Доказательство что прямоугольник это параллелограмм
Прямоугольник
Частным видом параллелограмма является прямоугольник.
| Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые |
Особое свойство прямоугольника
Доказательство
Доказать: AC = DB
Доказательство:
Теорема
Доказательство
Доказательство:
Рассмотрим 
ABD иACB:
Теорема
Доказательство
Доказательство:
Противолежащие углы параллелограмма равны, 
A = C = 90 0 и В = D = 90 0
Две теоремы, доказанные выше, называют признаками прямоугольника.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Параллелограмм — признаки и свойства
Клод Бернард однажды сказал:
«Думать, что всё знаешь, останавливает тебя от того, чтобы учиться новому»
Давай узнаем что-то новое сегодня, разбирая, казалось бы, такую простую тему!
Статья поможет тебе окончательно разобраться с самыми «популярными» параллелограммами, а наши вебинары дадут тебе необходимую практику.
И на ЕГЭ ты сможешь решить любую задачу на эту тему!
Параллелограмм — коротко о главном
Параллелограмм – четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
Прямоугольник – четырехугольник, все углы которого прямые: \( \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90<>^\circ \).
Свойства прямоугольника:
Ромб – четырехугольник, все стороны которого равны между собой: \( \displaystyle AB=BC=CD=DA\).
Свойства ромба:
Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а все углы – прямые: \( \displaystyle AB=BC=CD=DA\); \( \displaystyle \angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90<>^\circ \).
Свойства квадрата:
\( \displaystyle ABCD\) – ромб
Как доказать, что фигура – параллелограмм? Какие его признаки?
Содержание:
Параллелограммом – 4-угольник, где противоположные стороны попарно параллельные, одинаковые по длине, а диагонали в точке пересечения делятся на равные отрезки. Изучим признаки параллелограмма по двум, четырём сторонам, внутренним углам, центру симметрии.
Что такое параллелограмм, свойства фигуры
Особенность высоты геометрической фигуры – отрезка, опущенного из любой точки многоугольника на противоположную ей сторону: отсекает от фигуры равнобедренный треугольник.
Свойства биссектрис – отрезков, делящих углы пополам:
У 4-угольника противоположные углы равны, а сумма прилегающих к одному отрезку составляет 180°.
Как доказать, что фигура параллелограмм
Признаки
Дан 4-угольник, где AB=CD, BC=AD. Доказать, что AB∥CD, BC∥AD.
Проведём диагональ BD. В итоге получим пару одинаковых треугольников, исходя из условий задачи и общего отрезка BD.
Отсюда вытекают равенства: ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 – подобные треугольники имеют одинаковые по величине углы, образованные подобными сторонами. Значит AB∥CD и BC∥AD (из свойства: если накрест расположенные углы равны, значит прямые будут параллельными).
В данном четырёхугольнике BC=AD, BC∥AD. Нужно доказать параллельность AB и CD для подтверждения, что это параллелограмм.
Исходя из условий, понимаем, что BCD и ABD – подобные треугольники. Из условия задачи: BC = AD, BD – общая для обоих, значит, ∠2 = ∠3 – следствие того, что накрест лежащие углы подобные. Из равенства 3-угольников: ∠1 = ∠4 получается, что AB параллельна CD.
Признаки параллелограмма по диагоналям с доказательством
Четырёхугольник обладает и прочими особенностями, рассмотрим одну на примере задачи: докажите признак параллелограмма по точке пересечения диагоналей.
Треугольник AOD равен BOC, потому что AD=BC – лежащие напротив стороны четырёхугольника. ∠1=∠2, ∠3=∠4 – они лежат накрест и параллельных прямых. Если треугольники подобные, значит: OC=OA, OB=OD.
Прочие способы как доказать параллелограмм
Получается, треугольник OAF равен OCE, потому что у них стороны AO = OC. Углы, расположенные у общей вершины O, также равны, ведь они вертикальные. ∠1=∠2 – следствие равности накрест лежащих при параллельных прямых углов. Как результат: OF=OE.
Если у четырёхугольника есть точка, которая обладает описанным свойством, её называют центром симметрии этой геометрической фигуры. Для рассматриваемого многоугольника центром симметрии является точка O, разделяющая диагонали на подобные отрезки.
При повороте геометрической фигуры вокруг центра симметрии на 180° она будет совмещена с предыдущим местоположением, ведь противоположные точки поменяются местами относительно оси симметрии.
Для проверки качества усвоения материала самостоятельно сформулируйте признаки параллелограмма без доказательств.
Прямоугольник и Параллелограмм
Прямоугольник и параллелограмм
Свойства параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.
2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник.
Площадь параллелограмма:
1. Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.
2. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
Подставим в формулу известные данные и значения сторон, записанные через «х».
За «х» брали меньшую сторону параллелограмма, следовательно, это и есть ответ.
Свойства прямоугольника:
1. Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтому у него присутствуют все свойства параллелограмма).
2. Диагонали прямоугольника равны.
Площадь прямоугольника равна половине произведения смежных (соседних) сторон.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Подставляем найденную длину в формулу косинуса
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
Прямоугольник. Его свойства и признаки.
Приступаем к изучению разных видов параллелограмма.
Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Поскольку прямоугольник – это параллелограмм, то он обладаем теми же свойствами, что и параллелограмм. Кроме того, у него есть ещё свои, особые свойства.
Рассмотрим эти свойства.
ТЕОРЕМА (СВОЙСТВО I ). У прямоугольника диагонали равны.
ТЕОРЕМА (СВОЙСТВО II ). У прямоугольника каждая диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника.
по III признаку равенства треугольников. по определению прямоугольника. Значит, треугольники и – равные и прямоугольные, ч.т.д.
Итак, прямоугольник обладает следующими свойствами :
У прямоугольника противолежащие стороны и углы равны.
У прямоугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У прямоугольника диагонали равны.
У прямоугольника каждая диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника.
Стороны прямоугольника являются его высотами.
Выясним теперь, по каким признакам можно утверждать, что геометрическая фигура является прямоугольником.
ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК I ). Если у четырёхугольника три угла прямые, то такой четырёхугольник является прямоугольником. 
2. по признаку параллельности прямых.
3. по признаку параллельности прямых.
5. Итак, – параллелограмм, у которого все углы прямые. По определению, такой параллелограмм является прямоугольником, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК II ). Если у параллелограмма диагонали равны, то такой параллелограмм является прямоугольником.
4. Итак, у параллелограмма все углы прямые, значит, он является прямоугольником (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК III ). Если у параллелограмма один угол прямой, то такой параллелограмм является прямоугольником. 
2. и – внутренние односторонние при параллельных прямых, значит, по свойству параллельных прямых, .
Периметр прямоугольника равен см, а одна из его сторон меньше другой на см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
В прямоугольнике перпендикуляры, проведённые из точки пересечения диагоналей к его сторонам, равны соответственно см и см. Найдите периметр прямоугольника.
Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки равной длины. Найдите периметр этого прямоугольника, если длина меньшей стороны прямоугольника равна см.
Периметр прямоугольника равен см. Найдите сумму расстояний от произвольной внутренней точки прямоугольника до его сторон.
по двум сторонам, имеющим общую вершину;
по стороне и диагонали;
по диагонали и углу между диагоналями;
по диагонали и сумме прилежащих сторон.
Периметр прямоугольника равен см. Найдите стороны прямоугольника, если одна из них в раз больше другой.
Периметр прямоугольника равен см. Найдите его стороны, если одна из них на см меньше другой.
Одна из сторон прямоугольника на см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен см.
Дан прямоугольник – точка пересечения его диагоналей. Докажите, что и – равные равнобедренные треугольники.
Найдите диагонали прямоугольника, если его периметр равен см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен см.
Докажите, что отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей прямоугольника с серединой стороны, перпендикулярен этой стороне.
Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ делит прямоугольник, равен см.
Расстояния от точки пересечения диагоналей прямоугольника до его сторон равны см и см. Найдите большую сторону данного прямоугольника.
Точка пересечения диагоналей прямоугольника отстоит от его сторон на расстояниях см и см. Найдите меньшую сторону данного прямоугольника.
Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей прямоугольника до всех его вершин равна см. Найдите диагональ данного прямоугольника.
Диагональ прямоугольника образует угол с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника.
Сумма расстояний от точки пересечения диагоналей прямоугольника до всех его сторон равна см. Найдите периметр данного прямоугольника.
В прямоугольнике – точка пересечения его диагоналей. Из точки к серединам сторон и проведены отрезки и соответственно. Найдите периметр прямоугольника. 
