Докажите что если две медианы треугольника равны то этот треугольник равнобедренный
Если две медианы треугольника равны
Если две медианы треугольника равны, то этот треугольник — равнобедренный.
Дано: ΔABC,
Доказать: ΔABC — равнобедренный
Так как AF и BK — медианы треугольника ABC, то точки F и K — середины отрезков BC и AC соответственно.
Значит KF — средняя линия ΔABC.
Таким образом, AKFB — трапеция.
Половины отрезков равны, значит равны и сами отрезки: AC=BC.
Что и требовалось доказать.
Пусть AF∩BK=O.
Так как медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то
Так как AF=BK (по условию), то AO=BO.
Следовательно, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB.
Рассмотрим треугольники ABF и BAK.
2) сторона AB — общая,
3) ∠OAB=∠OBA (по доказанному).
Значит треугольники ABF и BAK равны ( по 1 признаку).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:∠ABF=∠BAK.
Отсюда треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB (по признаку).
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Две равные медианы в треугольнике
 |
| Заблокирован по собственному желанию |
 |
|
|
|
Ну до равнобедренного треугольника понятно, а дальше, где там вертикальные углы?
Да кстати Ваше «проводим отрезок, параллельный другой медиане и равный ей (до пересечения с продолжением основания).» тоже вообще то подлежит доказательству.
| Заслуженный участник |
 |
| Заблокирован |
|
|
Снова не понимаю, откуда такой вывод, что стороны у них равные. Если так, то доказывать уже дальше нечего. На самом деле это (ну или равенство двух углов, вот кстати ну нехожу ни одного) и нужно доказать.
Вот если из каждой вершины основания провести по отрезку равному медиане и параллельно другой медиане, то получим два параллелограмма с соответственно равными сторонами и следовательно с равными диагоналями. (равными половинам сторон, в которые эти медианы упираются). Дальше уже ерунда. Однако опять же это слишком далеко от 3 основных признаков равенства треугольников. Неужели это нельзя доказать без того, чтобы использовать параллельность?
|
Слито с дублем. АКМ.
Еще раз хочу вернуться к задаче про док-во равнобедренности треугольника по двум равным медианам (да и по биссектрисам тоже).
Вопрос вот какой, сами эти утверждения доказываются очень легко, если пользоваться параллельностью, я вот, например, не смог найти ни одного док-ва, которые опирались бы только на признаки равенства треугольников.
К сожадению, я не знаком с геометрией Лобачевского.
Просто хотелось бы, чтобы знающие люди с ходу ответили, возможно ли в этой (или в какой-либо другой геометрии), что медианы или биссектрисы равны, а треугольники не равнобедренные.
Просто хочется понять, почему не удается доказать эти утверждения (вроде бы очень простые) без построения вспомогательных параллелограммов.
|
|
|
Контрпример в том, что равенство сторон треугольника в нееквлидовом пространстве вообще говоря не зависит от равенства медиан и биссектрис.
Хотя я четкого не приводил, так что вполне в моих рассуждениях может быть ошибка.
|
|
|
Ну пока остановимся на том, что действительно равенство сторон треугольника, как следствие равенства медиан, следует относить на 5 постулат.
Но вот что касается пересечения медиан в одной точке, то мне вот почему то кажется, что вообще то не факт, что они все всегда будуьт пересекаться. Ну вот так на глаз, такой если взять приплюснутый треугольник.
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
Свойства медианы треугольника (ЕГЭ 2022)
Сегодня мы рассмотрим часть треугольника, которая не раз поможет тебе при решении многих задач, — медиану.
Эта приятная, лёгкая и полезная теория!
Медиана треугольника — коротко о главном
Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медиана делит площадь треугольника пополам
Но \( \displaystyle AM=CM\), значит, \( \displaystyle <_<\triangle ABM
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( \displaystyle 2:1\ \), считая от вершины.
Но \( \displaystyle AM=CM\), значит, \( \displaystyle <_<\triangle ABM
Длина медианы: \( \displaystyle <
^<2>>=\frac <1>
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.
Определение медианы треугольника
Это очень просто! Возьми треугольник.
Отметь на какой-нибудь его стороне середину \( \displaystyle M\).
И соедини с противоположной вершиной!
Получившийся отрезок \( \displaystyle BM\) и есть медиана.
Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медиана в прямоугольном треугольнике
Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!
Почему. При чём тут прямой угол?
Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.
Ты заметил, что наш треугольник \( \displaystyle ABC\) – ровно половина этого прямоугольника?
Проведём диагональ \( \displaystyle BD\):
Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?
Но одна из диагоналей – \( \displaystyle AC\) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы \( \displaystyle \Delta ABC\).
Она называлась у нас \( \displaystyle M\).
Значит, половина второй диагонали – наша медиана \( \displaystyle BM\). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим \( \displaystyle BM=MA=MC\)
Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!
Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.
Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?
Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.
Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике
Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.
Задача №1:
В \( \displaystyle \Delta ABC\) стороны \( \displaystyle AC=5\); \( \displaystyle BC=12\). Из вершины \( \displaystyle C\) проведена медиана \( \displaystyle CN\).
Найти \( \displaystyle AB\), если \( \displaystyle AB=2CN\).
Сразу вспоминаем, это если \( \displaystyle CN=\frac
<2>\), то \( \displaystyle \angle ACB=90<>^\circ \)! Ура! Можно применить теорему Пифагора!
Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!
Применяем теорему Пифагора:
А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?
Запомни очень важный факт:
Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении \( 2:1\), считая от вершины.
Сложно? Смотри на рисунок:
Медианы \( \displaystyle AM\), \( \displaystyle BN\) и \( \displaystyle CK\) пересекаются в одной точке.
Задача №2:
Решение:
\( \displaystyle \angle B=90<>^\circ \) – треугольник прямоугольный!
(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).
Найдём \( \displaystyle AC\) по теореме Пифагора:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Теорема о медиане и площади треугольника
Медиана делит площадь треугольника пополам
Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника. \( S=\frac<1><2>a
И применим эту формулу аж два раза!
Посмотри, медиана \( \displaystyle BM\) разделила \( \displaystyle \triangle ABC\) на два треугольника: \( \displaystyle \triangle ABM\) и \( \displaystyle \triangle BMC\).
Но! Высота-то у них одна и та же – \( \displaystyle BH\)!
Только в \( \displaystyle \triangle ABM\) эта высота \( \displaystyle BH\) опускается на сторону \( \displaystyle AM\), а в \( \displaystyle \triangle BMC\) – на продолжение стороны \( \displaystyle CM\).
Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу
1) B \( \displaystyle \triangle ABM\):