Докажите что для правильной шестиугольной призмы abcdefa1b1c1d1e1f1 параллельные прямые
а) Докажите, что точки F и С равноудалены от плоскости ВЕD1.
б) Найдите расстояние между прямыми ЕD1 и FE1.
а) Заметим, что прямые BE и CD параллельны C1D1, следовательно, сечение проходит через точку С1. Отрезок CF пересекает BE, а следовательно, и плоскость сечения в точке O — центре основания. Таким образом, CO = FO. Проекции равных отрезков на одну плоскость равны, следовательно, C’O = F’O, где C’ и F’ — проекции точек C и F на сечение BED1C1. Треугольники CC’O и FF’O равны по гипотенузе и катету. Поэтому CC’ = FF’.
б) Заметим, что FE1 параллельно BC1, следовательно, прямая FE1 параллельна сечению BED1C1. Таким образом, искомое расстояние равно расстоянию от прямой FE1 до сечения BED1C1. Следовательно, искомое расстояние, это, например, FF’ = CC’. Найдем последнее как высоту пирамиды BECC1, опущенную из вершины С. Объем пирамиды BECC1:
откуда
Из свойств правильного шестиугольника:
Очевидно, что сечение BED1C1 — равнобедренная трапеция в которой боковая сторона Откуда ее высота равна
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Докажите что для правильной шестиугольной призмы abcdefa1b1c1d1e1f1 параллельные прямые
а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро AA1 в такой точке M, что AM : A1M = 1 : 2.
б) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью основания призмы, если известно, что AB = 1, AA1 = 3.
а) Искомое отношение не будет зависеть от длин ребер заданной призмы. Поэтому мы сами вправе выбрать длину ребер при основании призмы и длину ее боковых ребер.
Поместим заданную призму в прямоугольную декартову систему координат, как показано на рисунке. Выпишем координаты некоторых точек:
Зная, что точки B, D1, F1 лежат в плоскости β, будем искать уравнение этой плоскости:
Вычтем уравнение (3) из уравнения (2):
Подставим полученное значение а в уравнение (1).
Теперь значение подставим в уравнение (2):
Итак, уравнение плоскости β имеет вид:
Точа M лежит на прямой AA1. Значит, она может быть задана своими координатами: То есть:
Итак, (0; −1; 1). AM = 1, A1M = 3 − 1 = 2; AM : A1M = 1 : 2, что и требовалось доказать.
б) Очевидно, уравнение плоскости нижнего основания призмы имеет вид: z = 0. Если угол между секущей плоскостью β и основанием призмы равен φ, то
Откуда ее высота равна
подставим в уравнение (2):
То есть:
