Докажите что если два угла треугольника равны то треугольник равнобедренный
Если в треугольнике два угла равны
Теорема (Признак равнобедренного треугольника)
Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
Рассмотрим треугольники ACF и BCF.
1) ∠ ACF= ∠ BCF (так как CF — биссектриса (по построению))
2) CF — общая сторона
Сумма углов треугольника равна 180º.
В треугольнике ACF
В треугольнике BCF
∠ BCF =180º — ( ∠ B+ ∠ BCF).
Из 180º вычли сумму равных углов. Получили равные углы:
Таким образом, имеем:
Следовательно, ∆ACF = ∆BCF (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC.
Значит, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).
Что и требовалось доказать.
Данный признак равнобедренного треугольника можно доказать другими способами.
Рассмотрим треугольники ABC и BAC.
(это — два разных треугольника. Подробнее — смотрите «Два треугольника равны«)
2) ∠ A= ∠ B (по условию)
3) ∠ B = ∠ A (по условию)
Следовательно, ∆ACF = ∆BCF (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC.
Вывод: ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB.
По соотношениям между углами треугольника и противолежащими сторонами, в треугольнике против б’ольшего угла лежит б’ольшая сторона. Следствие: против равных углов лежат равные стороны. Таким образом, если в треугольнике два угла равны, то лежащие напротив этих углов стороны тоже равны, а значит, треугольник — равнобедренный.
докажите, что если 2 угла треугольника равны то треугольник равнобедренный нужно прям доказательство))) _
Теорема: Если любые два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
Доказательство: Аналогично доказательству прямой теоремы, но используя второй признак равенства треугольников. Центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей и точка пересечения высот равнобедренного треугольника – все лежат на его оси симметрии, т. е. на высоте.
Равносторонний треугольник является равнобедренным для каждой пары своих сторон. Ввиду равенства всех его сторон равны и все три угла такого треугольника. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, мы видим, что каждый из углов равностороннего треугольника равен 60°. Обратно, чтобы убедиться в равенстве всех сторон треугольника, достаточно проверить, что два из трех его углов равны 60°.
еорема: Если любые два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
Доказательство: Аналогично доказательству прямой теоремы, но используя второй признак равенства треугольников. Центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей и точка пересечения высот равнобедренного треугольника – все лежат на его оси симметрии, т. е. на высоте.
Равносторонний треугольник является равнобедренным для каждой пары своих сторон. Ввиду равенства всех его сторон равны и все три угла такого треугольника. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, мы видим, что каждый из углов равностороннего треугольника равен 60°. Обратно, чтобы убедиться в равенстве всех сторон треугольника, достаточно проверить, что два из трех его углов равны 60°.
Теорема: Если любые два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
Доказательство: Аналогично доказательству прямой теоремы, но используя второй признак равенства треугольников. Центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей и точка пересечения высот равнобедренного треугольника – все лежат на его оси симметрии, т. е. на высоте.
Равносторонний треугольник является равнобедренным для каждой пары своих сторон. Ввиду равенства всех его сторон равны и все три угла такого треугольника. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна двум прямым, мы видим, что каждый из углов равностороннего треугольника равен 60°. Обратно, чтобы убедиться в равенстве всех сторон треугольника, достаточно проверить, что два из трех его углов равны 60°.
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.