Докажите что если через прямую а и точку а
Докажите что если через прямую а и точку А можно провести единственную плоскость, то А не принадлежит а?
Докажите что если через прямую а и точку А можно провести единственную плоскость, то А не принадлежит а.
Через прямую можно провести бесконечное множество плоскостей, это апиори.
Отсюда и вытекает, что поместив точку «а» на прямую, мы сможем провести через неё бесконечное множество плоскостей, так как она станет частью этой прямой и наоборот.
Докажите что через прямую можно провести две различные плоскости?
Докажите что через прямую можно провести две различные плоскости.
Сторона BC угла ABC лежит в плоскости а, точка D не принадлежит плоскости а?
Сторона BC угла ABC лежит в плоскости а, точка D не принадлежит плоскости а.
Докажите что через любые три точки можно провести плоскость?
Докажите что через любые три точки можно провести плоскость.
Точка а, в, с лежат на прямой е точка р не принадлежит ей докажите что точки а, в, с и р лежат в одной плоскости?
Точка а, в, с лежат на прямой е точка р не принадлежит ей докажите что точки а, в, с и р лежат в одной плоскости.
Докажите что через любые три точки можно провести плоскость?
Докажите что через любые три точки можно провести плоскость.
В каком случае эта плоскость будет единственной.
Каково взаимное расположения точки а и прямой m, если через них можно провести : а) единственную плоскость ; б) более одной плоскасти?
Каково взаимное расположения точки а и прямой m, если через них можно провести : а) единственную плоскость ; б) более одной плоскасти.
1)Точка М принадлежит ребру SB пирамиды SABC?
1)Точка М принадлежит ребру SB пирамиды SABC.
Сколько прямых, параллельных рёбрам пирамиды, можно провести через точку М?
2)Угол ABC лежит в плоскости а, точка К не принадлежит плоскости а.
Сколько прямых, параллельных сторонам угла, можно провести через точку К?
Можно ли провести плоскость через : 1)три точки ; 2)четыре точки, лежащие на одной прямой?
Можно ли провести плоскость через : 1)три точки ; 2)четыре точки, лежащие на одной прямой?
Будет ли это плоскость единственной?
Какого взаимное расположение прямой b и точки A, если известно, что через них можно провести : а)единственную плоскость ; б) несколько плоскостей?
Какого взаимное расположение прямой b и точки A, если известно, что через них можно провести : а)единственную плоскость ; б) несколько плоскостей?
Точки А, В, С не лежат на одной прямой?
Точки А, В, С не лежат на одной прямой.
M принадлежит AB ; K принадлежит AC ; P принадлежит МК.
Докажите, что точка P принадлежит плоскости (ABC).
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Значит, высота равна 35 / ((4 + 1) / 2) = 14. Площадь треугольника ABC равна произведению стороны BC на высоту треугольника, которая также является высотой трапеции S = 1 / 2 * BC *..
Задание № 7 : На стороне AB равностороннего треугольника ABC взята точка D так, что сумма расстояний от нее до сторон AC и BC равна 16 см. Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины C. РЕШЕНИЕ : Пусть сторона треугольника а. Одно из данны..
Решение в прикрепленном файле. Не забудьте «лучший ответ».
Ответ : Herkesi seviyorum.
Надеюсь так должно получится.
Длина окружности равна 2πR, значит 2π * 5 = 31, 42 см. Длина дуги равна 1 / 3 от длины окружности, т. К. 360 : 150 2, 4 : 3 = 0, 8 см. (Пожалуйста проверь у других решения, так как я боюсь, что ты напишешь не правильно.
Стереометрия. Страница 2
| Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 2 | ||
 | ||
 | ||
| 1.Параллельность прямых в пространстве. 2.Признак параллельности прямых. 3.Признак параллельности плоскостей. 4.Свойства параллельных плоскостей. 5.Примеры. | ||
1. Параллельность прямых в пространстве
Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Доказательство. Пусть b данная прямая и точка А, не лежащая на данной прямой. Проведем через точку А и прямую b плоскость α. А через точку А прямую a, параллельную прямой b. (Рис.1)
Допустим, что существует другая прямая а’, параллельная прямой b и проходящая через точку А. Тогда через них можно провести плоскость β. Отсюда следует, что через точку А и прямую b можно провести две плоскости. А это невозможно согласно теореме о единственности существования плоскости, проведеной через прямую и не лежащую на ней точку. Таким образом, плоскости α и β совпадают. А следовательно, согласно аксиоме, прямые а и a’ совпадают также.
Рис. 1 Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых
Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Доказательство. Пусть прямые а и b лежат в разных плоскостях и параллельны прямой с. Доказать, что прямые а и b параллельны между собой. (Рис.2)
Рис.2 Признак параллельности прямых
3. Признак параллельности плоскостей
Теорема: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство.
а ∈ α, γ.
а 1 ∈ β, γ.
с ∈ α, β,γ
т.е. плоскости α и γ пересекаются по двум прямым а и с, а плоскости β и γ пересекаются по прямым а 1 и с.
Рис. 3 Признак параллельности плоскостей.
Согласно аксиоме стереометрии, это невозможно, т.к. две плоскости могут пересекаться только по одной прямой. И следовательно, наше предположение неверно. Плоскости α и β не пересекаются, они параллельны.
4. Свойства параллельных плоскостей
Теорема: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
Доказательство.
Пусть даны две параллельные плоскости α и β (Рис.4). Плоскость γ пересекает их по прямым а и b.
Рис. 4 Свойства параллельных плоскостей.
5. Пример 1
Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещиваются.
Доказательство:
Пусть даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Проведем через прямую АВ и точку С плоскость α (Рис.5). Так как прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямая CD не лежит в плоскости α, а пересекает ее в одной точке С.
Отсюда следует, что точка D не принадлежит плоскости α. Она лежит вне ее.
Таким образом, если мы проведем прямую АС, то она полностью будет принадлежать плоскости α, так как две ее точки А и С принадлежат плоскости α.
А прямая BD не будет принадлежать плоскости α, так как точка D не принадлежит плоскости α. Прямая BD будет пересекать плоскость α в одной точке В.
Отсюда можно сделать вывод, что прямая АС не может пересекать прямую BD, так как прямая АС полностью принадлежит плоскости α. А прямая BD имеет только одну общую точку с плоскостью α, точку В. Но так как точка В не лежит на прямой АС, следовательно, прямые АС и BD не пересекаются. Они являются скрещивающимися.
Рис.5 Задача. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся.
Пример 2
Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.
Доказательство:
Пусть даны четыре точки А, В, С, D, которые не лежат в одной плоскости. Проведем плоскость α через точки A, D, C и плосксоть α’ через точки А, В, С (Рис.6). Точки P, S, F, E являются серединами отрезков AB, BC, AD и CD соответственно. Необходимо доказать, что прямая PS параллельна прямой FE.
Рассмотрим треугольник АВС. Он полностью лежит в плоскости α’, так как три его вершины лежат в данной плоскости по построению. Отрезок PS представляет собой среднюю линию треугольника, которая параллельна АС.
Теперь рассмотрим треугольник АСD. Он полностью лежит в плоскости α, так как три его вершины лежат в данной плоскости по построению. Отрезок FE представляет собой среднюю линию треугольника, которая также параллельна АС.
Отсюда можно сделать вывод: если две прямые PS и FE параллельны третьей прямой АС, то они параллельны и между собой. И равны половине основанию АС. Таким образом, PSEF представляет собой параллелограмм.
Рис.6 Задача. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости.
Пример 3
Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и ВС, АС и BD, AD и BC пересекаются в одной точке.
Доказательство:
Пусть даны четыре точки А, В, С, D, которые не лежат в одной плоскости. Проведем отрезки EP, VS, FT, которые соединят середины сторон AB и CD, BC и AD, AC и BD соответственно (Рис.7).
Из предыдущей задачи нам известно, что четырехугольник EVPS, вершины которого являются серединами отрезков АВ, ВС, СD и AD, есть параллелограмм, у которого EP и VS диагонали. Эти диагонали пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.
Так как у отрезка VS середина одна, т.е. точка О, то все три диагонали EP, VS и FT пересекаются в этой точке.
Рис.7 Задача. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости.
Пример 4
Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость α по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости α.
Доказательство:
Пусть даны две плоскости β и γ, пересекающиеся по прямой а (Рис.8). Эти плоскости пересекают плоскость α по параллельным прямым b и с. Необходимо доказать, что прямая а параллельна плоскости α.
Рис.8 Задача. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а.
Пример 5
Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку О, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную α и не проходящую через точку О, тоже в вершинах параллелограмма.
Доказательство:
Пусть даны четыре прямые, проходящие через точку О, ОА, ОВ, ОС и OD (Рис.9). Они пересекают плоскость α в точках А, В, С и D соответственно. Проведем плоскость α’, параллельную плоскости α. Тогда прямые ОА, ОВ, ОС и OD пересекут плоскость α’ в точках A’B’C’D’.
Проведем плоскость β через точки А, В, A’, B’. Тогда прямые АВ и A’B’ не пересекаются, так как это прямые пересечения двух параллельных плоскостей α и α’ с секущей плоскостью β.
Отсюда следует, что прямые ВС и В’С’, CD и C’D’, AD и A’D’ параллельны. А так как АВ параллельна CD, а ВС параллельна AD, то следовательно, А’В’ параллельна C’D’, а В’С’ параллельна A’D’.
Таким образом, A’B’C’D’ также является параллелограммом.
Рис.9 Задача. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А.