Докажите что график линейной функции прямая

Линейная функция « y = kx + b » и её график

Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Функцию вида « y = kx + b » называют линейной функцией.

Вместо « k » и « b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что « y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » и « b » стоят числа.

Примеры функций типа « y = kx + b ».

Обратите особое внимание на функцию « y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента « b ».

Рассматривая функцию « y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента « b » в функции нет.

Как построить график линейной функции
« y = kx + b »

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
« у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.

Для примера построим график функции « y = −2x + 1 ».

Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».

Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.

Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек « y = −2x + 1 » в таблицу.

Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции « y = −2x + 1 ».

Как решать задачи на
линейную функцию « y = kx + b »

Построить график функции « y = 2x + 3 ». Найти по графику:

Вначале построим график функции « y = 2x + 3 ».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = 2x + 3 ».

Теперь работаем с построенным графиком функции « y = 2x + 3 ».

Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:

Запишем полученные результаты в таблицу.

Запишем полученные результаты в таблицу.

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.

−2 = 2 · 1 −

−2 = 2 −

−2 = 1

−

−2 = 1

(неверно)

Как найти точки пересечения графика с осями

Найти координаты точек пересечения графика функции « y = −1,5x + 3 » с осями координат.

Для начала построим график функции « y = −1,5x + 3 » и на графике отметим точки пересечения с осями.

Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции « y = −1,5x + 3 ».

Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую. Тем самым мы построим график функции « y = −1,5x + 3 ».

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Oy » (осью ординат) нужно:

Подставим вместо « x » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Ox » (осью абсцисс) нужно:

Подставим вместо « y » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.

Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».

Источник

График линейной функции, его свойства и формулы

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Свойства линейной функции

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Источник

Линейная функция, ее свойства и график

теория по математике 📈 функции

Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства линейной функции

Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.

Пример №1

Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:

Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).

Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:

Вписываем в таблицу значения у:

Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5), проводим через эти две точки прямую.

Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент — положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.

Пример №2.

Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.

По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).

Пример №3

Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:

Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ассмотрим коэффициенты под №3. Если k 90 0 ) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b 0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом ( 0 ). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b 0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

График данной функции зависит от k и b.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Линейная функция

Линейная функция — функция вида График линейной функции — прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно двух точек — потому что через две несовпадающие точки всегда можно провести прямую, причем единственную.

Угловой коэффициент прямой

Величина k в формуле линейной функции называется угловым коэффициентом прямой

Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона графика линейной функции к положительному направлению оси Х.

Пусть Чем больше k, тем круче вверх идет график функции.

Заметим, что прямая (также изображенная на рисунке) не является графиком функции в нашем обычном, школьном смысле слова. В самом деле — мы помним, что функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу множества Х соответствует один и только один элемент множества Y.

Для прямой это не выполняется: значению соответствует бесконечно много значений у.

Если прямые параллельны.

При этом, чем больше b, тем выше расположен на координатной плоскости график функции.

Например, прямые и параллельны. Их угловые коэффициенты равны.

Если прямые перпендикулярны. Например, прямые и пересекаются под прямым углом. Произведение их угловых коэффициентов равно — 1.

Построение графика линейной функции

График линейной функции построить легко — достаточно двух точек.

Оказывается, что привычный нам вид уравнения прямой — не единственно возможный.

Уравнение прямой можно записать также в виде

Построим, например, прямую, заданную уравнением

Значит, наша прямая проходит через точки и

Зачем изучать линейную функцию?

Дело в том, что многие зависимости в природе и технике описываются формулой виде

Например, закон Ома для участка цепи: Напряжение U прямо пропорционально силе тока I.

Обратите внимание, что в формулу линейной функции аргумент х входит в первой степени. Мы просто умножаем х на угловой коэффициент k и прибавляем b.

Источник

Линейная функция в математике с примерами решения и образцами выполнения

Линейная функция — функция вида y=kx+b (для функций одной переменной).

Определение и геометрический смысл

Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными х и у:

где и b — заданные числа. Этому уравнению удовлетворяет бесконечное множество пар чисел х и у.

удовлетворяют следующие пары:

Для того чтобы найти пару чисел, удовлетворяющих уравнению ( * ), нужно придать х произвольное числовое значение и подставить в уравнение ( * ), тогда у получит определенное числовое значение. Например, если х = 27, то у = 2 x 27 — 6 = 48. Очевидно, что пара чисел х =27 и у =48 удовлетворяет уравнению (*). Так же и в случае уравнения (1) можно придать х произвольное числовое значение и получить для у соответствующее числовое значение.

Так как в данном уравнении х может принимать любое числовое значение, то его называют переменной величиной. Поскольку выбор этого числового значения ничем не ограничен, то х называют независимой переменной величиной или аргументом.

Для у получаются также различные значения, но уже в зависимости от выбранного значения х; поэтому у называют зависимым переменным или функцией.

Функцию у, определяемую уравнением (1), называют линейной функцией.

Пример:

Вычислить значения линейной функции, определяемой уравнением у = 0,5х + 3,7, при следующих значениях независимого переменного: х1 = 0, х2 = —0,5, х3 = —7,6.

Покажем, что если принять пару чисел х и у, удовлетворяющих уравнению (1), за абсциссу и ординату точки, то геометрическим местом этих точек будет прямая линия (рис. 14).

В самом деле, рассмотрим точку В(0, b) и точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2), координаты которых удовлетворяют уравнению (1), т. е.

Обозначим проекции точек М1 и М2 на ось Ох через А1 и A2, тогда ОА1 = х1, ОА2 = х2, А1М1= у1, А2М2 = у2. Проведем из точки В прямую, параллельную оси Ох. При этом получим b = ОВ = А1Р1 = А2Р2.

Предположим, что точки BМ1 и М2 не лежат народной прямой. Соединяя точку В с точками М1 и М2, получим два прямоугольных треугольника ВР1М1 и ВР2М2, из которых имеем:

Но так как х1, у1 и х2, у2 удовлетворяют уравнению (1), то

Выражения и являются отношениями противоположных катетов к прилежащим для уг лов Р1ВМ1 и Р2ВМ2. Следовательно, tg Р1ВМ1 = и tg Р2ВМ2 = , а поэтому и Р1ВМ1 = P2BM2 так как углы острые. Это значит, что точки М2 и В лежат на одной прямой. Но мы предположили, что эти точки не лежат на одной прямой. Таким образом, мы пришли к противоречию, а это и доказывает, что точки M1, М2 и В лежат на одной прямой. Обозначим угол Р1ВМ1 через а. Этот угол образован прямой ВМ1 с положительным направлением оси Ох.

Так как М1 и М2 — произвольные точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), то можно сделать следующее заключение: любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (1), лежит на прямой, отсекающей на оси Оу отрезок ОВ = b и образующей с положительным направлением оси Ох угол а такой, что tg a = .

Число b называется начальной ординатой, число — угловым коэффициентом прямой.

Предыдущие рассуждения позволяют сделать вывод: линейная функция y = x + b определяет на плоскости прямую, у которой начальная ордината равна Ъ, а угловой коэффициент .

Например, линейная функция определяет на координатной плоскости прямую, отсекающую на оси Оу отрезок —4 и наклоненную к оси Ох под углом в 60°, так как tg60° = .

Если имеем определенную прямую, отсекающую на оси Оу отрезок b и наклоненную к оси Ох под углом , тангенс которого равен то, взяв произвольную абсциссу, найдем на указанной прямой только одну точку, имеющую эту абсциссу, т. е. по заданному х найдется только одна точка, а следовательно, и одно значение у.

Очевидно, имеет место и такое предложение:

Всякой прямой, отсекающей на оси Оу отрезок b и наклоненной к оси Ох под углом, тангенс которого равен числу соответствует линейная функция y = x + b.

Координаты любой тонки, лежащей на указанной прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому уравнение у = х + b называют уравнением прямой. Таким образом, всякая линейная функция является уравнением некоторой прямой.

Отметим частные случаи.

1.Пусть b = 0, т. е. линейная функция определяется уравнением

Прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Здесь у пропорционален х, т. е. если х увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и у увеличится (уменьшится) во столько же раз.

2.Пусть = 0, т. е. tgа = 0, откуда а = 0. Линейная функция определяется уравнением

Этому уравнению соответствует прямая, параллельная оси Ох и отстоящая от нее на расстояние b.

На основании всего сказанного в этом параграфе легко решаются следующие задачи.

Задача:

Даны точки А (3, 5) и В(— 1, 4). Нужно узнать, лежат ли эти точки на прямой, уравнение которой имеет вид

Решение:

Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Поэтому для решения задачи подставим координаты точки А в уравнение (*), получим 5 = 2 x 3 — 1. Это тождество, следовательно, точка А лежит на прямой. Подставляя координаты точки В, получаем 4 = 2(— 1)—1 = —3. Отсюда видно, что точка В не лежит на прямой.

Задача:

Построить прямую, уравнение которой

Решение:

Чтобы построить прямую, надо знать, например, две ее точки. Поэтому дадим х произвольное значение, например х = 2, и найдем из уравнения (**) значение

Значит, точка A (2, 4) лежит на прямой.

Это первая точка. Теперь дадим х какое-нибудь другое значение, например х = —2, и вычислим у из уравнения (**).

Точка B ( — 2, 2) лежит на прямой. Это вторая точка. Строим точки A и B (рис. 15) и проводим через них прямую, это и есть искомая прямая.

Основное свойство линейной функции

Рассмотрим линейную функцию у = х + b. Найдем значение этой функции при

т. е. приращение линейной функции пропорционально приращению независимого переменного.

Это и есть основное свойство линейной функции. Заметим, что х2 может быть больше, а может быть и меньше, чем х1. Поэтому h = x2 — x1 может быть как положительным, так и отрицательным числом, иначе говоря, приращение h независимого переменного может быть любого знака. То же самое относится и к приращению функции, т. е. к величине у2—у1.

Пример:

Найдем приращение функции y = 0,6x—3, если приращение независимого переменного h = 0,1.

По основному свойству у2—у1 = 0,6 x 0,1 = 0,06.

Пример:

Найдем приращение функции у = —2x+10 при изменении х на h = —0,5. Будем иметь

Задачи на прямую

Задача:

Найти угол y между двумя прямыми, заданными уравнениями

Решение:

При пересечении прямых образуются четыре попарно равных угла. Найдя один из них, легко найти и другие. На рис. 16 прямые обозначены соответственно (1) и (2).

Угол хАВ является внешним по отношению к треугольнику ABC, поэтому он равен сумме двух внутренних углов треугольника, с ним не смежных, т. е.

Но углы а1 и а2 непосредственно неизвестны, а известны их тангенсы

Пример:

Найти угол между прямыми, заданными уравнениями

применяя формулу (1), получим;

Если же будем считать, что

Получены два ответа: сначала найден острый угол между заданными прямыми, а затем — тупой.

Если заданы две параллельные прямые, то углы а1 и а2 равны, как соответственные, следовательно, тангенсы их тоже равны

Таким образом, мы приходим к выводу: если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90°, т. е. . Но тангенс прямого угла не существует, поэтому формула (1) не должна давать ответа, а это может быть только в том случае, когда знаменатель равен нулю (на нуль делить нельзя):

Это и есть условие перпендикулярности двух прямых. Это условие удобно запомнить в следующей формулировке: если две прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Пример:

Найдем угол между прямыми, заданными уравнениями

Здесь угловые коэффициенты (первый равен 3, а второй обратны по величине и противоположны по знаку, следовательно, рассматриваемые прямые перпендикулярны.

Задача:

Даны две точки: M1(x1, у1) и М2(х2, у2), где (т. е. эти точки не лежат на одной прямой, параллельной оси Оу). Написать уравнение прямой, проходящей через точки M1 и М2.

Решение:

Искомая прямая не параллельна оси Оу, поэтому ее уравнение можно написать в виде Значит, для решения задачи надо определить числа и b.

Так как прямая проходит через точки М1 и М2, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению ( * ), т. е.

В уравнениях ( ** ) и (*** ) все числа, кроме и b, известны, поэтому эти уравнения можно рассматривать как систему уравнений относительно и b. Решая систему, находим:

Подставляя найденные выражения в уравнение (*), получим

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки, не расположенные на прямой, параллельной оси Оу.

Полученному уравнению можно придать форму, удобную для запоминания, а именно:

Задача:

Написать уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х1,у1) и образующей с осью Ох угол а.

Решение:

Прежде всего найдем угловой коэффициент искомой прямой: он равен тангенсу угла а. Обозначим Значит, уравнение прямой можно написать в виде где пока число b неизвестно. Так как прямая должна проходить через точку M, то координаты точки М удовлетворяют этому уравнению, т. е.

Находим отсюда неизвестное b, получим . Подставляя найденное в уравнение (*), будем иметь

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку М в заданном направлении.

Если в уравнении (4) менять направление, не меняя точку M, то получим уравнение всех прямых, проходящих через заданную точку. Уравнение , в котором переменное, а х1 и у1 не меняются, называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку М(х1, у1).

Пример:

Напишем уравнение прямой, проходящей через точку М( — 2, 3) и образующей с осью Ох угол 45°.

Так как tg 45° = 1, то угловой коэффициент равен 1; х1 = —2; у1 = 3. Уравнение прямой запишется в виде

Общее уравнение прямой. Неявная линейная функция

Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

Решим его относительно у:

т. е. мы получили линейную функцию, где ,Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому пара чисел х и у, удовлетворяющих уравнению (2), будет удовлетворять и уравнению (1). Так как уравнению (2) соответствует некоторая прямая, то эта же прямая будет соответствовать и уравнению (1).

Координаты любой точки, лежащей на этой прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому будем называть его также уравнением прямой.

Рассмотрим особо случай, когда B = 0, так как на нуль делить нельзя.

Уравнение (1) примет вид

Поэтому, каков бы ни был у, х всегда равен Это имеет место для прямой, параллельной оси Оу; в самом деле, на ней можно найти точку с любой ординатой, но все точки этой прямой имеют одну и ту же абсциссу.

Таким образом, любому уравнению первой степени соответствует некоторая прямая. Придавая в уравнении (1) коэффициентам А, В и С различные значения, можно получить любое уравнение первой степени. Поэтому уравнение (1) называют общим уравнением прямой.

Из уравнения (1) (если ) можно определить у, т. е. получить линейную функцию; поэтому говорят, что уравнение (1) определяет неявно линейную функцию или что уравнение (1) есть неявная линейная функция.

Система двух уравнений первой степени

Напомним, что две прямые, расположенные на плоскости, могут или пересекаться, или быть параллельными (т. е. не пересекаться), или сливаться (в этом случае можно сказать, что они пересекаются в каждой своей точке).

Рассмотрим систему двух уравнений

Каждое из этих уравнений является уравнением прямой. Решить систему — это значит найти значения х и у, которые удовлетворяют и первому и второму уравнениям. Но так как х и у определяют точку, то следовательно, решить систему—это значит найти точку, лежащую и на первой и на второй прямых, т. е. найти точку пересечения прямых.

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Решая эту систему, получим: х = 1, у = 2, т. е. прямые пересекаются в точке (1,2) (рис. 17).

Пример:

Найдем точку пересечения двух прямых:

Решая эту систему, получим:

Последнее равенство нелепо, значит, прямые не пересекаются, Рис. 17. т. е. они параллельны.

Пример:

Найдем точку пересечения данных прямых

Решая эту систему, получим:

Полученное равенство всегда справедливо, т. е. справедливо при любом значении x. Это значит, что две прямые пересекаются в каждой своей точке, что может быть только тогда, когда они сливаются.

Заметим, что два уравнения, рассматриваемые в этом примере, являются равносильными, поэтому они и представляют одну и ту же прямую.

Примеры решения линейной функции

Линейная функция встречается в формулировках многих физических законов и технических задач. Приведем примеры.

Пример:

Если точка движется равномерно по прямой, то ее расстояние от выбранной точки (от начала координат) выражается при помощи уравнения

где — начальное расстояние, v0 — скорость, t — время; это, как мы уже знаем, есть линейная функция.

Пример:

Закон Ома записывается в виде

Пример:

Если стоимость провоза единицы товара по железной дороге равна а руб. за километр, то стоимость v провоза N единиц товара на l км равна

Если же стоимость товара на месте равна М руб., то после перевозки за него надо заплатить

Здесь v—линейная функция l.

Линейная функция встречается в различных областях, но, где бы она ни встречалась, ее всегда можно рассматривать как уравнение прямой. Этим обстоятельством часто пользуются при решении задач.

Задача:

Два города А и В, расстояние между которыми равно 300 км, находятся на одной железнодорожной магистрали. На этой же магистрали между городами А и В надо выбрать пункт С, в котором предполагается устроить склад нефти для снабжения указанных городов. Надо выбрать пункт С так, чтобы общая стоимость перевозок нефти для снабжения города А и города В была наименьшей. Известно, что город А потребляет 400 т нефти, а город В—200 т. Перевозка одной тонны нефти на один километр обходится в а руб.

Решение:

Обозначим расстояние от А до предполагаемого пункта С через х. Тогда расстояние от города В до С равно 300 — х. Стоимость перевозки одной тонны нефти из С в A равна ах руб., а перевозки 400 т—400аx руб. Аналогично перевозка нефти из С в В будет стоить 200а (300 — х) руб. Стоимость всех перевозок, которую обозначим через у, будет выражаться так:

Это линейная функция. Если примем х за абсциссу, а у за ординату точки, то полученная линейная функция определяет уравнение некоторой прямой. Угловой коэффициент ее равен 200а, т. е. положителен, следовательно, эта прямая образует с осью Ох острый угол и поэтому с увеличением независимого переменного поднимается вверх. По смыслу задачи величина х заключена между 0 и 300, т. е. При х = 0 величина у принимает значение 60 000а, а при x = 300— значение 120 000а. Ясно, что 60 000а есть наименьшее из возможных значений, 120 000а— наибольшее.

Так как пункт С надо выбрать так, чтобы стоимость была наименьшей, то его следует расположить в городе A, если же этого сделать нельзя по каким-либо соображениям, то, чем ближе расположить его к A, тем выгодней.

Примеры применения линейной функции

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник