Докажите что функция y 1 x ограничена на множестве
Докажите что функция y 1 x ограничена на множестве
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ain R`, за исключением, быть может, самой точки `a`.
Число `A` называется пределом функции `y=f(x)` в точке `a`, если для любой последовательности `(x_n)` из области её определения такой, что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a` выполняется равенство `lim_(n->oo)f(x_n)=A`.
Обозначение: `lim_(n->oo)f(x)=A`, или `f(x)->A` при `x->a`.
В определении предела рассматриваются значения `x_n`, не равные `a`, поэтому в самой точке `a` функция `y=f(x)` может быть не определена; если значение `f(a)` определено, то оно не обязано совпадать с `A`. К тому же, поскольку последовательность `(f(x_n))` имеет не более одного предела, получаем, что если функция `y=f(x)` имеет предел при `x->a`, то этот предел единственный.
На рис. 2 изображена лишь одна последовательность `(x_n)`, которая к тому же является монотонной. Важно понимать, что `lim_(n->oo)f(x_n)=A` для любой последовательности `(x_n)` с условием `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`.
Доказать, что `lim_(n->oo)x=a`.
Очевидно, функция `f(x)=x` определена на любом интервале, содержащем `a`. Выберем произвольную последовательность `(x_n)` такую, что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`. Тогда `f(x_n)=x_n` и, значит, `lim_(n->oo)f(x_n)=a`.
Доказать, что при `a>0lim_(n->a)sqrtx=sqrta`.
Функция `f(x)=sqrtx` определена при `x>=0` и, следовательно, определена на некотором интервале, содержащем `a`. Выберем произвольную последовательность неотрицательных чисел `x_n!=a`, что `lim_(n->oo)x_n=a`. Нам нужно показать, что `lim_(n->oo)sqrtx_n=sqrta`. Фиксируем произвольное `epsilon>0`, тогда найдётся такое число `k`, что при `n>k` выполняется неравенство `|x_n-a| 1)(x^2-1)/(x-1)=2`.
Функция `f(x)=(x^2-1)/(x-1)` определена на любом интервале, содержащем `x=1`, кроме этой точки. Поскольку при `x!=1` имеет место равенство `f(x)=x+1`, то для любой последовательности `(x_n)` такой, что `x_n!=1` и `lim_(n->oo)x_n=1` выполняется `lim_(n->oo)f(x_n)=lim_(n->oo)x_n+1=2`.
Пусть функции `y=f(x)`, `y=g(x)` определены на некотором интервале, содержащем точку `a in R`, за исключением, быть может, самой точки `a`, `lim_(x->a)f(x)=A` и `lim_(x->a)g(x)=B`. Тогда
3) если дополнительно `g(x)!=0` при `x!=a`, `B!=0`, то `lim_(x->a)(f(x))/(g(x))=A/B`.
Эти свойства вытекают из арифметических операций над пределами последовательностей (теорема 2.2). Приведём доказательство для свойства 2. Остальные доказываются аналогично.
Пусть некоторая произвольная последовательность `(x_n)` из интервала, на котором определены функции, такова что `x_n!=a` и `lim_(n->oo)x_n=a`. Тогда по определению предела функции `lim_(n->oo)f(x_n)=A` и `lim_(n->oo)g(x_n)=B`. По пункту 2 теоремы 2.2 `lim_(n->oo)f(x_n)g(x_n)=AB`. По определению предела функции получаем, что `lim_(x->a)f(x)g(x)=AB`.
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `a`. Функция `y=f(x)`называется непрерывной в точке `a`, если `lim_(x->a)f(x)=f(a)`, т. е. если для любой последовательности `(x_n)` из области определения функции такой, что `lim_(n->oo)x_n=a`, выполняется равенство `lim_(n->oo)f(x_n)=f(a)`.
Отметим два обстоятельства, связанных с определением непрерывности. Во-первых, оговорка `x_n!=a` здесь не нужна, т. к. при `x_n=a` значения `f(x_n)` равны `f(a)`. Во-вторых, важно понимать, что если функция `y=f(x)` непрерывна в точке `a`, то
1) она определена в точке `a`;
2) существует `lim_(x->a)f(x)=A` и
Если хотя бы один из пунктов 1) – 3) не выполнен, то функция не является непрерывной в точке `a`.
Многочлен является непрерывной на всей числовой прямой функцией.
Из теоремы 3.1 вытекает, что если функции `y=f(x)`, `y=g(x)` непрерывны в точке `a`, то функции `y=f(x)+-g(x)`, `y=f(x)g(x)`, `y=f(x)//g(x)` `(g(a)!=0)` также непрерывны в `a`.
Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Функция `y=|x|` непрерывна на всей числовой прямой.
Вообще, все элементарные функции, изучаемые в школьном курсе, непрерывны в каждой точке, в окрестности которой эти функции определены.