Докажите что если при некотором натуральном значении n число n

Метод математической индукции

Метод математической индукции

Способ доказательства методом математической индукции заключается в следующем:

1) Начало индукции. Доказывают или непосредственно проверяют справедливость утверждения ( формулы ) для n=1;

2) Индуктивный переход. Предполагают справедливость утверждения для некоторого натурального n=k .

3) Исходя из этого предположения, доказывают справедливость утверждения для n=k+1.

Ясно, что метод математической индукции (в дальнейшем м. м.и.) можно применять только для доказательства утверждений, зависящих от натурального n.

Задачи на делимость натуральных чисел часто предлагаются на математических олимпиадах разного уровня. Многие из них легко доказываются м. м.и.

1. Проверим, если n = 1, получим 13 + 2· 1 = 3 делится на 3

2. Предположим, что делится при n = к, т. е. к3+ 2к делится на 3.

3. Докажем, что при n = к + 1 полученное выражение тоже делится на 3.

(к + 1)3+ 2(к + 1) = к3 + 3к2 + 3к + 1 + 2к + 2 = (к3 + 2к) + 3к2 + 3к + 3 делится на 3, т. к. каждое слагаемое делится на 3.

Доказать, что при любом натуральном n число

(впрочем, здесь начать можно и с n=0)

2) Пусть ak делится на 7.

3) Докажем справедливость утверждения для n=k+1 ak+1=32(k+1)+1+2(k+1)+2=32k+1 9+ 2k+2 2= (32k+1+2k+2)9-7 *2k+2=9ak-7*2k+2

2) предположим, что утверждение верно при некотором натуральном n=k, т. е. число 7k+1+82k-1 делится на 19.

3) Докажем верность утверждения для n=k+1

Так как каждое слагаемое полученной суммы делится на 19, то и 7k+2+82k+1 также делится на 19. Утверждение доказано.

Доказать, что при любом натуральном n число 23+1 делится на 3n+1

1) Для n=1 число 23+1=9 делится на 31+1=9

2) Пусть утверждение верно для n=k, т. е. 23+1 делится на 3k+1.

23+1=23+1=(23)3+1=(23+1)((23)2 – 23+1) делится на 3к+2

Задачи для самостоятельного решения (прислать решения на 1,2,4)

Докажите, что при всех натуральных n

1) n3 + 11n делится на 6

5) 5·23n-2 + 33n-1 делится на 19

Метод математической индукции

1) Проверим справедливость утверждения для n =1.

2) Предположим справедливость формулы для n=k, т.е.

3) докажем справедливость формулы для n=k+1

Задача Доказать, что 3n

1) Проверим справедливость утверждения для n =1. 3 ≥ 3

2) Предположим справедливость формулы для n=k, т.е. 3к

3) докажем справедливость формулы для n=k+1, т. е. 3к+1

3к+1 = 3· 3к ≥ 3() = (2 + 1)( ) = 2· 2к + 2к + 2к + к = (2к+1+ к + 1) + (2к + 2к – 1), значит, тем более 3к+1

Задача Доказать, что при n ≥ 2

2) Предположим справедливость формулы для n=k, т.е.

3) докажем справедливость формулы для n=k+1, т. е.

—

Рассмотрим выражение —= , значит, тем более

Задача 4. Вывести формулу суммы первых n нечетных чисел натурального ряда.

Замечаем, что сумма первых n нечётных чисел натурального ряда равна n2 т. е. S(n)=n2. Докажем это м. м.и.

1) для n =1 формула верна.

2) предположим, что она верна для какого-нибудь натурального n=k, т. е. S(k)= k2.

Докажем, что тогда она будет верна и для n=k+1, т. е. S(k+1)=(k+1)2

Следовательно, формула верна для всех натуральных значений n, т. е. S(n)=n2

Задача 5. Доказать, что сумма квадратов первых натуральных чисел равна

12 +22 +32 +42 +…+n2=

1) Проверим справедливость утверждения для n =1.

т. е. для n =1 формула верна.

2) Предположим справедливость формулы для n=k, т.е. S(k)=12+22+32+…+k2 =

3) Исходя из этого предположения докажем справедливость формулы для n=k+1

Действительно, S(k+1)=12+22+32+…+k2+(k+1)2. Сумма первых k слагаемых равна S(k)= Значит, S(k+1)=S(k)+ (k+1)2=

=

Итак, мы доказали, что формула верна для n=kМы получили ту же формулу. Следовательно, в силу м. м.и. данная формула верна для любого натурального n.

Задача 6. Доказать, что для всех натуральных n справедлива формула

13+23+33+…+n3=

1) при n =1 левая часть этой формулы принимает вид 13=1 ; правая часть принимает вид . Значит, при n =1 формула верна.

2) предположим, что формула верна при n=k, т. е. верно равенство 13+23+33+…+k3 =

Докажем, что тогда эта формула верна и при n=k+1 (каким бы ни было k ), т. е. верно равенство 13+23+…+k3+(k+1)3=

Для этого заметим, что левую часть доказываемого равенства можно записать в виде (13+23+33+…+k3)+(k+1)3

Но по предположению выражение в скобках равно ,

13+23+…+k3+(k+1)3= .

Значит, доказываемая формула верна при n =1, а из её справедливости при n=k вытекает, что она верна и при n=kВ силу м. м.и. отсюда вытекает справедливость этой формулы для всех натуральных значений n.

Задача 8. Доказать, что при всех натуральных n выполняется неравенство

Доказательство:Обозначим левую часть неравенства через an.

1) начало индукции. Справедливость неравенства при n=1 очевидна.

2) индуктивный переход. Пусть ak . Надо доказать, что ak+1. А поскольку ak+1= , то нам достаточно доказать неравенство . Возведя это неравенство в квадрат и упрощая, приходим к неравенству n.

Для самостоятельного решения (по желанию)

Доказать равенства для всех натуральных n

1) 12+32+52+…+(2n-1)2=

3) 13+23+…+n3=

Докажите справедливость неравенства при любом натуральном значении n

4) 3n >5n+1 при n

5) 2n-1 > n(n+1) при n

6)

Источник