Доказательство теории пуанкаре что дает
Что доказывает теорема Пуанкаре о возвращении
Все началось еще в конце XIX века, когда ученый из Франции, Анри Пуанкаре, изучал различные части систем, которые могут быть полностью проанализированы. Как обычно, звучит это не так сложно, но именно его труды легли в основу большой задачи и стали одной из загадок, которую ученые современности называют ”Задачами тысячелетия”. Думаю вы легко согласитесь, что если подождать достаточное количество времени, то планеты в небе выстроятся в нужную вам линию. Так же будет и с частицами газа или жидкости, которые могут сколько угодно менять свое положение, но теоретически в один из моментов времени выстроятся относительно друг друга так, как они располагались в момент начала измерений. На словах все просто — рано или поздно это случится, иначе быть не может. Вот только на деле доказать это довольно сложно. Именно над этим и работал Анри Пуанкаре больше века назад. Позже его теории были доказаны, но от этого не стали менее интересными.
Теорий, гипотез, теорем и просто рассуждений очень много. Все их надо доказывать.
Кто такой Анри Пуанкаре
Жюль Анри Пуанкаре (фр. Jules Henri Poincaré) родился 29 апреля 1854 в Нанси, Франция, а умер 17 июля 1912 в Париже, Франция. Он был французским ученым, в сферу интересов которого входили самые разные науки. Среди них были: математика, механика, физика, астрономия и философия.
Кроме того, что он занимался исследованиями, Анри Пуанкаре в разные годы также был главой Парижской академии наук, членом Французской академии и ещё более 30 академий мира, в том числе иностранным членом-корреспондентом Петербургской академии наук.
Физики зафиксировали квантовый шум в лаборатории LIGO – что нужно знать?
Чуть ли не единогласно историки называют Анри Пуанкаре одним из величайших математиков всех времён. Его ставили в один ряд с Гильбертом, последним математиком-универсалом, учёным, способным охватить все математические результаты своего времени.
Анри Пуанкаре сделал для математики настолько много, что некотрые его труды до сих пор приносят нам пользу.
Перу Анри Пуанкаре принадлежат более 500 статей и книг. Все это говорит о нем, как о гении, который даже спустя более 100 лет после своей смерти может изменить мир будущего своими теориями, формулами, рассуждениями и прочими научными трудами.
Что такое теорема возвращения Пуанкаре
Теорема Пуанкаре о возвращении — одна из базовых теорий эргодической теории. Её суть в том, что при сохраняющем меру отображении пространства на себя почти каждая точка вернётся в свою начальную окрестность. На это потребуется огромное, но конечное количество времени.
С одной стороны, все логично, но есть у данной теории и немного непонятное следствие. Например, у нас есть сосуд, который разделен перегородкой на два отсека. В одном находится газ, а во втором ничего. Если убрать перегородку, то газ заполнит собой весь сосуд. Если верить теории повторения, то рано или поздно все частицы газа должны выстроиться в изначальной последовательности в половине сосуда.
Немного развязывает руки то, что время, которое на это потребуется, может быть очень большим. Но такое следствие не совсем корректно, так как изменились условия наблюдения. Зато, если говорить о том, что перегородку мы убирать не будем, объем газа не изменится и ему не придется нарушать законы физики, произвольно меняя свою плотность, и частицы газа рано или поздно действительно займут те места, в которых они были на момент начала наблюдений.
Есть такие загадки науки, которые были понятны гению, но после него никто так и не может этого доказать. Хотя, все понимают, что автор был прав.
Теория Пуанкаре в квантовой системе
Если мы говорим о том, что в традиционной системе повторения возможны и даже неизбежны, то можно предположить, что в квантовой системе, в которой возможны несколько состояний, все немного иначе. Оказывается, это не так, и труды Пуанкаре могут быть применены и к квантовым системам. Однако правила будут немного иными.
Проблема применения заключаются в том, что состояние квантовой системы, которая состоит из большого количества частиц, не может быть измерено с большой точностью, не говоря уже об идеальном измерении. Более того, можно сказать, что частицы в таких системах можно рассматривать в качестве полностью независимых объектов. Учитывая запутанности, не сложно понять, что при анализе таких систем придется столкнуться с большим количеством сложностей.
Несмотря на это, ученые не были бы учеными, если бы не попытались продемонстрировать эффект повторения Пуанкаре в том числе и в квантовых системах. Сделать это у них получилось. Вот только пока это возможно только для систем с очень небольшим числом частиц. Их состояние нужно измерить как можно точнее и обязательно учесть его.
Сказать, что сделать это сложно — ничего не сказать. Главная сложность в том, что время, которое потребуется системе для возвращения в исходное состояние, будет очень сильно возрастать даже при незначительном увеличении количества частиц. Именно поэтому некоторые ученые анализируют не систему в целом, а ее отдельные частицы. Они пытаются понять, возможно ли возвращение к первоначальному значению некоторых участков этой системы.
Для этого они изучают и анализируют поведение ультрахолодного газа. Он состоит из тысяч атомов и удерживается на месте при помощи электромагнитных полей. Описать характеристики подобного квантового газа можно несколькими величинами. Они говорят о том, насколько тесно могут быть связаны частицы с помощью эффектов квантовой механики. В обычной жизни это не так важно и может даже показаться чем-то ненужным, но в квантовой механике это имеет решающее значение.
В итоге, если понять, как такие величины характеризуют систему в целом, можно будет говорить о возможности квантового возвращения. Получив такие знания, можно более смело говорить о том, что мы знаем, что такое газ, какие процессы в нем происходят и даже прогнозировать последствия воздействия на него.
Квантовые системы сильно отличаются от всего, что мы можем себе представить.
В последнее время ученые смогли доказать, что квантовые состояния могут возвращаться, но некоторые поправки в концепцию повторения внести все же стоит. Не стоит пытаться измерить всю квантовую систему в целом, ведь эта задача близка к невозможности. Куда правильнее будет сосредоточиться на некоторых ее элементах, которые можно измерить и предсказать поведение системы в целом.
Если сказать более смело, то такие исследования и наработки в сфере самых разных наук приближают создание настоящего квантового компьютера, а не тех тестовых систем, которые существуют сейчас. Если дело продвинется, то нас ждет большое будущее. А сначала казалось, что это просто измерение чего-то непонятного. Не так ли?
Теорема Пуанкаре простыми словами (6 фото)
Доказательство этой гипотезы российским математиком Григорием Перельманом привело к некоторым очень интересным выводам с точки зрения нашего понимания мира.
Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912) возглавлял Парижскую академию наук и был избран в научные академии 30 стран мира. Он имел масштаб Леонардо: его интересы охватывали физику, механику, астрономию, философию. Математики же всего мира до сих пор говорят, что только два человека в истории по-настоящему знали эту науку: немец Давид Гилберт (1862-1943) и Пуанкаре.
В 1904 году учёный опубликовал работу, содержавшую среди прочего предположение, получившее название теорема Пуанкаре. Поиск доказательства истинности этого утверждения занял около века.
Основатель топологии
Математический гений Пуанкаре впечатляет количеством разделов науки, где им были разработаны теоретические основы различных процессов и явлений. Во времена, когда ученые совершали прорывы в новые миры космоса и в глубины атома, было не обойтись без единой основы общей теории мироздания. Такой базой стали ранее неизвестные отрасли математики.
Пуанкаре искал новый взгляд на небесную механику, он создал качественную теорию дифференциальных уравнений, теорию автоморфных функций. Исследования ученого стали основой специальной теории относительности Эйнштейна. Теорема Пуанкаре о возвращении говорила среди прочего о том, что понять свойства глобальных объектов или явлений можно исследуя составляющие их частицы и элементы. Это дало мощный толчок научным поискам в физике, химии, астрономии и т.д.
Развитием неэвклидовой геометрии стало возникновение топологии – отрасли математики, которую называли геометрией размещения. Она изучает пространственные взаимоотношения точек, линий, плоскостей, тел и т.д. без учета их метрических свойств. Теорема Пуанкаре, ставшая символом самых трудноразрешимых задач в науке, возникла именно в недрах топологии.
Одна из семи задач тысячелетия
• Равенство классов P и NP (о соответствии алгоритмов решения задачи и методов проверки их правильности).
• Гипотеза Ходжа (о связи объектов и их подобия, составленного для их изучения из «кирпичиков» с определенными свойствами).
• Гипотеза Пуанкаре (всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере).
• Гипотеза Римана (о закономерности размещения простых чисел).
• Теория Янга — Миллса (уравнения из области элементарных частиц, описывающие различные виды взаимодействий).
• Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса (описывают турбулентность течений воздуха и жидкостей).
• Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера (об уравнениях, описывающих эллиптические кривые).
Каждая эта проблема имела очень долгую историю, поиски их решения приводили к возникновению целых новых научных направлений, но единственно правильные ответы на поставленные вопросы не находились. Понимающие люди говорили, что деньги фонда Клэя в безопасности, но так было лишь до 2002 года – появился тот, кто доказал теорему Пуанкаре. Правда, деньги он не взял.
Классическая формулировка
Гипотеза, для которой найдено подтверждение, становится теоремой, имеющей корректное доказательство. Именно это произошло с высказанным Пуанкаре предположением о свойствах трехмерных сфер. В более общем виде этот постулат говорил о гомеоморфности всякого многообразия размерности n и сферы размерности n как необходимом условии их гомотопической эквивалентности. Знаменитая теперь теорема Пуанкаре относится к варианту, когда n=3. Именно в трехмерном пространстве математиков ждали затруднения, для других случаев доказательства были найдены быстрее.
Чтобы хоть немного постичь смысл теоремы Пуанкаре, не обойтись без знакомства с основными понятиями топологии.
Гомеоморфизм
Топология, говоря о гомеоморфизме, определяет его как взаимно-однозначное соответствие между точками одной и другой фигуры, в некотором смысле неотличимость. Неподготовленному сложно даётся теорема Пуанкаре. Для чайников можно привести самый популярный пример гомеоморфных фигур – шар и куб, также гомеоморфны бублик и кружка, но не кружка и куб. Фигуры гомеоморфны, если одну фигуру можно получить произвольной деформацией из другой, причем это преобразование ограничено некоторыми свойствами поверхности фигуры: её нельзя рвать, прокалывать, разрезать.
Если куб раздуть, он легко может стать шаром, если шар примять встречными движениями, можно получить кубик. Наличие дырки у бублика и дырки, образованной ручкой у кружки, делает их гомеоморфными, та же дырка делает невозможным превращение кружки в шар или куб.
Связность
Дырка – важное понятие, определяющее свойства объекта, но категория совершенно не математическая. Было введено понятие связности. Его содержат многие топологические постулаты, в том числе и теорема Пуанкаре. Простыми словами можно говорить так: если поверхность шара обернуть петлей из резиновой ленты, она, сжимаясь, соскользнёт. Этого не произойдет, если имеется отверстие, как у тора-бублика, сквозь которое можно продеть эту ленту. Таким образом определяется главный признак сходства или отличия объектов.
Многообразие
Самая адекватная аналогия этих категорий – поверхность земли. Изображение её поверхности представляет собой карты отдельных её районов, собранные в атлас. На глобусе эти изображения обретают форму шара, который относительно пространства Вселенной превращается в точку.
Трехмерная сфера
Математики приводят ещё и такое описание трехмерной сферы: допустим, что к нашему привычному пространству, считаемому неограниченным и определяемому тремя координатами (X, Y, Z), добавлена точка (на бесконечности) таким образом, что в неё всегда можно попасть, двигаясь в любом направлении по прямой линии, т.е. любая прямая в этом пространстве становится окружностью. Говорят, что есть люди, которые могут это вообразить и спокойно ориентироваться в таком мире.
Для них обычное дело – трехмерный тор. Такой объект можно получить путем дважды повторенного совмещения в одну точку двух, расположенных на противоположных (например, правой и левой, верхней и нижней) гранях куба. Чтобы попытаться представить трехмерный тор с привычных нам позиций, следует провести абсолютно нереальный эксперимент: необходимо выбрать направления, взаимно перпендикулярные, – вверх, влево и вперед – и начать двигаться в любом из них по прямой. Через какое-то (конечное) время с противоположного направления мы вернемся в исходную точку.
Такое геометрическое тело имеет принципиальное значение, если хотеть понять, что такое теорема Пуанкаре. Доказательство Перельмана сводится к обоснованию существования в трехмерном пространстве лишь одного односвязного компактного многообразия – 3-сферы, другие, как 3-тор, неодносвязные.
Долгий путь к истине
Прошло более полувека, прежде чем появилось решение теоремы Пуанкаре для больших чем 3 размерностей. Стивен Смэйл (род. 1930), Джон Роберт Стэллингс (1935-2008), Эрик Кристофер Зиман (род. 1925) нашли решение для n, равного 5, 6 и равного или больше 7. Только в 1982 году Майкл Фридман (род. 1951) был удостоен высшей математической награды – Филдсовской премии – за доказательство теоремы Пуанкаре для более сложного случая: когда n=4.
Обыкновенный гений
Многие специалисты, особенно российские, отмечают что Григорий Яковлевич был подготовлен к невиданному взлету высоким классом ленинградской школы геометров, какую он прошел на мехмате Ленинградского госуниверситета и в аспирантуре при Математическом институте им. В.А. Стеклова. Став кандидатом наук, он стал работать в нем.
Трудное время 90-х заставило молодого ученого уехать на работу в США. Те, кто знал его тогда, отмечали его аскетизм в быту, увлечённость работой, прекрасную подготовку и высокую эрудицию, которые и стали залогом того, что Перельман доказал теорему Пуанкаре. Вплотную он занялся этой проблемой после возвращения в Санкт-Петербург в 1996 году, но начал думать над ней еще в США.
Верное направление
Григорий Яковлевич отмечает, что его всегда увлекали сложные проблемы, такие как теорема Пуанкаре. Доказательство Перельман стал искать в направлении, вынесенном из беседы с профессором Колумбийского университета Ричардом Гамильтоном (род. 1943). Во время пребывания в США он специально ездил из другого города на лекции этого неординарного ученого. Перельман отмечает прекрасное доброжелательное отношение профессора к молодому математику из России. В их разговоре Гамильтон упомянул о потоках Риччи – системе дифференциальных уравнений – как способе решения теорем геометризации.
Впоследствии Перельман пытался связаться с Гамильтоном и обсудить ход работы над задачей, но не получил ответа. Долгое время после возвращения на родину Григорий Яковлевич провел наедине с труднейшей задачей, которой была теорема Пуанкаре. Доказательство Перельмана – итог огромных усилий и самоотречения.
Гамильтон пришел в тупик, когда увидел, что при преобразованиях кривых под действием потоков Риччи образуются сингулярные (обращающиеся в бесконечность) зоны, которые не предусматривала теорема Пуанкаре. Простыми словами, Перельману удалось нейтрализовать образование таких зон, и многообразие благополучно превратилось в сферу.
Потоки Риччи
Односвязное 3-мерное многообразие наделяется геометрией, вводятся метрические элементы с расстоянием и углами. Легче понять это на одномерных многообразиях. Гладкая замкнутая кривая на эвклидовой плоскости наделяется в каждой точке касательным вектором единичной длины. При обходе кривой вектор поворачивается с определенной угловой скоростью, которая определяет кривизну. Где линия изогнута сильнее, кривизна больше. Кривизна положительна, если вектор скорости повернут в сторону внутренней части плоскости, которую делит наша линия, и отрицательна, если повернут вовне. В местах перегиба кривизна равна 0.
Нет пророка…
Он взошел на свой Эверест, каким признается математиками теорема Пуанкаре. Доказательство Перельман выложил в Интернет в виде трех небольших статей. Они немедленно вызвали ажиотаж, хотя русский математик не пошел положенной дорогой – публикация в специализированном журнале в сопровождении профессиональных рецензий. Григорий Яковлевич в течение месяца разъяснял в университетах США суть своего открытия, но число до конца понявших ход его мысли увеличивалось очень медленно.
Лишь через четыре года появилось заключение самых больших авторитетов: доказательства русского математика корректны, первая из проблем тысячелетия решена.
Эпоха соцсетей
Ему пришлось пережить ажиотаж и хамство в соцсетях, молчание тех, кого он уважал, и крики других, учивших его жизни. Энергичные китайцы сначала оценили его вклад в решение проблемы в 25 %, себе и другим насчитав 80! Потом вроде бы пришло мировое признание, но выдержать такое дано не каждому.
drumsmen
drumsmenПУСТЬ ВРЕМЯ ВАШИХ ПЕРЕМЕН РАБОТАЕТ НА ВАС!
«Задача тысячелетия», решенная российским математическим гением, имеет отношение к происхождению Вселенной. Понять суть загадки дано не каждому математику…
ИГРА РАЗУМА
Еще недавно математика не сулила ни славы, ни богатства своим «жрецам». Им даже Нобелевскую премию не давали. Нет такой номинации. Ведь, по весьма популярной легенде, жена Нобеля однажды изменила ему с математиком. И в отместку богач лишил всю их крючкотворную братию своего уважения и призовых денег.
Ситуация изменилась в 2000 году. Частный математический Институт Клэя (Clay Mathematics Institute) выбрал семь наиболее трудных задач и пообещал за решение каждой платить по миллиону долларов.
На математиков посмотрели с уважением. В 2001 году на экраны даже вышел фильм «Игры разума», главным героем которого стал математик.
Топология важна для математической физики, поскольку позволяет понять свойства пространства. Или оценить его, не имея возможности взглянуть на форму этого пространства со стороны. Например, на нашу Вселенную.
Как написал в своей популярной книге другой российский математик, Владимир Успенский, «в отличие от двухмерных сфер трехмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трехчлен».
Жюль Анри Пуанкаре предположил такое в 1904 году. Теперь Перельман убедил всех понимающих, что французский тополог был прав. И превратил его гипотезу в теорему.
Доказательство помогает понять, какая форма у нашей Вселенной. И позволяет весьма обоснованно предположить, что она и есть та самая трехмерная сфера.
Гениальный математик из Санкт-Петербурга Григорий Перельман, прославившийся на весь мир доказательством гипотезы Пуанкаре, наконец, объяснил свой отказ от присужденной за это премии в миллион долларов. Как утверждает «Комсомольская правда», ученый-затворник раскрылся в беседе с журналистом и продюсером кинокомпании «Президент-фильм», которая с согласия Перельмана будет снимать о нем художественную ленту «Формула Вселенной».
Пообщаться с великим математиком посчастливилось Александру Забровскому — он несколько лет назад уехал из Москвы в Израиль и догадался связаться сначала с мамой Григория Яковлевича через еврейскую общину Петербурга, оказав ей помощь. Она поговорила с сыном, и после ее хорошей характеристики тот согласился на встречу. Это поистине можно назвать достижением — журналистам не удавалось «поймать» ученого, хотя они сутками просиживали у его подъезда.
Как рассказал газете Забровский, Перельман произвел впечатление «абсолютно вменяемого, здорового, адекватного и нормального человека»: «Реалистичный, прагматичный и здравомыслящий, но не лишенный сентиментальности и азарта… Все, что ему приписали в прессе, будто он «не в себе», — полная чушь! Он твердо знает, чего хочет, и знает, как добиться цели».
Фильм, ради которого математик пошел на контакт и согласился помогать, будет не о нем самом, а о сотрудничестве и противоборстве трех основных мировых математических школ: российской, китайской и американской, наиболее продвинувшихся по стезе изучения и управления Вселенной.
На вопрос, почему Перельман отказался от миллиона, он ответил:
«Я знаю, как управлять Вселенной. И скажите — зачем же мне бежать за миллионом?»
Забровский разрешил изданию опубликовать фрагмент интервью с ученым, взятого на скамейке в сквере напротив Мариинского театра.
Ученого обижает, как его называют в российской прессе
Перельман объяснил, что не общается с журналистами, потому что тех занимает не наука, а вопросы личного и бытового характера — начиная с причин отказа от миллиона и заканчивая вопросом о стрижке волос и ногтей.
Конкретно с российскими СМИ он не хочет контактировать еще и из-за неуважительного к нему отношения. Например, в прессе его называют Гришей, и такая фамильярность обижает.
Григорий Перельман рассказал, что еще со школьных лет привык что называется «тренировать мозг». Вспоминая, как, будучи «делегатом» от СССР получил золотую медаль на математической олимпиаде в Будапеште, он сказал: «Мы пытались решать задачи, где непременным условием было умение абстрактно мыслить.
В этом отвлечении от математической логики и был главный смысл ежедневных тренировок. Чтобы найти правильное решение, необходимо было представить себе «кусочек мира».
В качестве примера такой «труднорешаемой» задачи он привел такую: «Помните библейскую легенду о том, как Иисус Христос ходил по воде, аки посуху. Так вот мне нужно было рассчитать, с какой скоростью он должен был двигаться по водам, чтобы не провалиться».
С тех пор всю свою деятельность Перельман посвятил исследованию проблемы изучения свойств трехмерного пространства Вселенной: «Это очень интересно. Я пытаюсь объять необъятное. Только ведь любое необъятное тоже объятно», — рассуждает он.
Диссертацию ученый писал под руководством академика Александрова. «Тема была несложной: «Седловидные поверхности в евклидовой геометрии». Можете представить себе в бесконечности равновеликие и неравномерно удаленные друг от друга поверхности? Нам нужно измерить «впадины» между ними», — пояснил математик.
Что значит открытие Перельмана, пугающее спецслужбы мира
«Формулой Вселенной» утверждение Пуанкаре называют из-за его важности в изучении сложных физических процессов в теории мироздания и из-за того, что оно дает ответ на вопрос о форме Вселенной. Сыграет это доказательство большую роль в развитии нанотехнологий».
«Я научился вычислять пустоты, вместе с моими коллегами мы познаем механизмы заполнения социальных и экономических «пустот», — сказал он. — Пустоты есть везде. Их можно вычислять, и это дает большие возможности…
Как пишет издание, масштаб того, что открыл Григорий Яковлевич, фактически шагающий впереди сегодняшней мировой науки, сделало его объектом постоянного интереса спецслужб, не только российских, но и зарубежных.
Он постиг некие сверхзнания, помогающие понять мироздание. И тут возникают вопросы такого рода: «А что будет, если его знания найдут практическое воплощение?»
По сути, спецслужбам нужно знать — представляет ли собой Перельман, а точнее, его знания, угрозу для человечества? Ведь если с помощью его знаний можно свернуть Вселенную в точку, а потом ее развернуть, то мы можем погибнуть либо возродиться в ином качестве? И тогда мы ли это будем? И нужно ли нам вообще управлять Вселенной?
А В ЭТО ВРЕМЯ
Мама гения: «Не задавайте нам вопросов о деньгах!»
Когда стало известно, что математику присудили «Премию тысячелетия», перед его дверью собралась толпа журналистов. Все хотели лично поздравить Перельмана и узнать, возьмет ли он свой законный миллион.
Мы долго стучали в хлипкую дверь (вот бы на премиальные деньги заменить ее), однако математик не открыл. Зато его мать вполне доходчиво расставила все точки над «i» прямо из прихожей.
Люди, живущие в этом же подъезде, очень удивлялись, увидев внезапный интерес к Перельману.
Говорят, накануне математик был замечен с полными пакетами продуктов из магазина. Готовился «держать осаду» вместе с мамой. В прошлый раз, когда в прессе началась шумиха по поводу премии, Перельман не выходил из квартиры три недели.
КСТАТИ
За что еще дадут миллион долларов…
В 1998 году на средства миллиардера Лэндона Клея (Landon T. Clay) в Кембридже (США) был основан Математический институт его имени (Clay Mathematics Institute) для популяризации математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь самых, по их мнению, головоломных проблем. И назначили по миллиону долларов за каждую.
1. Проблема Кука
2. Гипотеза Римана
3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера
Проблема связана с решением уравнений с тремя неизвестными, возведенными в степени. Нужно придумать, как их решать, независимо от сложности.
4. Гипотеза Ходжа
В ХХ веке математики открыли метод исследования формы сложных объектов. Идея в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Нужно доказать, что такое допустимо всегда.
5. Уравнения Навье – Стокса
О них стоит вспомнить в самолете. Уравнения описывают воздушные потоки, которые удерживают его в воздухе. Сейчас уравнения решают приблизительно, по приблизительным формулам. Нужно найти точные и доказать, что в трехмерном пространстве существует решение уравнений, которое всегда верно.
6. Уравнения Янга – Миллса