Докажите что функция является четной 10 класс

Четные и нечетные функции

График четной функции симметричен относительно оси \(y\) :

График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

\(\blacktriangleright\) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

\(\blacktriangleright\) Некоторые свойства:

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций — четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.

Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной \(T\) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:

При каких значениях параметра \(a\) уравнение

имеет единственное решение?

\[2\cdot 0+a\mathrm\,(\cos 0)+a^2=0 \quad \Rightarrow \quad a^2+a\mathrm\,1=0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin\begin &a=0\\ &a=-\mathrm\,1 \end \end\right.\]

симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)

\(\dfrac n2, n\in\mathbb\)

(Задача от подписчиков)

имеет хотя бы один корень.

(Задача от подписчиков)

имеет шесть различных решений.

Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.

1) Чтобы уравнение \((*)\) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: \[D=a^2-16a+52>0\quad\Leftrightarrow\quad a\in (-\infty;8-2\sqrt3)\cup(8+2\sqrt3;+\infty)\]

2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как \(t>0\) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: \[\begin 12-a>0\\-(a-10)>0\end\quad\Leftrightarrow\quad a

Источник

Презентация «Четные и нечетные функции»

Описание разработки

«Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле»

1. Определение числовой функции.

2. Область определения числовой функции.

3. Область значения числовой функции.

5. Установите соответствие функции и ее графика:

Промежутки, симметричны относительно начала координат, значит для любого х из этого промежутка (-х) также принадлежит этому промежутку.

Функция f называется ЧЕТНОЙ, если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x)

Область определения функции симметрична относительно начала координат.

Содержимое разработки

учитель математики МКОУ «Яланская СОШ»

1. Определение числовой функции.

2. Область определения числовой функции.

3. Область значения числовой функции.

5. Установите соответствие функции и ее графика:

Функция f называется ЧЕТНОЙ , если для любого х из ее области определения

Область определения функции симметрична относительно начала координат

Функция f называется НЕЧЕТНОЙ, если для любого х из ее области определения

Область определения функции симметрична относительно начала координат

Четность и нечетность тригонометрических функций

Свойства четных и нечетных функций

2 . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Доказать, что функция g(x ) нечетная

3. Является ли функция f(x ) четной или нечетной?

3 . Докажите, что функции являются четными

3 . Докажите, что функции являются нечетными

1. Докажите, что функция f(x)=4х 3 +7х является нечетной.

2. Приведите пример четной функции.

Источник

Урок алгебры в 10 классе на тему:»Четные и нечетные функции»

Выбранный для просмотра документ chetnost_i_nechetnost_funktsii.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

ЧЁТНЫЕ И НЕЧЁТНЫЕ ФУНКЦИИ

Цели урока сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков; развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать; воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.

Чётные функции Функция f(х) называется четной, если область её определения симметрична относительно начала координат и f(-x) = f(x) для любого х из области определения функции. Графики чётных функций симметричны относительно оси ординат.

Алгоритм исследования функции на чётность Установить, _______________ ли _____________________________. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма. Составить выражение для f(-х). Сравнить ______________: если ______________________, то функция чётная; если ____________________, то функция нечётная; если _____________________________________, то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Определите, являются ли заданные множества симетричными? А) (-2;2) Б) (-2;2] В) Г) Д) [0; ∞) Е)

Укажите график четной функции. 1 2 3

Укажите график четной функции. 1 2 3

Укажите график нечетной функции. 1 2 3

Укажите график нечетной функции 1 2 3

Укажите график нечетной функции. 1 2 3

Подведение итогов урока

Рефлексия Разобрался полностью Понял, но есть некоторые затруднения Не понял Определение четной и не четной функции Алгоритм исследования функций на четность Графическое изображение четных и не четных функций Настроение на уроке Отлично Хорошо Плохо

Домашнее задание П. 11. с 110-115 Выучить определения, алгоритм №11.11, 11,17, 11,19, 11.21

Выбранный для просмотра документ otkrytyy_urok_24.docx

Тема: Чётные и нечётные функции.

Цель: — сформировать понятие чётности и нечётности функции, учить умению определять и использовать эти свойства при исследовании функций, построении графиков;

— развивать творческую активность учащихся, логическое мышление, умение сравнивать, обобщать;

— воспитывать трудолюбие, математическую культуру; развивать коммуникативные качества.

1. Организационный момент. (Постановка целей и задач урока.)

2. Проверка домашнего задания.

5. Функция возрастает при х € [-2; + ∞)

6. Функция ограничена снизу.

8. Функция непрерывна.

2.Таблицу, которую вам задавалась, проверим по слайду.

Координаты точек пересечения графика с Оу

3. Актуализация знаний.

— Указать область определения для каждой функции.

-Для каких из данных функций в области определения выполняются равенства f(-х)=f(х),

— Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё одно свойство функции, незнакомое вам, но не менее важное, чем остальные – это чётность и нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные и нечётные функции», наша задача – научиться определять чётность и нечётность функции, выяснить значимость этого свойства в исследовании функций и построении графиков.

Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем(стр110) Слайд

Опр.1 Функция у = f (х), заданная на множестве Х называется чётной, если для любого значения х Є Х выполняется равенство f(-х)= f(х). Приведите примеры.

Где мы встречались с терминами «четные» и «нечётные»?

Какие из данных функций будут чётными, как вы думаете? Почему? Какие нечётными? Почему?

Изучение вопроса о том, является ли функция чётной или нечётной называют исследованием функции на чётность. Слайд

В определениях 1 и 2 шла речь о значениях функции при х и –х, тем самым предполагается, что функция определена и при значении х, и при –х.

(-2;2), [-5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а [0; ∞), (2;-2], [-5;4]- несимметричные.

— у чётных функций область определения – симметричное множество? У нечётных?

Если же D(f)- несимметричное множество, то функция какая?

Таким образом, если функция у=f(х)-чётная или нечётная, то её область определения D(f) – симметричное множество. А верно ли обратное утверждение, если область определения функции симметричное множество, то она чётна, либо нечётна?

— Так как же исследовать функцию на четность? Давайте попробуем составить алгоритм.

Алгоритм исследования функции на чётность.

Установить, симметрична ли область определения функции. Если нет, то функция не является ни чётной, ни нечётной. Если да, то перейти к шагу 2 алгоритма.

Составить выражение для f(-х).

если f(-х) = f(х), то функция чётная;

1) D(h) = (-∞; 0) Ụ (0; +∞ ), симметричное множество.

1) D(f) = (-∞; 3] Ụ [3; +∞ ), симметричное множество.

3) f (- х) = f (х) => функция f(х) = чётная.

Итак, по аналитической записи можно определить четность функции? Но кроме аналитического способа задания функции есть другие. Какие? Можно ли по графику функции выявить её четность? Давайте вернёмся к заданию, которое мы выполняли в начале урока, найдём соответствие между аналитически заданными функциями и их графиками (изображёнными на доске), что вы находите примечательного в расположении графиков чётных функций? Нечётных?

График чётной функции симметричен относительно оси у.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Если график функции у = f(х) симметричен относительно оси ординат, то у = f(х) – чётная функция.

Если график функции у = f(х) симметричен относительно начала координат, то у = f(х) – нечётная функция.

Доказательство данных утверждений разобрать дома самостоятельно по учебнику и записать в тетрадь.

— Какова же значимость свойства четности или нечётности функции? Зачем нужно изучать

2. Исследуйте на чётность функцию:

2. Исследуйте на чётность функцию:

3. На рис. построен график у = f(х), для всех х, удовлетворяющих условию х ≥ 0.

Постройте график функции у = f(х),

если у = f(х) –чётная функция.

3. На рис. построен график у = f(х), для всех х, удовлетворяющих условию х ≤ 0.

Постройте график функции у = f(х),

если у = f(х) – нечётная функция.

Взаимопроверка по слайду.

6. Задание на дом . №11.11, 11.21,11.22; Доказательство геометрического смысла свойства чётности. ***(Задание варианта ЕГЭ ).

1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой. Для всякого

неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением

функции g (х) = х(х+1)(х+3)(х-7). Найдите значение функции h (х) = при х = 3.

Источник

Разработка урока по алгебре для учащихся 10 класса «Четность и нечетность функции»

Урок алгебры в 10 классе

Тема «Четность и нечетность функции»

Цель урока: систематизировать знания учащихся по теме; отработать умение исследовать на четность тригонометрические функции; развивать самостоятельность мышления учащихся в ходе выполнения самостоятельной работы.

Тест на проверку готовности к уроку.

Подготовка к изучению нового материала.

Изучение новой темы.

Закрепление изученного материала.

Проверка усвоения нового материала.

Подведение итогов урока.

Постановка домашнего задания.

1. Организационный момент.

Приветствие, сообщение цели урока, позитивный настрой на урок.

Найдите область определения функции:

а)
б)
в)
г)
д)
е)

2. Найдите область значений функции:

а)
б)
в)

1. Найдите область определения функции:

а)
б)
в)
г)
д)
е)

2. Найдите область значений функции:

а)
б)
в)

3. Подготовка к изучению темы урока.

Вопрос1: Какие из представленных функций являются четными, а какие нечетными? (задания выведены на экран)

1)
2)
3)
4)

Вопрос 2: Как установили четность функции?

Вопрос 3: Как расположен на координатной плоскости график четной и нечетной функции?

4. Изучение новой темы.

1) Определение четной/нечетной функции

2) Графики четной/нечетной функции (рис. 30,31 по учебнику)

3) Рассмотреть примеры 2 и 3 (стр 31)

4) Не всякая функция является четной или нечетной (пример 4 из учебника)

5) По единичной окружности устанавливаем равенства: , )

Получаем , .

Вывод: — четная функция, — нечетная функция, -нечетная функция, — нечетная функция.

Составим план исследования функции на четность или нечетность.

Рассмотрим пример (на экране с подробными записями): выяснить четность функции .

Решение:

, так как — нечетная функция.

5. Закрепление изученного материала.

Фронтальная работа. Исследовать на четность следующие функции:

1)
2)
3)
4)
5)

Работа по учебнику №57 (в,г), 58 (в,г), 60 (б,в)

6. Проверка усвоения нового материала.

Классификация тригонометрических функций.

Тем, кто выполнил верно все задания – выставляются оценки в журнал.

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)

Источник

Алгебра

А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?

Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб

План урока:

Возрастание и убывание функций

Посмотрим на график произвольной функции:

Видно, что область определения ф-ции – это промежуток [– 6; 4].

На графике сначала ф-ция как бы «поднимается». При увеличении х растет значение у. Так происходит до точки (1; 5). После этого ситуация меняется, при увеличении аргумента значение ф-ции начинает падать. В математике принято говорить, что ф-ция возрастает на промежутке [– 6; 1] и функция убывает на промежутке [1; 4]. Можно сказать и иначе – ф-ция у является возрастающей функцией на множестве [– 6; 1] и убывающей функцией на множестве [1; 4].

Рассмотрим это определение возрастающей функции подробнее. Построим произвольную возрастающую ф-цию и выберем на ней две точки со значениями аргумента х₁ и х₂. Также отметим значения ф-ции в этих точках, у(х₁) и у(х₂):

По определению, если х₁ меньше х₂, то и у(х₁) »и « у(х₁). По определению получаем, что у = 2х – 3 – возрастающая ф-ция.

Промежутки монотонности основных функций

Мы ранее уже изучили несколько видов ф-ций. Посмотрим, какие у них промежутки монотонности.

Поведение линейной ф-ции у = kх + b зависит исключительно от значение коэффициента k. Если он больше нуля, то функция возрастает на промежутке (– ∞; + ∞), то есть на всей числовой прямой. Если же k n зависит от показателя n. Если он нечетный, то получается ф-ция, возрастающая на всей числовой прямой:

Если же число n четное, то степенная ф-ция будет убывать на промежутке (– ∞:0] и возрастать на промежутке [0; + ∞):

Пример. Найдите значения параметра a, при котором ф-ция

у = (5а – 2)х +16

является возрастающей.

Решение. Данная ф-ция является линейной ф-цией вида у = kx + b, где в роли коэффициента k выступает выражение (5а – 2). Ф-ция будет возрастать, если этот коэффициент будет больше нуля, то есть

Получаем, что ф-ция будет возрастающей при значениях а, больших 0,4, или, другими словами, при а∊(4; + ∞).

Свойства монотонных функций

Монотонные функции имеют ряд примечательных свойств, которые могут помогать при решении задач. Вспомним, что некоторые ф-ции могут при различных значениях аргументов принимать одинаковое значение. Например, таковой является степенная ф-ция у = х 2 :

С точки зрения графиков это означает, что горизонтальная линия может пересекать график ф-ции в нескольких точках:

С другой стороны, это значит, что уравнение х 2 = 4 имеет два корня, 2 и ( – 2).

Если же ф-ция строго монотонна, то такая ситуация невозможна. Любое ее значение может быть получено только при одном значении аргумента.

Действительно, если ф-ция монотонна, то любая горизонтальная прямая сможет пересечь ее график не более чем в одной точке:

Это также означает, что, если у(х) – строго монотонная ф-ция, а b– произвольное число, то уравнение у(х) = b имеет не более одного корня. Так, у уравнения х 3 = 8 есть только один корень (он равен 2), потому что х 3 – монотонная ф-ция.

Рассмотрим следующее свойство монотонных функций.

Действительно, ранее мы уже изучали сжатие и растягивание графиков. умножение ф-ции на постоянное число как раз и ведет к подобным преобразованиям. Ясно, что при этом не происходит изменение монотонности ф-ций:

Например, парабола у = х 2 возрастает на промежутке [0; + ∞), значит, и ф-ция у = 3х 2 также возрастает на этом же промежутке:

Проще говоря, при умножении ф-ции на положительное число ее промежутки монотонности не изменяются.

А что же произойдет при умножении ф-ции на отрицательное число. Она не только сожмется или растянется, но ещё и отобразится симметрично относительно оси Ох. В результате промежутки возрастания ф-ции превратятся в промежутки убывания, и наоборот.

Проиллюстрируем это на примере ф-ций у = х 2 и у = – х 2 :

Видно, что на промежутке (– ∞; 0] ф-ция у = – х 2 возрастает, в то время как обычная парабола убывает. На промежутке [0; + ∞)ситуация противоположная.

Если две ф-ции одновременно возрастают на одном промежутке, то и их сумма также будет возрастать на этом промежутке.

Например, ф-ции у = х 5 и у = 4х возрастают на всей числовой прямой. Следовательно, возрастающей является и ф-ция у = х 5 + 4х.

Пример. Решите уравнение

х 7 + 2х – 3 = 0

Решение. Можно заметить, что число 1 является корнем этого уравнения. Действительно, подставим единицу в уравнение и получим верное равенство:

Докажем, что других корней уравнение не имеет. В его левой части стоит сумма двух возрастающих ф-ций, у = х 7 и у = 2х – 3. Следовательно, и ф-ция у = х 7 + 2х – 3 также является возрастающей на всей числовой прямой. Это значит, что исследуемое уравнение имеет не более 1 корня, то есть корень х = 1 – единственный.

Пример. Докажите, что у уравнения

не более одного корня.

Выражение в левой части имеет смысл только при положительных х. Ведь если х 2 :

В общем случае эту особенность можно доказать так:

у(– х) = (– х) 2 = х 2 = у(х)

В математике есть специальный термин для обозначения ф-ций, обладающих таким свойством. Их называют четным функциями.

Определение четной функции можно записать и так, чтобы в нем фигурировали формулы:

Для проверки того, является ли функция четной, достаточно подставить в нее вместо аргумента х величину (– х).

Пример. Докажите, что ф-ция у = х 4 + 3х 2 является четной.

Решение. Подставим в ф-цию значение (– х):

у(– х) = (– х) 4 + 3(– х) 2 = х 4 + 3х 2

Получили исходную ф-цию у(х). Значит, исследуемая функция является четной.

Пример. Четна ли ф-ция

Решение снова подставим в ф-цию значение (– х):

Получили изначальную ф-цию. Следовательно, она – четная.

Почему же четные ф-ции симметричны относительно оси Оу? Из определения следует, что если графику четной ф-ции принадлежит точка (х₀;у₀), то ему же принадлежит точка (– х₀;у₀). Посмотрим, как они располагаются на координатной плоскости:

Они симметричны относительно оси Оу. Если же для каждой точки графика есть симметричная точка, также ему принадлежащая, то и в целом график симметричен относительно вертикальной оси.

Такая симметрия (относительно точки), называется центральной. Геометрически она означает, каждой точке графика в I четверти с двумя положительными координатами соответствует точка графика в III четверти с такими же координатами, но взятыми со знаком «минус»:

Существует множество ф-ций, обладающих подобной симметрией. В математике их все называют нечетными функциями. У них противоположным значениям аргументов соответствуют противоположные значения ф-ции, а график нечетной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Чаще используется определение, содержащее формулу:

Покажем это свойство у ф-ции у = х 3 :

Для того, чтобы доказать нечетность ф-ции, надо поставить в нее (– х) вместо х. Если получилась исходная ф-ция с противоположным знаком, то это значит, что ф-ция нечетная.

Пример. Докажите, что ф-ция у = х 5 + х – нечетная.

Решение: Подставим (– х):

у(– х) = (– х) 5 + (– х) = –х 5 – х = – (х 5 + х) = – у(х)

Получили исходную ф-цию, но со знаком «минус», поэтому ф-ция является нечетной.

Пример. Докажите нечетность ф-ции у = 5/х + 4х.

Решение. Подставляем в ф-цию (– х):

у = 5/(– х) + 4(– х) = – 5/х – 4х = – (5/х + 4х) = – у(х)

Снова получили исходную ф-цию со знаком минус, следовательно, мы исследовали нечетную ф-цию.

Известно, что любое целое число либо четное, либо нечетное. Однако с ф-циями всё по-другому. Существует множество ф-ций, которые не относятся ни к тем, ни к другим. Чтобы доказать, что ф-ция не является ни четной, ни нечетной, достаточно продемонстрировать, что хотя бы для одного значения х не выполняются условия у(– х) = у(х) и у(– х) = – у(х).

Пример. Докажите, что у = х 3 + х 2 – ни четная, ни нечетная ф-ция.

Решение. Определим значение ф-ции при, например, х = 1 и х = –1

у(– 1) = (– 1) 3 + (– 1) 2 = 0

Получили, что при противоположных х значения у не являются ни одинаковыми, ни противоположными. Значит, рассматриваемая ф-ция не подходит под приведенные определения четности и нечетности.

Свойства четных и нечетных функций

Рассмотрим важные свойства, помогающие быстро определять четность и нечетность ф-ций.

Так, ф-ции у = х 3 и у = 1/х – нечетны. Значит, нечетна и их сумма у = х 3 + 1/х.

Другими словами, ф-цию можно «перевернуть», и она всё равно сохранит свою четность. Так, ф-ция 5х 4 + х 2 четная, поэтому и ф-ция

останется такой же.

Вообще рассматриваемое свойство ф-ции часто называют ее четностью. Так, про две рассматриваемые ф-ции у = х 3 и у = х 9 можно сказать, что они обладают одинаковой четностью (обе нечетные), а у = х 5 и у = х 7 обладают различной четностью (одна из них четная, а другая нечетная).

Например, ф-ции у = 5х 3 + 6х и у = 9х 5 имеют одинаковую четность (обе нечетные), а потому их произведение у = 9х 5 (5х 3 + 6х) является четным. С другой стороны, у = х 5 и у = х 8 + у 6 имеют различную четность, следовательно, их произведение у = х 5 (х 8 + у 6 ) нечетное.

Докажем справедливость этого правила. Пусть есть две ф-ции, у = у(х) и g = g(х), которые обладают какой-нибудь четностью. Определим четность их произведения у(х)•g(х). Для этого рассмотрим 3 различных случая:

Пример. Определите четность ф-ции у = (8х 4 + 3х 2 )(7х 5 + 2х)

Решение. Ф-ция из условия представляет собой произведение двух других ф-ций: у = 8х 4 + 3х 2 и у = 7х 5 + 2х. Первая из них является суммой двух четных и поэтому сама четная. Вторая ф-ция, наоборот, нечетная. Следовательно, их произведение – это тоже нечетная ф-ция.

Ответ: Нечетная ф-ция.

Пример. Определите четность ф-ции у = (х 6 + х 2 )(х 10 + х 8 )

Решение. Так как ф-ции у = х 6 + х 2 и у = х 10 + х 8 имеют одинаковую четность (обе четные), то их произведение является четным.

Для изучения следующего свойства ф-ций необходимо сначала рассмотреть понятие сложной ф-ции. Так называют ф-цию, которую получают подстановкой одной «простой» ф-ции в другую.Например, пусть есть ф-ции g = х 2 и у = х 3 + 2х. Подставив вторую в первую, получим

Ещё пример сложной ф-ции:

у = 2(9х 2 + 4х + 1) 3 + 3(9х 2 + 4х + 1)

Она получена путем подстановки выражения 9х 2 + 4х + 1 в ф-цию у = х 3 + 3х. В общем случае, если в ф-цию у = f (x) подставляют g(x), то используют запись у = f (g(x)). Иногда вместо термина «сложная функция» используют аналогичное понятие «композиция функций».

Итак, сформулируем ещё одно свойство четных функций:

которая будет четной. При этом природа ф-ции у = 5х + 7 + 1/х не играет никакой роли. Мы могли бы взять любую другую ф-цию, например, у = 958,235х 3 – 12,25х 2 + 19х + 2/3, и подставив в нее х 2 вместо х, получить ф-цию

у = 958,235(х 2 ) 3 – 12,25(х 2 ) 2 + 19х 2 + 2/3

которая будет четной.

Ограниченные и неограниченные функции

В математике говорят, что ф-ция у = х 2 ограничена снизу. То есть для любого допустимого х выполняется неравенство у(х) ⩾ а, где а – это какое-то произвольное число. И действительно, неравенство х 2 ⩾ 0 выполняется при всех значениях х. Также выполняются неравенства

Дадим определение функции, ограниченной снизу

Очевидно, что если неравенство у(х) ⩾ а выполняется хотя бы для одного числа а, то оно выполняется и для всех а, которые ещё меньше. Так, из справедливости неравенства х 2 ⩾ 0 автоматически следует справедливость неравенства х 2 ⩾ – 1,5, так как

Аналогично в математике существует понятие функции, ограниченной сверху.

В качестве примера ограниченной сверху ф-ции можно привести у = 4 – х 2 :

Ясно, что неравенство 4 – х 2 ⩽ 4 выполняется при всех х, то есть ни одна точка графика не лежит выше прямой у = 4.

Иногда бывает так, что функция ограничена одновременно и снизу, и сверху. Их называют ограниченными функциями.

Ф-ция, не попадающее под это определение, называется неограниченной функцией. В качестве примера неограниченной функции можно привести линейную ф-цию у = х + 1.

График ограниченной ф-ции находится в своеобразной «полосе» из горизонтальных линий, которые ограничивают его сверху и снизу. Примером ограниченной ф-ции является

С одной стороны, у этой дроби и числитель, и знаменатель – положительное число, поэтому она ограничена снизу прямой у = 0. С другой стороны, дробь тем больше, чем меньше ее знаменатель (если они оба положительны). Минимальное значение выражения х 2 + 1 – это единица (при х = 0), а поэтому максимальное значение дроби равно 4/1 = 4. Поэтому график ограничен сверху прямой у = 4.

Пример. Ограничена ли ф-ция

Решение. Выделим в ф-ции целую часть:

Так как величина 5х 2 + 5 всегда положительна, то и дробь

а значит, и вообще вся ф-ция положительна, то есть ограничена снизу прямой у = 0

С другой стороны, дробь будет принимать максимальное значение при минимальном значении знаменателя, которое равно 5 (при х = 0) При х = 0 имеем

Получается, что ф-ция ограничена сверху прямой у = 1,4.

Пример. Ограничена ли ф-ция

Решение. Величина х 2 всегда положительна, то есть х 2 ⩾ 0. Преобразуем это неравенство, умножив его на (– 1) и добавив к нему 16:

Получили, что подкоренное выражение не превосходит 16, а значит, и корень из него не больше, чем

То есть график будет ограничен прямой у = 4 сверху. С другой стороны, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом, а потому его график ограничен снизу прямой у = 0. Для наглядности покажем график исследуемой ф-ции:

Квадратичная функция

В качестве ф-ции можно использовать квадратный трехчлен, например:

у = – 1,5х 2 + 19х + 0,5

у = 0,005х 2 + 654,25х – 124

Все эти ф-ции заданы с помощью выражения, представляющего собой квадратный трехчлен, поэтому в математике их называют квадратичными функциями.

Если коэффициент перед х 2 окажется равным нулю, то ф-ция превратится из квадратичной в линейную:

0х 2 + bx + c = bx + c

Попытаемся понять, как выглядит график квадратичной функции. Для этого начнем рассматривать частные случаи и использовать правило растяжения и сжатия, а также параллельного переноса графиков ф-ций.

Если в выражение для квадратичной ф-ции подставить значения

то получится уже известная нам степенная ф-ция у = х 2 :

Её графиком является парабола.

График ф-ции у = ах 2 – это тоже парабола (где а – некоторое число), которая однако, получена из «обычной» параболы у = х 2 путем сжатия или растяжения графика. Если коэффициент а является отрицательным, то парабола «перевернется» то есть отобразится симметрично относительно оси Ох. Покажем примеры нескольких графиков у = ах 2 :

Напомним, что при добавлении к ф-ции какого-нибудь постоянного числа n ее график переносится на n единиц вверх. Зная это можно легко получить график ф-ции у = ах 2 + с из графика у = ах 2 :

Таким образом, графиком ф-ции у = ах 2 + с является парабола, чья вершина поднята на с единиц вверх.

Как изменится график квадратичной ф-ции у = ах 2 + с, если в вместо х возводить в квадрат выражение (х +m), где m – произвольное число? В этом случае ф-ция примет вид у = а(х +m) 2 + с. Вершина параболы должна будет сместиться на m единиц влево:

Теперь докажем, что любая квадратичная ф-ция может быть представлена как в виде у = а(х + m) + n, где m и n – некоторые числа (в том числе и отрицательные). Похожие преобразования мы производили, когда учились решать квадратные уравнения. Запишем саму квадратичную ф-цию:

Вынесем множитель а за скобки:

Далее попытаемся преобразовать трехчлен в скобках, используя формулу квадрата суммы. Для этого добавим к нему и сразу же вычтем величину (b/2a) 2 :

Теперь раскроем внешние скобки:

Теперь произведем две замены:

Используя их, можно записать:

Получили, что любую квадратичную ф-цию можно свести к виду у = а(х + m) 2 + n. Что это значит и для чего мы это доказывали? Из этого факта следует, что график любой квадратичной ф-ции может быть получен из обычной параболы у = х 2 за счет трех действий.

Итак, как будет выглядеть график квадратичной ф-ции? В общем случае он является параболой, центр которой располагается не в точке (0;0), а в некоторой другой точке (х₀; у₀):

Если мы вернемся к доказательству того, что любую квадратичную ф-цию можно представить в виде у = а(х + m) 2 + n, то увидим, что число m рассчитывается по формуле

Так как график из-за этого числа m перемещается влево, а не вправо, то координата вершины х₀ рассчитывается по формуле:

Нет смысла составлять такую же формулу для определения координаты вершины у₀, ведь можно подставить х₀ в сам ф-цию и так узнать вторую координату вершины.

Пример. Определите вершину параболы, задаваемой ф-цией

у = 2х 2 + 8х + 5

Решение. Выпишем коэффициенты а, b и c квадратичной ф-ции:

Зная их, легко рассчитаем координату х вершины параболы:

Теперь подставим это число в исходную ф-цию и определим координату у вершины параболы:

у₀ = у(х₀) = 2(– 2) 2 + 8(– 2) + 5 = 8 – 16 + 5 = – 3

Напомним, что нули ф-ции – это те точки, в которых ее график пересекает ось Ох. Для их поиска необходимо приравнять ф-цию к нулю и решить уравнение. В случае с квадратичной ф-цией мы получим квадратной уравнение.

Пример. Постройте график ф-ции у = х 2 – 4х + 3, отметьте на нем вершину параболы и нули ф-ции.

Решение. Приравняем ф-цию к нулю:

Решим это уравнение

D = b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•1•3 = 16 – 12 = 4

Итак, нашли нули ф-ции: 1 и 3. Теперь найдем вершину параболы:

у₀ = у(х₀) = 2 2 – 4•2 + 3 = 4 – 8 + 3 = – 1

Вершина находится в точке (2; – 1). Теперь отметим ее, а также нули ф-ции на графике, и соединим их линией, похожей на параболу:

При необходимости для точности построения всегда можно вычислить значение ф-ции в нескольких дополнительных точках и провести параболу через них. Здесь мы этого делать не будем

Ответ: вершина параболы – точка (2; – 1), нули ф-ции х₁ = 1 и х₂ = 3

Обратите внимание, что в рассмотренном примере вершина параболы оказалась ниже нулей, поэтому ее ветви смотрят вверх. Вообще, если коэффициент а > 0, то ветви смотрят вверх, а если а 2 – 4х + 6

у = – 3х 2 + 6х – 4

Решение. Начнем с первой ф-ции. Сначала найдем ее нули:

D = b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•(– 2)•6 = 16+48 = 64

Найдем вершину. Сначала используем обычную формулу:

Далее просто проверим себя, найдя среднее арифметическое нулей ф-ции:

Как и ожидалось, получились одинаковые результаты! Вычислим теперь у₀:

у₀ = у(х₀) = – 2(– 1) 2 – 4(– 1) + 6 = – 2 + 4 + 6 = 8

Итак, вершина первой ф-ции – это точка (– 1; 8).

Перейдем ко второй ф-ции. Попробуем найти ее нули:

D = b 2 – 4ас = 6 2 – 4•(– 3)•(– 4) = 36–48 = – 16

Дискриминант отрицательный, значит, корней у уравнения нет. Не будет и нулей и ф-ции. Найдем вершину параболы

Найдем координату у₀ вершины:

у₀ = у(х₀) = – 3•1 2 + 6•1 – 4 = – 3 + 6 – 4 = – 1

Отметим, что у обоих графиков коэффициент а отрицательный, а потому их ветви будут смотреть вниз. Построим их графики:

Иногда приходится решать обратную задачу – по графику квадратичной ф-ции находить выражение, задающее эту ф-цию. Для ее решения необходимо подставлять в общий вид квадратичной ф-ции

значения квадратичной функции, взятые из графика (то есть координаты точек параболы) и получать уравнения, из которых можно найти величины a, b и c.

Пример. Запишите выражение для квадратичной ф-ции, имеющей следующий график:

Решение. Заметим, что графику параболы принадлежит точка с координатами (0; 3). Подставим эти числа, х = 0 и у = 3, в квадратичную ф-цию:

Итак, мы нашли, что коэффициент с = 3. Осталось найти а и b. Возьмем ещё одну точку, скажем, (1; 0), и подставим ее координаты (вообще в большинстве случаев удобно брать точки, одна из координат которой равна 0 или, на худой конец, единице):

Возьмем точку с координатами (– 3; 0):

Получили два уравнения с двумя неизвестными: a + b = – 3 и 9а – 3b = – 3. Решим систему, составленную из них:

Подставим первое уравнение во второе и получим:

Нашли а. Теперь подставим его в уравнение для b:

b = – 3 – а = – 3 – (– 1) = – 2

Получили b = – 2. Мы нашли все коэффициенты, а потому можем записать ф-цию в аналитическом виде:

Источник