Доказать по определению что для произвольных множеств справедливо тождество

Доказать тождество (по определению)

Выручайте. Я думаю тут все просто, но додуматься не могу.

Доказать, что для произвольных множеств A, B и C справедливо тождество (по определению).

Доказать тождество
Здравствуйте. Помогите пожалуйста со вторым заданием. Как доказать такое тождество?

Доказать тождество
Здравствуйте! Подскажите пожалуйста, как доказать тождество, используя свойства операций над.

Доказать тождество
И «хрестик» это декартово произведение. тождество

Доказать тождество
x → y ∧ z = (x → y) ∧ (x → z)

Знаний увы нехватило. Я заочник, один раз решил. Решил увы неправильно, а посоветоваться не с кем.

Добавлено через 1 минуту
Ну нет так нет.

Там СДНФ не нужна. Нужно по определению доказать.
A\B=<×|× принадлежит А, но х не принадлежит В>.
Не то направление вы мне задали.
Ладно, спасибо.

Добавлено через 1 час 53 минуты
Ну может так хоть подскажете.
Я начал так:
Пусть х принадлежит (А\В)\С, то х принадлежит (А\В), но х не принадлежит С
Если х принадлежит А, но х не принадлежит В, то х принадлежит (А\В)
Если х принадлежит А, но х не принадлежит С, то х принадлежит (А/С), следовательно х ринадлежит (А\С)\(В\С)

Да, вот правильное начало.
И отсюда нужно вывести, что x принадлежит (А\С)\(В\С).

А Вы не пробовали нарисовать, как выглядит (А\В)\С на диаграмме?

Диаграммы я нарисовал. Вот короче что у меня вышло.

Наоборот. Вместо того, чтобы писать «Если х принадлежит А», надо это обосновать.

Добавлено через 13 минут

Теперь про x известно:

Используя эти результаты, можно делать дальнейшие выводы.

Доказать тождество
Проверить тождество A\(B∩C) = (A\B)∪(A\C). Буду очень благодарен вашей помощи.

Доказать тождество
Объясните, как доказать тождество по дискретной математике.

Доказать тождество
Доказать, что A\subseteq B тогда и только тогда, если A\bar = \phi

Источник

Доказать соотношение для множеств

Доказать соотношение для множеств
Здравствуйте, помогите пожалуйста, разобраться: Пусть А, В, С подмножества некоторого множества х.

Доказать соотношение множеств
Помогите пожалуйста с доказательством данного соотношения, сколько сижу и думаю, а в голову ничего.

Доказать для всех множеств X, Y, Z
(a) Если (X ∪ Z) = (Y ∪ Z) и (X ∩ Z) = (Y ∩ Z), то X = Y. (b) Если (X ∩ Z) ⊆ Y ⊆ (X ∪ Z), то.

Левая часть . Не знаю как как развиться далее

Добавлено через 7 минут
Возможно,

Добавлено через 3 минуты
неправда

Добавлено через 1 минуту
Вот так скорее

Первая фраза в доказательстве утверждения вида P Q есть «Предположим P и докажем Q». Позже нужно рассмотреть и обратное направление, доказательство которого начинается с фразы «Предположим Q и докажем P».

Первая фраза в доказательстве утверждения вида X ⊆ Y есть «Рассмотрим произвольный x ∈ X и докажем x ∈ Y».

С учетом этого напишите первые две фразы доказательства вашей эквивалентности.

Источник

Текст книги «Дискретная математика. Краткий курс. Учебное пособие»

Автор книги: Александр Казанский

Жанр: Прочая образовательная литература, Наука и Образование

Текущая страница: 2 (всего у книги 16 страниц) [доступный отрывок для чтения: 6 страниц]

1.8. Алгебра множеств и двойственность

Абстрактная алгебра занимается изучением операций, производимых над некоторыми элементами. К настоящему времени идеи абстрактной алгебры используются не только для математических методов, но и позволяют получать практические результаты. Операции объединения, пересечения и дополнения, производимые над множествами, удовлетворят определенным законам (или тождествам) и образуют алгебру множеств. Поскольку числовая алгебра появилась раньше, то возникает вопрос, какая из операций (пересечение или объединение) «похожа» на операцию сложения чисел и какая – на операцию умножения. Ответить на этот вопрос едва ли возможно. Для чисел, например, выполняется только дистрибутивность умножения относительно сложения, а в алгебре множеств рассматривают два закона дистрибутивности: пересечения относительно объединения и объединения относительно пересечения.

Важным при выполнении операций является их приоритет. Сначала выполняется операция дополнения, затем пересечения и затем объединения.

Множества удовлетворяют следующим законам (или тождествам):

Принцип двойственности алгебры множеств

Нетрудно заметить, что тождества в таблице располагаются парами, например первое тождество A ∩ B = B ∩ A имеет парное A ∪ B = B ∪ A, и это выполняется для всех остальных законов алгебры множеств.

Принцип двойственности состоит в том, что если верно какое-либо тождество, то тождество, полученное из него путем замены каждой из операций ∩, ∪, а также U и Ø на операции ∪, ∩, Ø и U, соответственно, будет также верно. Поэтому у любого тождества есть его «двойник», отличающийся тем, что у него каждая операция замена на парную ей (объединение на пересечение, а пересечение на объединение) и при этом пустое множество заменяется на универсальное, а универсальное на пустое. Принцип двойственности очень важен, поскольку если доказана истинность какого-либо выражения, то истинность двойственного ему можно не доказывать – оно будет истинно вследствие данного принципа. Например, для верного тождества

двойственное ему будет также верным тождеством

Или для верного тождества

1.9. Доказательство тождеств с множествами

Для доказательства равенства тождеств обычно используются четыре метода:

1) элементный метод;

4) алгебраический метод.

Элементный метод основан на том, что для произвольно выбранного элемента x из множества, заданного в левой части тождества, доказывается, что этот элемент принадлежит и множеству правой части этого тождества. Затем выбирается произвольный элемент из правой части и показывается, что он входит и в левую часть. Вместе это доказывает, что оба множества состоят из одних и тех же элементов.

Докажем далее законы алгебры множеств.

Доказательство коммутативности (или сочетательного свойства) операций объединения и пересечения самоочевидно, поскольку ни в определении пересечения, ни в определении объединения ничего не говорится о порядке подмножеств.

Ассоциативность (или сочетательный закон) также просто доказывается. Покажем, что (A ∩ B) ∩ C ⊆ A ∩ (B ∩ C). Если x ∈ (A ∩ B) ∩ C, то x ∈ (A ∩ B) и x ∈ С, из x ∈ (A ∩ B) следует, что x ∈ А и x ∈ B, т. е. x принадлежит всем трем множествам A, B и C. Следовательно, x ∈ (B ∩ C) и x ∈ A ∩ (B ∩ C). Обратное включение показывается аналогично, поскольку множество в правой части тождества также образовано из элементов (и только из таких), которые входят в каждое из множеств A, B и C. Ассоциативность для операции объединения следует из того, что элементы в множестве левой части тождества и элементы в множестве правой части состоят из таких и только таких элементов, которые принадлежат по крайней мере одному из подмножеств A, B и C.

Идемпотентность означает, что если x ∈ A ∩ A, то, значит, x принадлежит пересечению множества A с самим собой, т. е. x принадлежит самому множеству A. Если элемент x ∈ A ∪ A, то x принадлежит объединению множества A с самим собой, т. е. и в этом случае он принадлежит только множеству A.

Докажем дистрибутивность пересечения относительно объединения.

Необходимо убедиться, что множества, стоящие в левой и правой частях этого тождества, состоят из одних и тех же элементов. Сначала покажем, что множество левой части включается в множество правой части.

Пусть x ∈ A ∩ (B ∪ C). Тогда по определению операции пересечения x ∈ A и x ∈ (B ∪ C). Если x ∈ B, то тогда x принадлежит и A и B и поэтому он принадлежит и их пересечению x ∈ (A ∩ B). Но поскольку x принадлежит объединению B и C, то он может принадлежать не только B, но и С и даже обеим этим множествам. Если x ∈ С, тогда он принадлежит и пересечению А и С, т. е. x ∈ (A ∩ C). Но отсюда можно видеть, что в любом из этих случаев x принадлежит к какому-то из множеств: либо (A ∩ B), либо (A ∩ C), и тогда в соответствии с определением операции объединения x принадлежит и объединению этих множеств x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) и поэтому A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Теперь покажем, что множество из правой части включается в множество левой.

Пусть x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Если x ∈ (A ∩ B), то отсюда x ∈ A и x ∈ В. Но поскольку x ∈ В, то он принадлежит и объединению множества В с любым другим множеством, в частности и с множеством С, т. е. x ∈ (B ∪ C). В связи с тем, что x входит в множество A и в множество (B ∪ C), то он входит и в их пересечение. Если же x ∈ (A ∩ C), то тогда x ∈ A и x ∈ С. Но поскольку x ∈ С, то он принадлежит и объединению В с любым другим множеством, т. е. x ∈ (B ∪ C). Поскольку и в этом случае x входит в оба множества: и в А и в (B ∪ C), то он входит и в их пересечение x ∈ A ∩ (B ∪ C), поэтому(A ∩ B) ∪ (A ∩ ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C).

Докажем теперь двойственное тождество, т. е. дистрибутивность объединения относительно пересеченияA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Для этого надо показать, что всякий элемент x множества A ∪ (B ∩ C) принадлежит и множеству (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Если элемент x принадлежит множеству А, то он принадлежит и множеству A ∪ (B ∩ C), потому что оно содержит множество А. В то же время если x ∈ A, то он входит и в пересечение (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Допустим, x не является элементом множества А. Тогда он должен принадлежать пересечению (B ∩ C), а также каждому из множеств B и C в отдельности. Тогда по определению операции объединения x ∈ (A ∪ B) и x ∈ (A ∪ С). Из этого следует, что x принадлежит и пересечению этих множеств (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). И в том и в другом случае x из левого множества входит и в правое. Пусть x принадлежит правому множеству. Тогда если он принадлежит множеству А, то он принадлежит и множеству A ∪ (B ∩ C) по определению объединения. Если он не принадлежит А, то тогда он принадлежит и В и С в отдельности, а значит, он принадлежит и пересечению (B ∩ C) и поэтому в каждом из этих случаев любой элемент из правого множества входит в левое множество, что и требовалось доказать.

Докажем законы поглощения.

Доказательство обоих законов очевидно. Пусть, например, x ∈ A ∩ (А ∪ В). Тогда мое x ∈ A и x ∈ (А ∪ В). Если допустить, что поскольку x принадлежит объединению А и В, то он принадлежит множеству В, но не принадлежит множеству А, но это приводит к противоречию, поскольку по определению пересечения x ∈ A. Другими словами, любой элемент левого множества может быть только из множества А.

Для доказательства закона де Моргана (A ∩ B)С = AC ∪ BC покажем сначала, что левое множество включается в правое (A ∩ B) С ⊆ AC ∪ BC. Пусть x∈(A ∩ B)С. Тогда x ∉ A ∩ B. Из этого следует, что х не входит в оба множества одновременно, т. е. он не входит либо в А, либо в В. Если он не входит в А, то тогда он входит в АС, а если он не входит в В, то тогда он входит в ВС. Отсюда следует, что х ∈ AC ∪ BC и поэтому (A ∩ B) С ⊆ AC ∪ BC.

Докажем теперь, что всякий элемент х из множества AC ∪ BC принадлежит и множеству (A ∩ B)С. Если x ∈ AС, то тогда x ∉ A и поэтому х не может принадлежать пересечению x ∉ A ∩ B. Если x ∈ ВС, то тогда x ∉ В и поэтому х также не может принадлежать пересечению x ∉ A ∩ B. В любом из этих случаев x ∉ A ∩ B и потому x ∈ (A ∩ B)С.

Докажем двойственный закон де Моргана (A ∪ B)C= = АC ∩ ВC. Поскольку элемент х принадлежит множеству (A ∪B)C тогда и только тогда, когда он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В, то из этого следует, что он должен входить и в множество АC, и в множество ВC, т. е. в их пересечение АC ∩ ВC. С другой стороны, если х входит в пересечение АC ∩ ВC, то он не может входить ни в А, ни в В, потому что в пересечении дополнений множеств ни могут находиться элементы самих этих множеств. Но тогда х входит в дополнение к их объединению, т. е. x ∈ (A ∪ B)С, что и требовалось доказать.

Доказательство закона инволюции (AC)C = A следует из того факта, что любой элемент из U принадлежит либо А, либо AC. Поэтому когда берется дополнение к множеству А, то получается множество АС, а когда берется дополнение к АС, то снова получается множество А.

Законы дополнения и тождества очевидны и не требуют доказательства.

Второй метод доказательства равенства тождеств состоит в использовании диаграмм Венна. Однако здесь иногда приходится рассматривать всевозможные случаи, при которых множества не имеют общих элементов, пересекаются или вкладываются друг в друга.

Докажем, например, закон де Моргана (A ∩ B)С = AC ∪ BC. На рис. 1.9 представлены три случая: (а) когда А и В не пересекаются, (b) когда А включается в В и (с) когда в пересечение входят элементы и из А, и из В (имеется и случай, когда В включается в А, но он аналогичен случаю (b)). На рис. 1.9 (d), (e) и (f) показаны их дополнения. Далее на (а1), (b1) и (с1) показаны множества (AC ∪ BC) для каждого из этих случаев. Можно видеть, что на каждом рисунке области для множества (A ∩ B)С и множества (AC ∪ BC) одинаковые во всех трех случаях и поэтому эти множества равны.

Рассмотрим табличный метод доказательства равенства множеств. Докажем ассоциативность пересечения (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Пусть имеется диаграмма Венна для трех множеств A, B и С из универсального множества U на рис. 1.10. Три овальные области представляют собой множества A, B и С. Прямоугольная область определяет множество U, и она разбита на восемь областей, которые помечены цифрами от 0 до 7. Можно видеть, что область разбиения 7 определяет множество A ∩ B ∩ C, область 6 – множество A ∩ B ∩ CС и т. д. Чтобы по диаграмме Венна проверить ассоциативность пересечения, можно использовать следующую идею. Заменим множества A, B и С и их пересечения на соответствующие им множества из областей разбиения на этой диаграмме. Множество А заменяется на <4, 5, 6, 7>, В – на <2, 3, 6, 7>и С – на <1, 3, 5, 7>, A ∩ B – на <6, 7>, B ∩ C – на <3, 7>.

Несмотря на то, что множества А, В и С могут быть какими угодно, доказать любое тождество для этих множеств можно, сведя доказательство к проверке этого тождества на уменьшенных множествах разбиения.

Нетрудно увидеть, что и левое, и правое множества этого тождества состоят из одного-единственного элемента 7, что и доказывает ассоциативность пересечения множеств.

Докажем то же самое используя табличный метод. Для этого построим таблицу, столбцы которой соответствуют различным множествам тождества, а каждая строка соответствует одному из множеств разбиения (строк 8, поскольку разбиение состоит из 8 множеств в соответствии с рис. 1.9). Строки содержат ответы на вопрос, входит ли соответствующее данной строке множество разбиения во множество доказываемого тождества или нет. Три первые столбца таблицы дают ответы, входит ли соответствующее множество разбиения во множество А, во множество В и во множество С. Столбец «Левая часть» соответствует левой части доказываемого тождества (A ∩ B) ∩ C, столбец «Правая часть» – правой части A ∩ (B ∩ C).

Поскольку ответы для всех строк «Левой части» те же самые, что и для «Правой части», тождество является доказанным. Табличный метод особенно удобен при построении доказательств с использованием компьютера.

Алгебраический метод основывается на идее разбиения доказательства на шаги, при этом переход от одного шага к следующему осуществляется за счет применения какого-либо закона алгебры множеств (например, закона ассоциативности, дистрибутивности, поглощения и т. д.). Доказательство требует хорошего знания базисных законов алгебры множеств, а также определенный опыт их применения. Рассмотрим метод на следующем примере. Пусть требуется доказать, что

При переходе от одного шага к другому будем указывать (в правой части соответствующей строки) причины, позволяющие делать такие переходы:

В этом примере левое выражение преобразовано в правое. Это преобразование облегчается тем обстоятельством, что известно, какое выражение должно быть получено. В то же время можно и правое выражение привести к левому. Чтобы понять, как это сделать, достаточно просмотреть первое преобразование от конца к началу. Какой путь легче, не всегда бывает сразу ясно, поэтому иногда необходимо попробовать оба способа, чтобы добиться правильного результата.

1.10. Математическая индукция

Имеется следующее существенное свойство множества натуральных чисел:

N = <1, 2, 3, …>, которое используется при построении различных доказательств.

Принцип математической индукции

Пусть Р – некоторое утверждение, определенное на положительных целых N, т. е. утверждение Р(n) либо истинно, либо ложно для каждого n из N. Если для Р выполняются два следующих свойства:

2) P(n+1) истинно, если истинно P(n), тогда Р истинно для каждого положительного целого.

Обычно этот принцип используется как аксиома для доказательства других результатов. Используем его для доказательства следующего результата.

Путь Р будет утверждением, что сумма первых n натуральных чисел, возведенных в куб, равна

Легко видеть, что P(n) истинно при n = 1, т. е. P(1): 13 =

Допустим теперь, что P(n) истинно и докажем, что P(n+1) также будет истинно. Для этого прибавим к обеим частям выражения для P(n) следующее слагаемое (n+1)3:

Преобразуем далее правую часть

Таким образом, P(n+1) истинно, когда истинно P(n). Теперь по принципу математической индукции утверждение Р истинно для всех n. Иногда принцип математической индукции записывают в более удобном для использования виде

Данное произведение размещено по согласованию с ООО «ЛитРес» (20% исходного текста). Если размещение книги нарушает чьи-либо права, то сообщите об этом.

Источник

Алгебра множеств. Доказать тождество

Доказать тождество алгебры множеств А\(А\В)=А^В
Доказать тождество алгебры множеств А\(А\В)=А^В(объединение) Спасибо) Добавлено через 1 минуту.

Теория множеств. Доказать тождество
(A\bigcup B)\bigcap (A \bigcap not B)\bigcap (B/A) = пустое множество.

Доказать тождество для множеств
Докажите,что (A\cap B)\cup(A\cap B)=A Буду очень благодарен за ответ.

Замените + по определению и примените некоторые законы, например, дистрибутивность и тот факт, что есть универсальное множество.

Доказать тождество теории множеств.
Помогите пожалуйста решить! A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A \cap C) Доказать.

Доказать тождество, используя алгебру множеств
Доказать тождество (A∩B)\(A∪B)=пустое множество кругами Эйлера сделал. а вот как иначе не знаю?

Доказать следующее тождество теории множеств
A\cap\(B\cap C)=(A\cap B)\cap C Ниже привожу собственное доказательство, походящей больше на.

Доказать равенство тождество для множеств.
Доказать по определению, что для произвольных множеств А, В справедливо тождество (см. ниже).

Доказать тождество, используя законы алгебры множеств
доказать тождество графически и с помощью алгебраических преобразований используя законы алгебры.

Источник