис.2).

Готовые работы на аналогичную тему

Также введем определение скалярного произведения, которое будет нам необходимо далее.

Скалярным произведением двух данных векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

Скалярное произведение также можно найти с помощью координат векторов следующим образом

$\overline<α>\overline<β>=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3$

Признак перпендикулярности через пропорциональность

Чтобы ненулевые векторы были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение этих векторов равнялось нулю.

$\overline<α>\cdot \overline<β>=|\overline<α>||\overline<β>|cos⁡90^\circ =|\overline<α>||\overline<β>|\cdot 0=0$

По определению 6, будет верно равенство

Найдем скалярное произведение для этих векторов через формулу, данную выше

$\overline<α>\cdot \overline<β>=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac<3><2>=2\cdot 5+3=0$

Значит, по теореме 1, эти вектор перпендикулярны.

Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение

Введем вначале понятие векторного произведения.

Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой

Так как вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен обоим этим векторам, то он и будет иском вектором. То есть, для того, чтоб найти перпендикулярный для двух векторов вектор, нужно просто найти их векторное произведение.

Найдем векторное произведение данных векторов.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 19 07 2021

Источник

Практическая работа по математике на тему «Коллинеарность и перпендикулярность векторов»

Определение коллинеарности и перпендикулярности векторов

Цель работы: при выполнении работы вы научитесь определять коллинеарность и перпендикулярность векторов, решать простейшие задачи с использованием определений и свойств.

При выполнении практической работы следует придерживаться следующих правил:

практическую работу следует выполнять в отдельной тетради для практических и домашних работ, чернилами любого цвета кроме красного, оставляя поля для рецензий;

решение задач должно располагаться в порядке возрастания их номеров, сохраняя нумерацию заданий;

перед решением каждой задачи нужно записать полностью её условие;

решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и выполняя необходимые чертежи.

Вектор – «направленный» отрезок. Векторы в прямоугольной системе координат задаются с помощью его координат.

Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Обозначается так: или ( ).

Вектор всегда можно получить из двух точек М(х ₁ ; у ₁ ; z ₁ ) и N (х ₂ ; у ₂ ; z ₂ ).

Для того чтобы проверить коллинеарность векторов, заданных своими координатами и надо проверить выполнение равенств:

Угол между двумя векторами можно всегда получить, отложив векторы от общей точки.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Для того чтобы проверить перпендикулярность векторов, заданных своими координатами и надо вычислить их скалярное произведение и далее проверить утверждение: скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.

Задание 1. Постройте векторы и коллинеарные сонаправленные векторы.

Задание 3. Даны точки А(-2; 3; 1), В(-2; 1; 2) и С(0; 3; 4). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;

Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;

Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;

Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Задание 1. Постройте векторы и коллинеарные противоположно направленные векторы.

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;

Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;

Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;

Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;

Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;

Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;

Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;

Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;

Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;

Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;

Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;

Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;

Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Задание 3. Даны точки А(0; 1; 2), В(; 2; 1), С(; 2; 1) и Д(0; 2; 1). Докажите, что АВСД – квадрат.

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;

Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;

Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;

Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Задание 3. Даны точки А(0; 1; 2), В(; 2; 1), С(; 2; 1) и Д(0; 2; 1). Докажите, что АВСД – квадрат.

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;

Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;

Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;

Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1544282

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

В России будут создавать школьные театры

Время чтения: 1 минута

Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате

Время чтения: 1 минута

Каждый третий российский школьник хотел бы стать разработчиком игр

Время чтения: 2 минуты

Путин поручил разработать концепцию развития допобразования детей до 2030 года

Время чтения: 2 минуты

В России планируют создавать пространства для подростков

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник