Докажите что для правильной шестиугольной призмы прямые аа1 и вс скрещиваются

Правильная шестиугольная призма — свойства, признаки и формулы

Одним из фундаментальных объектов в геометрии является многоугольник. Если рассматривать фигуру в трёхмерном пространстве, то с помощью двух таких геометрических тел с шестью углами можно построит правильную шестиугольную призму. При этом боковые грани обязательно будут прямоугольниками. По своему виду такая фигура напоминает пчелиные соты, поэтому она и интересна для изучения архитекторам и математикам.

Общие сведения

Призма представляет собой многогранную объёмную фигуру. Две стороны её всегда конгруэнтные (равные) и расположены относительно друг друга в параллельных плоскостях. Остальные же грани являются параллелограммами и формируют общие боковые основания с параллельными поверхностями. Четырёхугольники состоят из попарно равноудалённых прямых. Называют их боковыми гранями призмы. Оставшиеся же 2 многоугольника — основанием. По сути, фигура — это частный случай некругового цилиндра.

Кроме основания и граней, в состав стереофигуры входит:

Кроме этого, используются такие понятия, как диагональное и ортогональное сечение. Первое представляет собой параллелограмм, полученный при пересечении призмы и диагональной плоскости. Второе же — пересечение многогранника с плоскостью, перпендикулярной боковому ребру.

В зависимости от расположения стенок и вида основания, призмы разделяют на 3 типа. Прямой называют ту, где все грани — прямоугольники. Если у фигуры в основании находится правильный многоугольник, стереофигура считается правильной. Частным случаем её является полуправильная призма. В ней боковые грани образуют квадраты. Когда же у многогранника основания непараллельные, призму называют усечённой.

Полуправильный многогранник, имеющий 2 параллельных основания в виде правильных n-угольников, равных между собой, чьи грани представляют собой ломаную линию, называют антипризмой. В качестве примера такой фигуры можно привести октаэдр, икосаэдр и восьмиугольный октагон.

Свойства шестигранника

Правильную шестиугольную призму принято обозначать большими латинскими буквами: ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Длину основания подписывают маленьким символом a, а длину боковой стороны h. К характеристикам фигуры относят площади основания, боковые грани, полную поверхность, объём многогранника. Всего у геометрического тела 8 граней, 18 рёбер и 12 вершин.

Для успешного вычисления различных параметров фигуры понадобится знать следующие формулы:

Через точку М можно провести прямую AC и CF. Образованный ранее треугольник AEO будет равнобедренным. В нём отрезок AO равняется по величине OE. Значит, угол EOA будет развёрнутым и равняться 120 градусам. Используя свойства равнобедренного треугольника, можно записать: AE = a * √2 * (1 — cos EOA). То есть: AE = AC = √3 * a.

По аналогии можно найти и стороны: EA1, FB1, AC1, BD1, CE1, DF1. Так как AA1 = h, а из свойств правильной призмы следует, что угол EAA1 — прямой, длины сторон будут равны между собой, и их можно найти, используя формулу: √(AA1 2 + AE 2 )= √(h 2 + 3 * a) = 2 * a. Грань EB1 = FC1 = AD1 = BE1 = CF1 = DA1 = √(BB1 2 + BE 2 ) = √(h 2 + 4 *a) = √5 *a. Сторона FE1 = √(FE 2 + EE 2 ) = √(h 2 + a 2 ) = √2 *a.

Длины диагоналей призмы равняются сумме квадратов высоты и длины основания под корнем. Это легко доказать, если принять, что ЕЕ1 = h, а FE = a. Треугольник FEE1 прямоугольный, значит, FE = √(h 2 + a 2 ), что и следовало доказать.

Решение простого примера

Такого вида задачи обычно даются в учебниках по геометрии для выпускных классов средней школы. Решить их самостоятельно несложно, нужно только знать формулы и представлять, как выглядит та или иная фигура. При этом часто приходится использовать дополнительные построения. Вот один из таких типовых примеров.

Пусть имеется девятиугольная фигура, в которую вписана правильная шестиугольная призма со стандартным обозначением вершин. Сторона основания в ней составляет 4 см, а длина бокового ребра меньше её в 2 раза, то есть равняется 2. Необходимо вычислить расстояние от точки C1 до прямой, соединяющей вершины EF. По условию задачи в основании лежит геометрическое тело, у которого все стороны и углы равны, то есть фигура правильная.

Чтобы понять, что будет представлять искомая прямая, нужно изобразить призму на рисунке и на нём же начертить отрезок. Фактически это будет перпендикуляр, который и является вычисляемым расстоянием. Проекцией точки С1 будет вершина С. Из неё можно построить перпендикуляр, который ограничится точкой E. Таким образом, поставленная задача сводится к поиску длины отрезка C1E.

Найти длину прямой можно как гипотенузу прямоугольного треугольника С1СE. Треугольная фигура будет с прямым углом C. Из условия задачи отрезок С1С в два раза меньше ребра основания, а значит равен 2. Теперь осталось найти, чему равняется длина CE. Геометрическое тело CDE является равнобедренным. По условию CD = ED. Сумму углов шестиугольника можно найти по формуле е = 180 * (n — 2) = 180 * 4 = 720. Получается, что на каждый угол приходится по 120 градусов.

С вершины D можно опустить перпендикуляр DN на CE. Принимая во внимание свойства равнобедренного треугольника, высота DN будет медианной и биссектрисой. Следовательно, угол C равняется 30 градусов, так как CDH — прямоугольный.

Задача высокого уровня

Решение примеров повышенного уровня сложности предполагает не только хорошее понимание изучаемого материала, но и знание предыдущих тем. Понадобится вспомнить формулы для нахождения площадей и объёмов плоских фигур и их свойства. Вот пример одной из таких задач.

Пусть имеется шестиугольная объёмная фигура, у которой баковая грань равняется 6, а площадь основания 12. Нужно найти объём геометрического тела с вершинами в точках A, B1, C1, D1, E1, F1.

В таких задачах перед тем как непосредственно приступить к вычислениям, желательно использовать вспомогательный рисунок. На нём нужно изобразить фигуру в трёхмерной системе координат и подписать все её вершины.

Согласно условию, площадь основания Sabcde1f1 = 12, отрезок AA1 = 6. Так как фигура правильная, то все ребра у призмы буду равны. Чтобы найти, сколько будет составлять объём, понадобится обозначить многогранник. Для этого следует построить отрезки F1B, F1A, B1, E1A, D1A, C1A. Получившаяся фигура представляет собой пирамиду.

Формула для нахождения объёма пирамиды записывается так: V = h * S / 3. Её можно привести к виду: V = (AA1 * Sb1c1d1e1f1) / 3. Теперь нужно определить, чему же будет равняться площадь шестиугольника. Так как в основании призмы лежит правильная фигура с шестью углами, радиус описанной окружности будет совпадать с боковой стороной.

Таким образом, искомая площадь будет равняться шести поверхностям правильного треугольника. В свою очередь, его занимаемый размер можно определить как Sтр = (a * b) * sin / 2. Значит, площадь основания призмы равна: S = (6 * R * R * sin 60) / 2. Подставив заданное условием значение из формулы, можно выразить радиус: R 2 = (12 * 2) / 3 √ 3 = 8 /√3.

Площадь треугольника A1B1F1 находится как произведение сторон, умноженное на синус угла и разделённое на 2: S = (a * a * sin120) / 2 = a 2 * sin60 / 2 = (R 2 * √ 3/3) / 2. Подставив значение R, можно получить: S = (½) * (8 / √ 3) * (√3 / 2) = 2. Тогда площадь пятиугольника будет равняться разнице поверхностей шестиугольника и треугольника A1B1F1, то есть S = 12 — 2 = 10. Теперь можно будет подсчитать и объём пирамиды: Vab1c1d1e1f1 = (1 / 3) * 6 * 10 = 20. Задача решена.

Источник

Докажите что для правильной шестиугольной призмы прямые аа1 и вс скрещиваются

а) Заметим, что прямая A₁O₁ лежит в плоскости ACA₁C₁, при этом точки B₁ и O₂ не лежат в этой плоскости, то есть прямая B₁O₂ не лежит в плоскости ACC₁A₁ и не параллельна ей (B₁ и O₂ лежат в разных полупространствах относительно этой плоскости). Следовательно, прямая B₁O₂ пересекает плоскость ACC₁A₁. Покажем, что точка их пересечения не лежит на прямой A₁O₁, из этого будет следовать, что прямые A₁O₁ и B₁O₂ — скрещивающиеся.

б) Введём систему координат с центром в точке A₁ так, что ось абсцисс направлена вдоль A₁D₁, ось ординат — вдоль A₁B₁, ось аппликат — вдоль A₁A (см. рис.). В этой системе координат: A₁(0; 0; 0), B₁(0; 1; 0), Пусть вектор

с концами на прямых O₁A₁ и B₁O₂ перпендикулярен обеим этим прямым. Тогда длина MN равна расстоянию между ними. Запишем условия перпендикулярности в виде и Имеем:

Ответ:

Укажем идею решения пункта а) методом координат, примененным при решении пункта б). Примем ребро куба за 1 (или за а), введем систему координат, найдем координаты точек А₁, В₁, О₁ и О₂, найдем уравнение плоскости А₁В₁О₁, подставим в это уравнение координаты точки О₂ и убедимся, что эта точка не лежит в данной плоскости.

Приведем решение пункта б) Андрея Белобородова без использования координат.

Рассмотрим плоскость СB₁D₁. Эта плоскость проходит через прямую B₁O₂ и параллельна прямой A₁O₁, поскольку прямая A₁O₁ параллельна прямой CO₃, лежащей в этой плоскости. Следовательно, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми B₁O₂ и A₁O₁ равно расстоянию от любой из точек прямой A₁O₁ до плоскости СB₁D₁.

Проведем в треугольнике O₃O₁C высоту O₁M. Заметим, что O₁M перпендикулярна B₁D₁, поскольку ее проекция O₃С₁ перпендикулярна B₁D₁. Таким образом, O₁M перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости СB₁D₁, следовательно, она перпендикулярна этой плоскости, и O₁M — искомое расстояние.

Здорово, что вы показываете метод координат, но можно найти расстояние между прямыми, исходя из данных, полученных в пункте а).

Прямая СО₃ параллельна А₁О₁. (При этом В₁О₂ лежит в одной плоскости с СО₃). Следовательно, расстояние между параллельным прямыми А₁О₁ и СО₃ будет искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми. Пусть Н середина А₁С₁. Рассмотрим треугольник А₁НО₁ и найдём высоту, проведённую из точки Н к стороне А₁О₁.

Правильно понимаем, что у вас точки O₃ и Н совпадают?

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от одной из них до плоскости, в которой лежит другая. Но в вашем решении ищется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до некоторой параллельной ей прямой, лежащей в одной плоскости с другой из скрещивающихся прямых. Это разные расстояния.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA = 6. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 2 : 7. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 2 : 7, считая от вершины S.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

а) Пусть плоскость пересекает ребро SB в точке N. Поскольку плоскость α параллельна ребру SA, она пересекает грань SBA по прямой, параллельной SA. Тем самым, прямые KN и SA параллельны, треугольники NBK и SBA подобны, а что и требовалось доказать.

б) Пусть плоскость сечения пересекает ребро АС в точке L. Аналогично пункту а) из подобия треугольников MCL и SCA находим, что Из равенства следует, что LK и CB параллельны.

Пусть, далее, H — середина ВC. Проведём SH и АH и пусть плоскость SHА пересекает α по прямой QR (см. рис.). Прямая SA параллельна плоскости α, поэтому искомое расстояние от прямой SA до прямой КМ равно расстоянию между параллельными прямыми SA и QR.

Из подобия треугольников ALK и ABC получаем: Треугольники QHR и SHA также подобны, а тогда плоскость сечения делит высоту HT треугольника SHА в том же отношении 2 : 7, считая от точки T. Следовательно, расстояние между SA и KM равно

Найдем длины сторон треугольника SHА: Пусть тогда тогда, применяя теорему Пифагора, из треугольников AHT и SHT получаем: Тогда:

Найденная длина отрезка AT превосходит длину ребра AS. Это означает, что точка T лежит на продолжении ребра SA за точку S (см. рис.). Это не меняет справедливости вычислений. Итак,

откуда находим

Ответ: б)

Приведем другое решение пункта б).

Пусть плоскость сечения пересекает ребро АС в точке L. Аналогично пункту а) из подобия треугольников MCL и SCA находим, что Из равенства следует, что LK и CB параллельны.

Проведём SH и АH и пусть плоскость SHА пересекает α по прямой QR (см. рис.), причем QR || SA, поскольку плоскость α параллельна SA.

Проведем в плоскости SHА перпендикуляр RP к прямой SA. Прямая RP ⊥ QR, поскольку QR || SA. Прямая RP ⊥ LK, поскольку ее проекция RA ⊥ LK. Следовательно, прямая RP перпендикулярна плоскости α, тогда RP — расстояние от прямой SA до плоскости α. Это расстояние равно расстоянию между скрещивающимися прямыми SA и KM.

Заметим, что AR : RH = AK : KB = 2 : 7, поскольку прямые LK и CB параллельны.

Тогда

Заметим, что где O —основание высоты пирамиды, тогда

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA = 8. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN.

а) Пусть плоскость α пересекает сторону основания АВ в точке М. Поскольку плоскость α параллельна прямой ВС, она параллельна и прямой AD, а значит, прямые NM и AD параллельны. Тогда четырёхугольник DNMA — прямоугольник, поэтому точка М делит сторону АВ в том же отношении, что точка N делит сторону DC.

б) Заметим, что прямые KN и SD параллельны, поскольку отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Тем самым, в плоскости α лежат две пересекающиеся прямые KN и NM, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым SD и DA плоскости SDA. Тогда по признаку параллельности плоскостей плоскости α и SDA параллельны. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми SA и KN можно найти как расстояние между этими параллельными плоскостями.

Пусть Р — середина AD, H — середина ВС. Построим треугольник SPH и пусть прямая HT перпендикулярна прямой SP. Кроме того, HT перпендикулярна AD и, следовательно, плоскости SDA, а вместе с ней α. Плоскость α пересекает ребро SB в точке L, причем, KL || BC. R — точка пересечения KL и SH, таким образом, QR — отрезок, соединяющий середину KL и середину MN. Тогда прямые SP и QR —параллельны, а расстояние между ними равно искомому расстоянию между плоскостями SDA и α.

Заметим, что PH = AB = 4. В треугольнике SAP: Пусть тогда применяя теорему Пифагора из треугольников SHT и PHT, получаем:

Тогда

По условию, поэтому а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно, расстояние между SP и QR есть четверть высоты HT:

Ответ: б)

Примечание: высота HT равнобедренного треугольника SPH может быть найдена проще. Высота этого треугольника проведенная к основанию PH есть высота пирамиды соединяющая вершину с центром основания, значит Тогда

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковове ребро SA равно 10. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 1 : 7, считая от вершины S.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN.

а) Пусть плоскость α пересекает сторону основания АВ в точке М. Поскольку плоскость α параллельна прямой ВС, она параллельна и прямой AD, а значит, прямые NM и AD параллельны. Тогда четырёхугольник DNMA — прямоугольник, поэтому точка М делит сторону АВ в том же отношении, что точка N делит сторону DC.

б) Заметим, что прямые KN и SD параллельны, поскольку отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Тем самым, в плоскости α лежат две пересекающиеся прямые KN и NM, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым SD и DA плоскости SDA. Тогда по признаку параллельности плоскостей плоскости α и SDA параллельны. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми SA и KN можно найти как расстояние между этими параллельными плоскостями.

Пусть Р — середина AD, H — середина ВС. Построим треугольник SPH и пусть прямая HT перпендикулярна прямой SP. Кроме того, HT перпендикулярна AD и, следовательно, плоскости SDA, а вместе с ней α. Плоскость α пересекает ребро SB в точке L, причем, KL || BC. R — точка пересечения KL и SH, таким образом, QR — отрезок, соединяющий середину KL и середину MN. Тогда прямые SP и QR —параллельны, а расстояние между ними равно искомому расстоянию между плоскостями SDA и α.

Заметим, что PH = AB = 8. В треугольнике SAP: Пусть тогда применяя теорему Пифагора из треугольников SHT и PHT, получаем:

Тогда

По условию, поэтому а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно, расстояние между SP и QR есть одна восьмая высоты HT:

Ответ: б)

Примечание: высота HT равнобедренного треугольника SPH может быть найдена проще. Высота этого треугольника проведенная к основанию PH есть высота пирамиды соединяющая вершину с центром основания, значит Тогда

Аналоги к заданию № 526340: 526536 Все

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA₁.

а) Докажите, что прямые MB и B₁C перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми MB и B₁C.

а) Проведем (см. рис. 1), тогда — проекция на плоскость Полученная проекция перпендикулярна прямой BM (*), поэтому в силу теоремы о трёх перпендикулярах, прямые и взаимно перпендикулярны.

Докажем (*). Заметим (см. рис. 2), что треугольники и равны. Повернём на угол по часовой стрелке и совместим точку с точкой Сторона совместится со стороной а сторона — со стороной Поскольку после поворота на стороны и совместились, до поворота угол между ними был равен

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них. Заметим, что и (из п. а), следовательно, а тогда K — проекция MB на плоскость Проекцией прямой на плоскость является сама прямая Осталось найти расстояние от K до

В треугольнике MAB находим Тогда в треугольнике HKB имеем: Треугольники и подобны (см. рис. 3), поэтому откуда

Ответ:

Докажем (*), не используя поворот и сдвиг.

В силу равенства треугольников MAB и углы MBA и равны. Поэтому сумма острых углов треугольника HKB равна сумме острых углов прямоугольного треугольника равны. Следовательно, треугольник HKB также прямоугольный.

Источник