Докажите что большей наклонной соответствует большая проекция
Перпендикуляр и наклонная
Перпендикуляр короче любой наклонной, проведенной к плоскости из той же точки
У равных наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, проекции равны. Верно и обратное. Если равны проекции наклонных к плоскости, проведенных из одной точки, то равны и наклонные.
Из двух наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, больше та, у которой проекция больше.
Теорема о трех перпендикулярах 
Если прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Если прямая, лежащая в плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Заметим, что, вообще говоря, теорема о трех перпендикулярах верна и в более общем случае:
Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Свойства перпендикуляра и наклонной
Свойства перпендикуляра и наклонной вытекают из теоремы Пифагора и признаков равенства прямоугольных треугольников.
1) Любая наклонная больше перпендикуляра.
Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,
Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольник ABC — прямоугольный.
По теореме Пифагора AC²=AB²+BC².
Так как BC>0, то и BC²>0.
Следовательно, AB²+BC²>AB². Отсюда, AC²>AB². Поскольку AC>0 и AB>0, то AC>AB.
Что и требовалось доказать.
2) Равные наклонные имеют равные проекции.
Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,
AC и AD — наклонные,
BC и BD — их проекции,
Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольники ABC и ABD — прямоугольные.
2) AB — общая сторона.
Следовательно, треугольники ABC и ABD равны (по катету и гипотенузе).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Значит, BC=BD.
Что и требовалось доказать.
И обратно: если проекции наклонных равны, то и наклонные тоже равны.
Кроме того, из этого доказательства следует, что равные наклонные образуют равные углы с прямой a; углы между равными наклонными и перпендикуляром также равны.
3) Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,
AC и AD — наклонные,
BC и BD — их проекции,
Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольники ABC и ABD — прямоугольные.
По теореме Пифагора AC²=AB²+BC² и AD²=AB²+BD².
Отсюда, AB²=AC²-BC² и AB²=AD²-BD².
Приравнивая правые части равенств, имеем: AC²-BC²=AD²-BD².
Так как BC>BD, то и BC²>BD².
Значит, и AC²>AD². А так как AC>0 и AD>0, то AC>AD.
Что и требовалось доказать.
И обратно: б о льшей наклонной соответствует б о льшая проекция.
Определение перпендикуляра и наклонной
1) Определение перпендикуляра и наклонной.
Пусть дана плоскость и не лежащая на ней точка.
· Отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, соединяющий данную точку с точкой на плоскости называется перпендикуляром из данной точки к данной плоскости.
· Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
· Любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к плоскости, называется наклонной.
· Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
2) Доказательство того, что перпендикуляр корочек наклонной
На рисунке 2 изображена плоскость α, перпендикуляр к ней AO, наклонная AB, а также показан отрезок BO, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра. Отрезки AO, BO и AB образуют ΔAOB.
Рассмотрим ΔAOB, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. Перпендикуляр AO является катетом этого треугольника, а наклонная AB – его гипотенузой. Катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы (по теореме Пифагора), следовательно, перпендикуляр всегда короче наклонной.
3) Определение проекции
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
Отрезок BO на рисунке 2 – является проекцией наклонной AB.
4) Теорема о сравнительной длине наклонных и их проекций
А) Любая наклонная больше своей проекции.
Вновь рассмотрим ΔAOB, изображенный на рис. 2, из определения перпендикуляра следует, что он прямоугольный. Проекция BO является катетом этого треугольника, а наклонная AB – его гипотенузой, т. к. катет прямоугольного треугольника всегда меньше его гипотенузы, следовательно, проекция наклонной на плоскость всегда короче самой наклонной.
Б) Равные наклонные имеют равные проекции
Доказательство: Рассмотрим треугольники AOB и AOD, они равны, т. к. равны их гипотенузы AB и AD, и углы AOB и AOD (они прямые), а сторона AO у них общая. Из равенства треугольников следует и равенство их сторон BO = OD, что и требовалось доказать.
В) Если проекции наклонных равны, то и наклонные равны. Доказывается аналогично утверждению Б.
Г) Большей наклонной соответствует большая проекция.
Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и AOD, AB > AD.
= 
= 
Но так как AB > AD => AB2 > AD2 => > =>
=> BO > DO. Что и требовалось доказать.
Д) Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше. Доказывается аналогично Г.
Перпендикуляр и наклонная
Описание презентации по отдельным слайдам:
Описание слайда:
«Перпендикуляр
и наклонная»
Описание слайда:
Иллюстрациями каких теорем могли бы быть следующие картинки?
Итак, приступим к делу!
Описание слайда:
Одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры – Парфенон (V в. до н. э.).
Описание слайда:
Описание слайда:
А
В
С
Назовите гипотенузу прямоугольного треугольника АВС.
Сравните катет и гипотенузу прямоугольного треугольника. Что больше и почему?
Описание слайда:
3. Сформулируйте теорему Пифагора.
4. Какие прямые называются перпендикулярными?
5. Что называется перпендикуляром к прямой?
Описание слайда:
Описание слайда:
А
Н
С
Отрезок АС –наклонная
Отрезок СН –
проекция наклонной
а
Описание слайда:
Описание слайда:
А
в
с
о
м
к
н
Назвать наклонные к прямой и их основания
Назвать перпендикуляр прямой и его основания
Назвать проекцию каждой наклонной
Описание слайда:
Используя рисунки, сформулируйте и докажите свойства наклонных, выходящих из одной точки.
Описание слайда:
Свойства наклонных, выходящих из одной точки
1. Перпендикуляр всегда короче наклонной, если они проведены из одной точки.
2. Если наклонные равны, то равны и их проекции, и наоборот.
3. Большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.
Описание слайда:
·
В
С
α
Расстоянием от точки до прямой называется….
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
Описание слайда:
Из точки В данной на расстоянии 9 см от плоскости, проведена к ней наклонная ВМ=15см. Найдите ее проекцию СМ на данную плоскость
В
М
С
9
15
?
Решение задач
№1
Описание слайда:
Описание слайда:
Взаимопроверка
По теореме Пифагора найдём гипотенузу ВН
ВН2 = ВС2 + НС2
ВН2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169
Описание слайда:
Блюдо для подачи шашлыка
Описание слайда:
На какой высоте необходимо закрепить верхнее основание от
дна блюда, чтобы вставить шампуры. Если рабочая длина шампура 25 см. Расстояние от оси блюда до нижнего отверстия, в которое вставляется шампур 25см. А расстояние от оси до верхнего отверстия 10см. Глубина блюда равна 3 см.
Задача
Описание слайда:
СХЕМА
25
25
10
3
А
В
С
О
О1
Н =?
Решение :
ВС= ОС – ОВ = 25 – 10 =15
по т. Пифагора найдём :
АВ2 = АС2 – ВС2 =
252 – 152 = 625 – 225 = 400,
АВ = 20см. Поэтому Н = 20 + 3 = 23 см.- на такой высоте нужно закрепить верхнее основание блюда.
Описание слайда:
Повторим
Что такое : перпендикуляр?
наклонная к прямой?
Проекция наклонной?
Как связаны между собой длины перпендикуляра, наклонной и проекции.
Описание слайда:
Домашнее задание
П.65 № 5, 10
По готовому чертежу найти Х ;
Описание слайда:
Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АD, перпендикулярная к плоскости треугольника. Докажите, что треугольник СВD – прямоугольный. Найдите ВD, если ВС=
DC=
А
В
С
D
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Охрана труда
Курс профессиональной переподготовки
Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе
Курс профессиональной переподготовки
Охрана труда
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Похожие материалы
Автоматизация звука Ш в словах и предложениях
Автоматизация звука ц в прямых слогах
Автоматизация звука р в начале слова
Классификация методов научного познания
Автоматизация л в конце слова
Автоматизация звука С
Автоматизация звука ц в обратных слогах
Автоматизация л в середине слова.
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5357250 материалов.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Петербургский Политех создал отдельное меню для вегетарианцев в своих столовых
Время чтения: 1 минута
В Ленобласти педагоги призеров и победителей олимпиады получат денежные поощрения
Время чтения: 1 минута
В России отцы охотнее дают деньги детям на карманные расходы, чем матери
Время чтения: 2 минуты
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Учителя Кубани смогут получить миллион рублей на взнос по ипотеке
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок №10. Перпендикуляр и наклонные
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.
Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Определение: углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.
Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим плоскость α и точку А, не лежащую в этой плоскости (рис. 1). Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости α какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.