Докажите что если биссектрисы углов abc и cbd перпендикулярны

Свойство точек биссектрисы угла:

По определению биссектриса угла делит угол пополам.

У биссектрисы есть еще одно важное свойство.

Теорема (о биссектрисе угла).

Любая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.

В данной теореме два утверждения: прямое и ему обратное. Докажем каждое из этих утверждений отдельно.

1) Дано: AD — биссектриса

Доказательство:

Прямоугольные треугольники АКМ и ANM равны по гипотенузе и острому углу (гипотенуза AM — общая, KAM =NAM, так как AD — биссектриса). Катеты МК и MN равны как соответствующие в двух равных треугольниках.

2) Дано: BAC, МКAB, MNAC, МК = MN, MAD (рис. 272).

Доказать: луч AD — биссектриса BAC.

Доказательство:

Прямоугольные треугольники АКМ и ANM равны по катету и гипотенузе (гипотенуза AM — общая, МК = MN по условию). Углы КAM и NAM равны как соответствующие в двух равных треугольниках, откуда луч AD — биссектриса BAC. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что биссектриса является геометрическим местом точек плоскости, находящихся внутри угла и равноудаленных от сторон угла.

Пример:

В прямоугольном треугольнике ABC C = 90°, A = 40° (рис. 273). На катете АС взята точка К так, что КС=6 см и KBC = 25°. Найти расстояние от точки К до прямой АВ.

Решение:

Пример: (2-я замечательная точка треугольника).

Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Проведем в АВС биссектрисы углов А и С. Пусть О — точка их пересечения (рис. 274).

Так как точка О лежит на биссектрисе АО угла А, то она равноудалена от сторон угла А, то есть равны перпендикуляры ON и ОК к сторонам угла А. Так как точка О лежит на биссектрисе СО угла С, она равноудалена от сторон угла С, то есть равны перпендикуляры ОК и ОМ к сторонам угла С. Тогда ОК = ОМ = ON. Так как перпендикуляры ON и ОМ равны, то точка О равноудалена от сторон угла В. Точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. Поэтому биссектриса угла В пройдет через точку О, и, следовательно, все три биссектрисы пересекутся в одной точке.

Замечание. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности (рис. 275), которая касается всех трех сторон треугольника (имеет с каждой из сторон только одну общую точку).

Пример:

В треугольнике ABC биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К. Через точку К проведен отрезок NM, параллельный стороне АС с концами на сторонах АВ и ВС соответственно; AN = 6 см, МС = 4 см. Найти отрезок NM.

Решение:

Так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то СК — биссектриса угла С (рис. 276).

Треугольник ANK — равнобедренный. Действительно, NAK =CAK, поскольку АК — биссектриса, CAK =AKN как накрест лежащие при параллельных прямых NM и АС и секущей АК, откуда NAK =AKN и треугольник ANК — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Тогда NK=AN=6 см. Аналогично доказываем, что треугольник KMC — равнобедренный и КМ=МС=4 см.

Искомый отрезок NM = NK + КМ = 6 + 4=10 (см).

Замечание. Решив задачу 3, мы доказали, что если NM || АС и отрезок NM проходит через точку пересечения биссектрис, то периметр NBM равен АВ+ВС.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

85 Докажите Что Если Биссектрисы Углов Abc И Cbd Перпендикулярны То Точки A B И D

Загрузил: Геометрия с нуля

Длительность: 3 мин и 3 сек

86 Даны Две Пересекающиеся Прямые А И B И Точка А Не Лежащая На Этих Прямых

Как Провести Перпендикуляр В Данную Точку На Прямой С Помощью Циркуля

83 Изобразите Параллелепипед Abcda1B1C1D1 И Постройте Его Сечение Плоскостью Проходящей Через

05 Что Такое Интеграл

Откуда В Музыке Так Много Математики

Физика от Побединского

Физика Воды Опаснее Огня С Алексеем Иванченко

Научные Сенсации 2017 Большой Скачок

107 Изобразите Тетраэдр Abcd И Отметьте Точку М На Ребре Ав Постройте Сечение Тетраэдра Плоскость

Перпендикуляр К Прямой Через Заданную Точку

Геометрия Атанасян Задача 84

110 Докажите Что В Параллелепипеде Abcda1B1C1D1 Плоскость A1Db Параллельна Плоскости D1Cb1

Тригонометрия Что Такое Радиан

Точка Росы Почему Выпадает Конденсат

Эти Открытия Наука Будет Скрывать До Последнего 7 Уникальных Технологий Скрытых От Обывателей

Геометрия 83 211 Задача Найти Угол Между Биссектрисами Смежных И Односторонних Углов

112 Докажите Что Сумма Квадратов Четырех Диагоналей Параллелепипеда Равна Сумме Квадратов Двенадц

Построение Биссектрисы Угла

Смежные Вертикальные Углы Геометрия 7 Класс Теорема Доказательство

Lalalala Meme Among Us

Kenanxan Aglatan Kafe Remix

Voodoo By Garmiani Slowed

Mk Kotus Cashbag Хит 2021 Года

Freday Nights Funk

Vihaan Watching You

I Believe Elvis Presley

Орбитальный Спутник Нашел Искусственные Сооружения На Луне Луна Корабль Инопланетян

Маленькое Королевство Бена И Холли Занятый День Короля Мультики

Диана Как Принцесса В Реальной Жизни

31 De Outubro De 2021

Zakir Shawal Haider Naqvi 26 Area Imambarga Wahcantt 7 February 2021

85 Докажите Что Если Биссектрисы Углов Abc И Cbd Перпендикулярны То Точки A B И D

Congress Stuns Bjp In Himachal Bypolls And Other Top Stories Good Morning India

Viral Seorang Oknum Bidan Rela Membuat Vidio Porno

Человек Паук Вдали От Дома 2019 Все Что Известно О Фильме Марвел Факты И Последние Новости

Souvernance Having A Good Time Kidstuff S Chummy Scuffle

Gamebread Boog She Bragin

Folia Baroque Violin Viola Da Gamba Harpsichord

Модный Приговор Дело Жизнь Не По Размерам Выпуск От 10 11 2020

Путин Потряс Сергея Пугачева Платошкина И Мишустина 12 11 2021 Андрей Караулов

Blue Blood Ost Served Cold

Fredguitarist Vs Kirk Hammett

Cara Buk4 Vid3O D3W454 Di Youtube Lu4R Negri

When Ginny Kissed Harry Ost Harry Potter And Half Blood Prince Guitar Cover

Источник