Докажите что если две медианы или две биссектрисы треугольника равны то
Если две биссектрисы треугольника равны
Если в треугольнике две биссектрисы равны, то этот треугольник — равнобедренный.
Дано:
AF, BK — биссектрисы ΔABC,
Доказать: ΔABC — равнобедренный
Разделив обе части равенства на c(a+b+c)≠0 (поскольку a>0, b>0, c>0), получим
откуда по основному свойству пропорции —
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равняется нулю.
(так как a, b и c — положительные числа). Значит b-a=0.
Следовательно, a=b. То есть треугольник ABC — равнобедренный.
Что и требовалось доказать.
В 1840 году немецкий математик Дэниэл Лемус написал швейцарскому математику Якобу Штейнеру письмо с просьбой представить геометрическое решение данной задачи.
Доказательство обоих математиков было достаточно сложным. В дальнейшем многие другие математики брались за решение этой задачи. В результате были получены другие варианты доказательства.
Самое простое доказательство теоремы Штейнера-Лемуса — алгебраическое.
Если две медианы треугольника равны
Если две медианы треугольника равны, то этот треугольник — равнобедренный.
Дано: ΔABC,
Доказать: ΔABC — равнобедренный
Так как AF и BK — медианы треугольника ABC, то точки F и K — середины отрезков BC и AC соответственно.
Значит KF — средняя линия ΔABC.
Таким образом, AKFB — трапеция.
Половины отрезков равны, значит равны и сами отрезки: AC=BC.
Что и требовалось доказать.
Пусть AF∩BK=O.
Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то
Так как AF=BK (по условию), то AO=BO.
Следовательно, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB.
Рассмотрим треугольники ABF и BAK.
2) сторона AB — общая,
3) ∠OAB=∠OBA (по доказанному).
Значит треугольники ABF и BAK равны ( по 1 признаку).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:∠ABF=∠BAK.
Отсюда треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB (по признаку).
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников
Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.
Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.
Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.
Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.
Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.
Второй признак равенства треугольников
Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.
Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.
AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.
CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.
Вершина B совпадает с вершиной B1.
Третий признак равенства треугольников
Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство 3 признака равенства треугольников:
Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.
Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.
Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.
Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой (рис. 55). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведённым из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.
| Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. |
Пусть А — точка, не лежащая на прямой ВС (рис. 56, а). Докажем сначала, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой ВС.
Отложим от луча ВС угол МВС, равный углу АВС, как показано на рисунке 56, а. Так как углы АВС и МВС равны, то первый из них можно наложить на второй так, что стороны В А и ВС первого угла совместятся со сторонами ВМ и ВС второго угла. Наглядно это наложение можно представить себе как перегибание рисунка по прямой ВС. При этом точка А наложится на некоторую точку А1 луча ВМ (рис. 56, б). Обозначим буквой Н точку пересечения прямых AA1 и ВС. Отрезок АН и есть искомый перпендикуляр к прямой ВС. В самом деле, при указанном наложении (перегибании рисунка) луч НА совмещается с лучом НА1 поэтому угол 1 совмещается с углом 2. Следовательно, ∠1 = ∠2. Но углы 1 и 2 — смежные, значит, каждый из них прямой. Итак, АН ⊥ ВС.
Докажем теперь, что из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС.
Если предположить, что через точку А можно провести ещё один перпендикуляр АН1 к прямой ВС, то получим, что две прямые АН и АН1, перпендикулярные к прямой ВС, пересекаются (рис. 57). Но в п. 12 было доказано, что это невозможно. Итак, из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС. Теорема доказана.
Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертёжный угольник (рис. 58).
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника (рис. 59, а).
Любой треугольник имеет три медианы. На рисунке 59,6 отрезки АМ1, ВМ2, СМ3 — медианы треугольника АВС.
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника (рис. 60, а).
Любой треугольник имеет три биссектрисы. На рисунке 60, б отрезки СС1, DD1 и ЕЕ1 — биссектрисы треугольника CDE.
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника (рис. 61).
Любой треугольник имеет три высоты. На рисунках 62, а, б, в отрезки АН1, ВН2, СН3 — высоты треугольника АВС.
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника обладают замечательными свойствами:
| Медианы треугольника пересекаются в одной точке (рис. 59, б); биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (рис. 60, б); высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке (рис. 62, а, б, в). |
Свойства равнобедренного треугольника
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника (рис. 63, а).
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним (рис. 63, б).
Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.
| В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. |
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС и докажем, что ∠B = ∠C. Пусть AD — биссектриса треугольника АВС (рис. 64). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD — общая сторона, ∠1 = ∠2, так как AD — биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому ∠B = ∠C. Теорема доказана.
| В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. |
Обратимся снова к рисунку 64, на котором ΔАВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, AD — его биссектриса.
Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD = DC и ∠3 = ∠4. Равенство BD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС, и поэтому AD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 — смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.
Мы установили, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведённые к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также утверждения:
| 1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. 2. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой. |
Практические задания
100. Начертите прямую а и отметьте точки А и В, лежащие по разные стороны от прямой а. С помощью чертёжного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а.
101 Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника.
102. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.
103. Начертите треугольник АВС с тремя острыми углами и треугольник MNP, у которого угол М тупой. С помощью чертёжного угольника проведите высоты каждого треугольника.
104. Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был:
Задачи
105. Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны.
а) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB;
б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°.
106. Медиана AD треугольника АВС продолжена за точку D на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С.
а) Докажите, что AABD = AECD;
б) найдите ∠ACE, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°.
107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.
108. Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС.
109. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см.
110. Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
111. На рисунке 65 CD = BD, ∠1 =∠2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
112. На рисунке 66 АВ = ВС, ∠1 = 130°. Найдите ∠2.
113. Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка О — середина отрезка NQ.
а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM;
б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°.
114. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.
115. Медиана AM треугольника АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника АВС равен сумме двух других углов.
116. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.
117. На рисунке 67 АВ = ВС, CD = DE. Докажите, что ∠BAC = ∠CED.
118. На основании ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки М и N так, что ВМ = CN. Докажите, что:
а) ΔВАМ = ΔСAN;
б) треугольник AMN равнобедренный.
119. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK = 16 см отрезок EF — биссектриса, ∠DEF = 43°. Найдите KF, ∠DEK, ∠EFD.
120. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки Е и F так, что AE = CF. Докажите, что:
Ответы к задачам
107. 10 см, 20 см и 20 см.
108. АВ = 12,5 см и ВС= 15 см.
119. KF= 8 см, ∠DEK = 86°, ∠EFD = 90°.