Докажите что cos 10 иррациональное число

СОДЕРЖАНИЕ

Доказательство Ламберта

В 1761 году Ламберт доказал, что π иррационально, сначала показав, что это разложение в цепную дробь справедливо:

Доказательство Эрмита

Используя индукцию, можно доказать, что

и поэтому у нас есть:

Используя определение последовательности и индукцию, можно показать, что

Он не обосновал это утверждение, но это легко доказать. Во-первых, это утверждение эквивалентно

Продолжая по индукции, возьмем n = 0.

Доказательство Картрайта

тогда это становится

Следовательно, при достаточно большом n

то есть, мы могли бы найти целое число от 0 до 1. Это противоречие следует из предположения, что π рационально.

Это доказательство аналогично доказательству Эрмита. Действительно,

Однако это явно проще. Это достигается тем, что опускается индуктивное определение функций A _n и берется за отправную точку их выражение в виде интеграла.

Доказательство Нивена

Это доказательство использует характеристику П как наименьший положительный нуль от синусоидальной функции.

и для каждого x ∈ ℝ пусть

Приведенное выше доказательство представляет собой отточенную версию, которая максимально упрощена в отношении предпосылок анализа формулы

Доказательство Нивена ближе к доказательству Картрайта (и, следовательно, Эрмита), чем кажется на первый взгляд. По факту,

Следовательно, замена xz = y превращает этот интеграл в

откуда следует, что

Доказательство Бурбаки

Доказательство Миклоша Лацковича является упрощением оригинального доказательства Ламберта. Он считает функции

Утверждение 1. Имеет место следующее рекуррентное соотношение :

Утверждение 3: Если x ≠ 0 и если x 2 рационально, то

С другой стороны, из утверждения 1 следует, что

С другой стороны, поскольку

другое следствие утверждения 3 состоит в том, что если x ∈ Q \ <0>, то tg x иррационально.

Источник

Иррациональные числа

Определение иррациональных чисел

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби:

Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.

Примеры иррациональных чисел:

Множество иррациональных чисел договорились обозначать латинской буквой I.

Действительныеили вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.

Свойства иррациональных чисел

Какие числа являются иррациональными мы уже поняли, но это еще не все. Есть еще важная тема для изучения: их основные свойства.

Свойства иррациональных чисел:

Определение рациональных чисел

А теперь наоборот: рассмотрим противоположное заданной теме определение.

Рациональное число — это такое число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или нуля. Если число можно получить делением двух целых чисел — это число точно рациональное.

Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде:

где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.

Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.

Примеры рациональных чисел:

У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.

Основные свойства действий с рациональными числами

Источник

Докажите что число является иррациональным

Ответ

Предположим, что √5 – рациональное число.

Тогда его можно представить в виде несократимой дроби, а именно √5 = a/b, где a,b – натуральные числа.

Т.к. 5b² делится на 5, то и a² делится на 5.

Тогда a=5c, где c – натуральное.

Получаем 5b² = (5c)², 5b²=25c², b²=5c², а значит что и b делится на 5. Таким образом мы имеем: a делится на 5 и b делится на 5, что противоречит условию, что a/b это несократимая дробь. Следовательно √5 – иррациональное число

Определение иррационального числа

Например. Иррациональными числами являются:

Операции над иррациональными числами

На множестве иррациональных чисел можно ввести четыре основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление; но ни для одной из перечисленных операций множество иррациональных чисел не обладает свойством замкнутости. Например, сумма двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Задача. Доказать, что корень из 3 иррациональное число.

Решение. Проведем доказательство от противного. Допустим, что (sqrt ) рациональное число, то есть представляется в виде несократимой дроби (frac ), где (m) и (n) – целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
(sqrt = frac Rightarrow 3 = frac Rightarrow m^2 = 3n^2.)

Отсюда следует, что (m^2) кратно 3, значит, и (m) кратно 3 (если бы целое (m) не было кратно 3, то и (m^2) не было бы кратно 3). Пускай (m=3r), где (r) – целое число. Тогда
((3r)^2=3n^2 Rightarrow 9r^2=3n^2 Rightarrow n^2=3r^2)

Следовательно, (n^2) кратно 3, значит, и (n) кратно 3. Мы получили, что (m) и (n) кратны 3, что противоречит несократимости дроби (frac ). Значит, исходное предположение было неверным, и (sqrt ) — иррациональное число.

Источник

Иррациональные числа

Иррациональные числа можно определить как действительные числа, которые не являются рациональными. Зачем же вводятся иррациональные числа, если все бухгалтерские расчеты, да и не только они: все вычисления на калькуляторах, и т. д. делаются с применением только конечных десятичных дробей?

Пример 1 Доказать, что есть число иррациональное.

Подобный прием используется для решения более сложных по виду задач.

Пример 2 Доказать, что есть число иррациональное.

Аналогично примеру 1 можно было бы доказать, что иррациональное число. Но сумма двух иррациональных чисел не обязательно иррациональна, как следует из примера . Поэтому будем действовать по алгоритму с суммой чисел.

Пример 3 Показать, что число — основание натуральных логарифмов является иррациональным.

Чтобы это показать, воспользуемся представлением числа через ряд

Из этого представления следует формула:

, где .

Из этого равенства выведем, что число — иррационально. Предположим противное, пусть . Запишем равенство и умножим обе части этого равенства на . Получим:

Это равенство противоречиво, так как справа стоит целое число, а слева сумма целого числа и не целого. Следовательно, предположение о рациональности числа — не верно.

А вот доказательство иррациональности числа довольно сложное и использует достаточно тонкие рассуждения, а также аппарат интегралов зависящих от параметра.

Пример 4 Числа или являются иррациональными.

Здесь, не мудрствуя, возведем обе части равенства в третью степень:

Получили тождество. Следовательно, и исходное равенство было верным.

Эта задача сложнее предыдущей задачи, потому что не очень понятно как решать. Разберемся с первым корнем. Попробуем представить подкоренное выражение в виде квадрата

Пример 7 Может ли иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным числом?

Эту задачу вообще непонятно как делать. Однако она имеет очень оригинальное и главное короткое решение.

и в этом случае ответ: может.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Источник

Доказательство от противного : Предположим, что котангенс 1 градуса рациональное число :

Найдем котангенс 2 градусов :

По предположению они все будут являть рациональными числами.

$ctg30= \sqrt <3>, \sqrt<3>\in I$.

Значит, предположение неверно и котангенс 1 градуса также иррациональное число

СРОЧНО нужно?

Помогите, пожалуйста, будьте добры, буду очень признателен.

Как доказать иррациональность числа Логарифм 7 по основанию 5 Помогите, пожалуйста.

Как доказать, что тангенс 1 градуса это иррационалное число?

Как доказать, что тангенс 1 градуса это иррационалное число?

Как доказать иррациональность числа 0, 101001000100001?

Как доказать иррациональность числа 0, 101001000100001?

Помогите пожалуйста?

Как доказать, что число корень из 8 иррациональное число?

(через несократимую дробь не получается).

Найдите синус косинус тангенс и котангенс 22 * 30 (вот это * это градус)?

Найдите синус косинус тангенс и котангенс 22 * 30 (вот это * это градус).

Как это решить?

Иррациональность в знаменателе.

Доказать что числа 128 и 81 взаимно простые?

Доказать что числа 128 и 81 взаимно простые.

101 это рациональное или иррациональное число?

101 это рациональное или иррациональное число?

Как доказать иррациональность чисел 3 + V2 (корень из двух)?

Как доказать иррациональность чисел 3 + V2 (корень из двух).

Источник