Доказать математически пользуясь законом всемирного тяготения что ускорение свободного падения

Закон всемирного тяготения

Гравитационное взаимодействие

Земля — это большой магнит. Причем на самом деле магнит, с настоящим магнитным полем. Но сейчас речь пойдет о другом явлении, которое притягивает к Земле тела — от прыгающего с дерева котика до летящего мимо астероида. Называется это явление гравитацией.Земля — это большой магнит. Причем на самом деле магнит, с настоящим магнитным полем. Но сейчас речь пойдет о другом явлении, которое притягивает к Земле тела — от прыгающего с дерева котика до летящего мимо астероида. Называется это явление гравитацией.

Возьмем два тела — одно с большой массой, другое с маленькой. Натянем гигантское полотно ткани и положим на него тело с большей массой. После чего положим туда тело с массой поменьше. Мы будем наблюдать примерно такую картину:

Маленькое тело начнет притягиваться к тому, что больше, — это и есть гравитация. По сути, Земля — это большой шарик, а все остальные предметы — маленький (даже если это вовсе не шарики).

Гравитационное взаимодействие универсально. Оно справедливо для всех видов материи. Гравитация проявляется только в притяжении — отталкивание тел гравитация не предусматривает.

Из всех фундаментальных взаимодействий гравитационное — самое слабое. Хотя гравитация действует между всеми элементарными частицами, она настолько слаба, что ее принято не учитывать. Все дело в том, что гравитационное взаимодействие зависит от массы объекта, а у частиц она крайне мала. Эту зависимость впервые сформулировал Исаак Ньютон.

Закон всемирного тяготения

В 1682 году Исаак Ньютон открыл закон всемирного тяготения. Он звучит так: все тела притягиваются друг к другу, сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Формула силы тяготения согласно этому закону выглядит так:

Закон всемирного тяготения

F — сила тяготения [Н]

M — масса первого тела (часто планеты) [кг]

m — масса второго тела [кг]

R — расстояние между телами [м]

G — гравитационная постоянная

Когда мы встаем на весы, стрелка отклоняется. Это происходит потому, что масса Земли очень большая, и сила тяготения буквально придавливает нас к поверхности. На более легкой Луне человек весит меньше в шесть раз.

Закон всемирного тяготения используют, чтобы вычислить силы взаимодействия между телами любой формы, если размеры тел значительно меньше расстояния между ними.

Если мы возьмем два шара, то для них можно использовать этот закон вне зависимости от расстояния между ними. За расстояние R между телами в этом случае принимается расстояние между центрами шаров.

Приливы и отливы существуют благодаря закону всемирного тяготения. В этом видео я рассказываю, что общего у приливов и прыщей.

Задачка раз

Две планеты с одинаковыми массами обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. У первой из них радиус орбиты вдвое больше, чем у второй. Каково отношение сил притяжения первой и второй планеты к звезде?

Решение

По закону всемирного тяготения сила притяжения планеты к звезде обратно пропорциональна квадрату радиуса орбиты. Таким образом, в силу равенства масс отношение сил притяжения к звезде первой и второй планет обратно пропорционально отношению квадратов радиусов орбит:

По условию, у первой планеты радиус орбиты вдвое больше, чем у второй, то есть R₁=2R₂.

Ответ: отношение сил притяжения первой и второй планет к звезде равно 0,25.

Задачка два

У поверхности Луны на космонавта действует сила тяготения 144 Н. Какая сила тяготения действует со стороны Луны на того же космонавта в космическом корабле, движущемся по круговой орбите вокруг Луны на расстоянии трех лунных радиусов от ее центра?

Решение

По закону всемирного тяготения сила притяжения космонавта со стороны Луны обратно пропорциональна квадрату расстояния между ним и центром Луны. У поверхности Луны это расстояние совпадает с радиусом спутника. На космическом корабле, по условию, оно в три раза больше. Таким образом, сила тяготения со стороны Луны, действующая на космонавта на космическом корабле, в 9 раз меньше, чем у поверхности Луны, то есть:

Ответ: на расстоянии трех лунных радиусов от центра сила притяжения космонавта будет равна 16 Н.

Правильно говорить не «на тело действует сила тяготения», а «Земля притягивает тело с силой тяготения».

Ускорение свободного падения

Чтобы математически верно и красиво прийти к ускорению свободного падения, нам необходимо сначала ввести понятие силы тяжести.

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает все тела.

Сила тяжести

F — сила тяжести [Н]

m — масса тела [кг]

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

На первый взгляд сила тяжести очень похожа на вес тела. Действительно, в состоянии покоя на поверхности Земли формулы силы тяжести и веса идентичны. Вес тела в состоянии покоя численно равен массе тела, умноженной на ускорение свободного падения, разница состоит лишь в точке приложения силы.

Сила тяжести — это сила, с которой Земля действует на тело, а вес — сила, с которой тело действует на опору. Это значит, что у них будут разные точки приложения: у силы тяжести к центру масс тела, а у веса — к опоре.

Также важно понимать, что сила тяжести зависит исключительно от массы и планеты, на которой тело находится. А вес зависит еще и от ускорения, с которым движется тело или опора.

Например, в лифте вес зависит от того, куда и с каким ускорением двигаются его пассажиры. А силе тяжести все равно, куда и что движется — она не зависит от внешних факторов.

На второй взгляд сила тяжести очень похожа на силу тяготения. В обоих случаях мы имеем дело с притяжением — значит, можем сказать, что это одно и то же. Практически.

Мы можем сказать, что это одно и то же, если речь идет о Земле и каком-то предмете, который к этой планете притягивается. Тогда мы можем даже приравнять эти силы и выразить формулу для ускорения свободного падения:

Приравниваем правые части:

Делим на массу левую и правую части:

Это и будет формула ускорения свободного падения. Ускорение свободного падения для каждой планеты уникально.

Закон всемирного тяготения

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

M — масса планеты [кг]

R — расстояние между телами [м]

G — гравитационная постоянная

Ускорение свободного падения характеризует то, как быстро увеличивается скорость тела при свободном падении.

Свободное падение — это ускоренное движение тела в безвоздушном пространстве, при котором на тело действует только сила тяжести.

Но разве это не зависит еще и от массы предмета?

Нет, не зависит. На самом деле все тела падают одинаково вне зависимости от массы. Если мы возьмем перо и мяч, то перо, конечно, будет падать медленнее, но не из-за ускорения свободного падения. Просто из-за небольшой массы пера сопротивление воздуха оказывает на него большее воздействие, чем на мяч. А вот если бы мы поместили перо и мяч в вакуум, они бы упали одновременно.

Третий закон Ньютона

Третий закон Ньютона обобщает огромное количество опытов, которые показывают, что силы — результат взаимодействия тел.

Он звучит так: тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.

Если попроще — сила действия равна силе противодействия.

Если вам вдруг придется объяснять физику во дворе, то можно сказать и так: на каждую силу найдется другая сила. 🙈

Третий закон Ньютона

F₁ — сила, с которой первое тело действует на второе [Н]

F₂ — сила, с которой второе тело действует на первое [Н]

Так вот, для силы тяготения третий закон Ньютона тоже справедлив. С какой силой Земля притягивает тело, с той же силой тело притягивает Землю.

Задачка для практики

Земля притягивает к себе подброшенный мяч с силой 5 Н. С какой силой этот мяч притягивает к себе Землю?

Решение

Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой Земля притягивает мяч, равна силе, с которой мяч притягивает Землю.

Ответ: мяч притягивает Землю с силой 5 Н.

Поначалу это кажется странным, потому что мы ассоциируем силу с перемещением: мол, если сила такая же, то на то же расстояние подвинется Земля. Формально это так, но у мяча масса намного меньше, чем у Земли. И Земля смещается на такое крошечное расстояние, притягиваясь к мячу, что мы его не видим, в отличие от падения мяча.

Если каждый брошенный мяч смещает Землю на какое-то расстояние, пусть даже крошечное, возникает вопрос — как она еще не слетела с орбиты из-за всех этих смещений. Но тут как в перетягивании каната: если его будут тянуть две равные по силе команды, канат никуда не сдвинется. Так же и с нашей планетой.

Источник

Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения.

теория по физике 🧲 динамика

Все тела взаимодействуют друг с другом. Так, две материальные точки, обладающие массой, притягиваются друг к другу с некоторой силой, которую называют гравитационной, или силой всемирного тяготения.

Сила всемирного тяготения — сила, с которой все тела притягиваются друг к другу.

Закон всемирного тяготения

Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

F — сила всемирного тяготения, m₁и m₂ — массы двух притягивающихся друг к другу тел, R — расстояние между этими телами, G — гравитационная постоянная (G = 6,67∙10 –11 Н ∙ м 2 /кг 2 ).

Сила всемирного тяготения направлена по линии, соединяющей центры двух тел.

Гравитационная постоянная численно равна силе притяжения между двумя точечными телами массой 1 кг каждое, если расстояние между ними равно 1 м. Если R = 1 м, m₁= 1 кг и m₂= 1 кг, то F = G.

Сила тяжести

Согласно закону всемирного тяготения, все тела притягиваются между собой. Так, Земля притягивает к себе падающий на нее мяч, а мяч притягивает к себе Землю.

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает к себе тела.

Сила тяжести действует на все тела, находящиеся в поле притяжения Земли. Она всегда направлена к центру нашей планеты.

Расчет силы тяжести на Земле

Силу тяжести можно рассчитать с помощью закона всемирного тяготения. Тогда одна из масс будет равна массе земли. Обозначим ее большой буквой M. Вторая масса будет принадлежать телу, притягивающемуся к Земли. Обозначим его m. В качестве R будет служить радиус Земли. В таком случае сила тяжести будет определяться формулой:

Вывод формулы ускорения свободного падения

Согласно второму закону Ньютона, сила, которая действует на тело, сообщает ему ускорение. Поэтому силу тяжести также можно выразить через это ускорение. Обозначим его g — ускорение свободного падения.

Пример №1. Мальчик массой 50 кг прыгнул под углом 45 градусов к горизонту. Найти силу тяжести, действующую на него во время прыжка.

Сила тяжести зависит только от массы тела и ускорения свободного падения. Направлена она всегда к центру Земли, и от характера движения тела не зависит. Поэтому:

Мы получили две формулы для вычисления силы тяжести: одну — исходя из закона всемирного тяготения, вторую — исходя из второго закона Ньютона. Приравняем правые части формул и получим:

Формула расчета ускорения свободного падения

Вместо массы и радиуса Земли можно взять массы и радиусы любых планет. Так можно рассчитать ускорение свободного падения для любого космического тела.

Пример №2. Рассчитать ускорение свободного падения на Луне. Считать, что радиус Луны равен 1736 км, а ее масса — 7,35∙10 22 кг.

Переведем километры в метры: 1736 км = 1736000 м.

Первая космическая скорость

Исаак Ньютон смог доказать, что причиной падения тел на Землю, движения Луны вокруг Земли и движения Земли вокруг Солнца является сила тяготения. Если камень бросить в горизонтальном направлении, его траектория будет отклонена от прямой линии под действием земной силы тяжести. Если же придать этому камню большую скорость, камень приземлится на большем расстоянии. Значит, существует такая скорость, при которой камень не приземлится, а начнет бесконечно вращаться вокруг Земли.

Определение Первая космическая скорость — минимальная (для заданной высоты над поверхностью планеты) горизонтальная скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы он совершал движение по круговой орбите вокруг планеты.

Вывод формулы первой космической скорости

Когда тело массой m вращается на некоторой высоте h, расстояние между ним и центром Земли равно сумме этой высоты и радиуса Земли. Поэтому сила тяготения между этим телом и Землей будет равна:

Движение тела вокруг планеты — частный случай движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью. Мы уже знаем, что такое тело движется с центростремительным ускорением, направленным к центру окружности. В данном случае центростремительное ускорение будет направлено к центру Земли. Это ускорение сообщает телу сила тяготения.

Так как тело движется на некоторой высоте h от поверхности Земли, центростремительное ускорение будет определяться формулой:

Подставив это ускорение в формулу второго закона Ньютона, получим силу, с которой Земля притягивает к себе тело массой m:

Приравняем правые части формул, следующих из закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона, и получим:

Отсюда скорость, с которой должно тело массой m бесконечно вращаться вокруг Земли на высоте h, равна:

Скорость бесконечно вращающегося вокруг Земли тела не зависит от его массы. Она зависит только от высоты, на которой оно находится. Чем выше высота, тем меньше скорость его вращения.

Тело, вращающееся вокруг планеты, называется ее спутником. Чтобы любое тело стало спутником Земли, нужно сообщить ему некоторую скорость на поверхности планеты в горизонтальном направлении. Высота h в этом случае равна 0. Тогда эта скорость будет равна:

8 км/с — первая космическая скорость Земли.

Пример №3. Рассчитать первую космическую скорость для Венеры. Считать, что масса Венеры равна 4,87∙10 24 кг, а ее радиус равен 6052 км.

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Запишем закон всемирного тяготения:

Из формулы видно, что сила гравитационного притяжения обратно пропорционально квадрату расстояния между телами массами m₁ и m₂.

R₂ больше R₁ втрое (6 больше 2 в 3 раза). Следовательно, расстояние между шарами тоже увеличилось втрое. В таком случае сила гравитационного притяжения между ними уменьшится в 3 2 раз, или в 9 раз. Так как в первом случае эта сила была равна 1 нН, то во втором она составит в 9 раз меньше, или 1 нН.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Две звезды одинаковой массы m притягиваются друг к другу с силами, равными по модулю F. Чему равен модуль сил притяжения между другими двумя звёздами, если расстояние между их центрами такое же, как и в первом случае, а массы звёзд равны 3m и 4m?

Источник

Закон всемирного тяготения. Сила тяжести

Урок 16. Подготовка к ЕГЭ по физике. Часть 1. Механика.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Закон всемирного тяготения. Сила тяжести»

В данной теме речь пойдёт о законе всемирного тяготения и силе тяжести. Также будет рассмотрено движение планет и искусственных спутников.

В курсе физики 7 класса говорилось о явлении всемирного тяготения, которое заключается в том, что между всеми телами во Вселенной действуют силы притяжения.

Каждый человек ощущает силу притяжения к Земле, благодаря которой люди могут ходить, бегать и прыгать. И именно эта сила действует на людей, когда они падают, споткнувшись или поскользнувшись.

Так почему Земля притягивает к себе все тела? А какие причины вызывают движение Луны вокруг Земли практически по круговой орбите? И почему планеты Солнечной системы, в том числе и наша Земля, движутся вокруг Солнца?

Первым ученым, который сначала высказал гипотезу, способную ответить на эти и многие другие «ПОЧЕМУ?», а потом строго ее доказал, был сэр Исаак Ньютон. Конечно же многие ученые и до Ньютона, пытались ответить на этот извечный вопрос. Среди них и Николай Коперник, предложивший гелиоцентрическую систему мира, и Иоганн Кеплер, сформулировавший первые количественные законы, открывшими путь к идее всемирного тяготения. И результаты опытов Галилео Галилея, достигнутые им при изучении законов падения тел, и предположение Эдмунда Галлея, который показал, что из третьего закона Кеплера должно следовать, что сила тяготения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Все, казалось, предугадано, однако сформулировать закон никто не мог, поставленная задача оставалась не решенной.

И только невиданная способность выделять в сложности явлений физическую основу и математический гений Ньютона позволили ему решить задачу до конца. Он предположил, что между любыми телами существуют силы тяготения и, например, падение пушечного ядра на Землю и движение Луны по своей орбите определяется силой притяжения Земли. Чтобы установить закон, которому подчиняются силы тяготения, Ньютон сравнил траектории и ускорения этих тел. Так ядро, вылетевшее с некоторой скоростью из пушки, движется к Земле по криволинейной траектории. Если увеличить скорость вылета ядра, то дальность полета, естественно, увеличиться.

Из-за кривизны поверхности Земли при определенной начальной скорости ядро вообще может не достигнуть Земли и начнет двигаться вокруг нее подобно Луне.

Из этого мысленного эксперимента Ньютон сделал важный вывод, что движение ядра и движение Луны обусловлены одной и той же причиной — притяжением Земли.

В тоже время, по известным астрономическим данным (расстоянию до Луны и периоду ее обращения вокруг Земли), можно было определить центростремительное ускорение Луны. Вычисленное таким образом ускорение оказалось равным

Это примерно в 3600 раз меньше, чем ускорение свободного падения камня, движущегося у поверхности Земли.

Так как Луна приблизительно в 60 раз дальше от центра Земли, чем ядро, то Ньютон предположил, что ускорение, которое сообщает телам сила тяготения Земли, обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли.

Поскольку ускорение прямо пропорционально действующей на тело силе, то сила тяготения Земли также по величине обратно пропорциональна квадрату расстояния до ее центра.

Опыты Галилея доказали, что ускорение свободного падения не зависит от массы падающего тела. А это возможно только в том случае, если сила тяготения пропорциональна массе.

С другой стороны, известно, что во взаимодействии всегда участвуют два тела, на каждое из которых по третьему закону Ньютона действуют одинаковые по модулю силы. Следовательно, сила тяготения должна быть пропорциональна массе обоих тел. Так Ньютон пришел к выводу о том, что сила тяготения между телом и Землей пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами.

В настоящее время принята следующая формулировка закона всемирного тяготения: две материальные точки притягиваются друг к другу с силами, модули которых прямо пропорциональны произведению масс этих точек и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними.

Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной. Она отсутствовала в явном виде у Ньютона и в работах других ученых вплоть до начала 19 века. И впервые была введена только после перехода к единой метрической системе мер. А определена она была впервые английским физиком Генри Кавендишем с помощью прибора, называемого крутильными весами.

В настоящее время, а точнее с 2014 года, комитетом данных для науки и техники рекомендовано следующее значение гравитационной постоянной:

При решении задач будем пользоваться округленным до десятых значением данной константы.

Следует отметить, что силы всемирного тяготения — это самые универсальные из сил природы, так как действуют между любыми телами.

Исторически сложилось, что силой тяжести называется сила, с которой Земля притягивает к себе тело.

В записанной формуле масса данного тела — величина постоянная, и, следовательно, силу тяжести определяет ускорение свободного падения.

Согласно закону всемирного тяготения, ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли зависит только от массы планеты и от ее радиуса, и поэтому его модуль одинаков для всех тел.

Если высотой тела над поверхностью Земли пренебречь нельзя, то модуль ускорения свободного падения будет тем меньше, чем дальше тело от поверхности.

Поэтому часто для ускорения свободного падения вблизи поверхности вводят индекс «0», а для ускорения свободного падения на некоторой высоте от поверхности — индекс «h».

Рассмотрим, какие еще факторы влияют на модуль ускорения свободного падения, например, вблизи данной точки земной поверхности? Во-первых, это то, что планета не является шаром. Форма Земли в честь ее греческого имени Гея носит название «геоид», так как радиус кривизны ее поверхности у полюсов больше, чем на экваторе.

Во-вторых, планета не однородна по строению. Она состоит из различных слоев, в которых есть области различной плотности, например, залежи нефти, газа или тяжелых металлов.

В-третьих, не учитывается суточное вращение Земли.

В-четвертых, при расчетах ускорения свободного падения, не учитывается гравитационное взаимодействие Земли с другими космическими телами: Луной, Солнцем и другими планетами.

Именно поэтому модуль ускорения свободного падения отличается для различных точек на поверхности нашей планеты. Стандартное значение ускорения свободного падения было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле, оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5º на уровне моря.

При решении большинства задач, если в условии ничего не сказано о форме планеты, ее строении и параметрах вращательного движения, используют простейшую модель гравитационного взаимодействия и полученные формулы, считая планету идеальным шаром.

Исаак Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения, опираясь на астрономические данные о движении планет Солнечной системы. И, как отмечалось ранее, в Солнечной системе гравитационные взаимодействия существуют между всеми телами, входящими в нее: Солнцем, планетами, их спутниками, кометами и астероидами. В физических задачах, как правило, рассматривается упрощенная модель движения космических тел и учитывается лишь самая большая из гравитационных сил, действующих на тело. Например, обычно считается, что Земля движется по своей орбите только под действием притяжения Солнца. А Луна движется вокруг Земли только под действием земного притяжения.

В Солнечной системе вокруг многих планет вращаются космические тела, которые называют спутниками. Спутник — это небесное тело, обращающееся по определённой траектории вокруг другого объекта (например, планеты) в космическом пространстве под действием гравитации.

Различают искусственные и естественные спутники. Искусственный спутник — это любой объект, созданный руками человека и движущийся вокруг данного небесного тела. Для вывода спутника на орбиту необходима работа мощных двигателей, но при движении спутника по постоянной орбите двигатели на спутнике выключены. Почему же спутник движется по орбите? Чтобы ответить на данный вопрос, рассмотрим упрощенную модель движения искусственного спутника.

Будем считать, что он движется с постоянной по модулю скоростью по круговой орбите вокруг данной планеты в безвоздушном пространстве и только под действием ее сил тяготения. Силами тяготения со стороны других космических тел можно пренебречь. Если нет сопротивления воздуха, а сила тяготения в любой момент перпендикулярна скорости движения, то создаваемое ею ускорение также перпендикулярно скорости и не может изменять ее модуль. Вот почему такой идеальный спутник должен бесконечно долго вращаться по своей орбите с выключенными двигателями. Реальные искусственные спутники Земли постепенно приближаются к ее поверхности, и в конце концов попадая в атмосферу, сгорают в ней.

Какова должна быть скорость спутника, чтобы он двигался по круговой орбите? Определим эту скорость, считая, что спутник движется на высоте h над поверхностью однородной шарообразной планеты массы M и радиуса R. Так как движение происходит по окружности, то спутник имеет центростремительное ускорение, которое ему сообщает сила тяготения

Также центростремительное ускорение спутника можно определить на основании второго закона Ньютона

Сравнивая две формулы для определения центростремительного ускорения спутника, можно легко определить его скорость движения по орбите на высоте h над поверхностью.

Преобразуем записанную формулу, с учетом уравнения, для определения модуля ускорения свободного падения вблизи поверхности планеты

Первой космической скоростью для планеты называется скорость, которую нужно сообщить спутнику, чтобы он двигался по круговой орбите вблизи поверхности планеты.

Тогда величина первой космической скорости определяется по формуле:

Так, например, при движении спутников на высоте 200–300 км от поверхности Земли первая космическая скорость равна 7,9 км/с.

Из приведенных формул следует, что, чем выше над поверхностью планеты расположена орбита спутника, тем меньше его скорость и тем больше его период обращения.

– Сформулирован закон всемирного тяготения, установленный Ньютоном в 1667 году.

– Рассмотрены сила тяжести и ускорение свободного падения. А также поговорили о движении планет и искусственных спутников.

Источник