Докажите что интервал равномощен отрезку

Докажите что интервал равномощен отрезку

Соотношение равномощности обладает следующими тремя основными свойствами:

1) рефлексивность: ;
2) симметрия: если , то ;
3) транзитивность: если и , то .

Для доказательства, например, первого из них достаточно каждому элементу поставить в соответствие его же самого (тождественное отображение), что уже дает взаимно однозначное отображение множества X на себя. Остальные два свойства предлагается доказать самостоятельно.

Мощность множества характеризует, так сказать, «количество» его элементов. Однако при этом может оказаться, что «часть равна целому», т. е. множество может иметь одинаковую мощность с его собственным подмножеством.

Пример 7. Два любых отрезка [a, b] и [c, d], а также два любых интервала (a, b) и (c, d) равномощны.

Для доказательства достаточно рассмотреть функцию

Во-первых, каждому действительному числу x однозначно соответствует y, причем легко видеть, что и . Далее, пусть

, и x₁ y из [c, d] найдется один (и даже только один) прообраз x из [a, b] (то же для интервалов). Этим доказано, что [ a, b]

Источник

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

Счетность и несчетность множеств. Равномощность множеств.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Примеры.

Доказать, что следующие множества счетны:

Решение.

Что и требовалось доказать.

Решение.

Что и требовалось доказать.

Решение.

Что и требовалось доказать.

Решение.

Что и требовалось доказать.

Примеры:

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Доказательство.

Проведем доказательство в несколько этапов:

Что и требовалось доказать.

Домашнее задание.

Доказать, что следующие множества счетны:

1.70. Используя результат задачи 1.68, доказать, что множество всех точек плскости с рациональными координатами счетно.

Источник

Доказать, что любые два интервала имеют одинаковую мощность

Доказать, что любые два поля из четырех элементов изоморфны
Доказать, что любые два поля из четырех элементов изоморфны

Доказать, что если два линейных оператора ранга 1 имеют равные ядра и образы, то они перестановочные
доказать, что если два линейных оператора ранга 1 имеют равные ядра и образы, то они перестановочные

Решение

В общем, правильно, хотя лучше писать меньше слов и больше формул. Например, выражение «относительная реализация интервала при использовании всех точек до данной точки» является нестандартным.

Обозначим выражение в сообщении №2 через f(x). В идеале вам нужно алгебраически доказать следующие утверждения.

Известно, что непрерывные величины X,Y независимы и имеют одинаковую плотность распределения
3)Известно, что непрерывные величины X,Y независимы и имеют одинаковую плотность распределния f(x).

Доказать, что любые m-1 векторов системы линейно независимы
Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться с проблемой со следующим доказательством. Дана.

Доказать, что мощность множества счетна
Здравствуйте. Как доказать, что мощность множества рациональных чисел счетна?

Источник

О мощности множеств действительных чисел. В п. 2.2 утверждалось, что множества точек отрезка [0, 1] и отрезка [a, b] равномощны

Тем самым отрезки разной длины равномощны (по-другому, эквивалентны). На рис. 11 графическая иллюстрация этого факта. Можно показать также равномощность отрезка и интервала, непосредственно указав взаимно однозначное соответствие (рис. 12).

На отрезке [0, 1] каждому числу вида (n-1)/n: 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5 и т.д. ставится в соответствие следующее число этой последовательности. На отрезке [1, 2] соответствие симметрично: последовательность имеет вид (n+1)/n: 2, 3/2, 4/3, 5/4. Всем остальным числам отрезка [0, 2] ставятся в соответствие они сами. Концы интервала не соответствуют при этом ни одной точке отрезка.

Однако можно воспользоваться более общим утверждением (равномощность множеств А и В обозначается А

В, т.е. множества эквивалентны.

Для любого отрезка и любого интервала отсюда следует их эквивалентность (рис. 13).

Рис. 14 иллюстрирует равномощность интервала и множества точек всей прямой.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

Доказать что интервал (0,1) и отрезок [0,1] не гомеоморфны

Последний раз редактировалось dd210 14.04.2018, 14:35, всего редактировалось 1 раз.

Задача из учебника Васильева «Топология для младшекурсников». Читаю его самостоятельно, и вот не могу решить такую задачу. Понятия связности, компактности еще не вводились. Т.е. прямо «из первых принципов» требуется показать.

На stackexchange нашел какое-то доказательство, но тут не все ясно:

Suppose f:[a,b]→(c,d) is a homeomorphism. Observe that f(a)≠f(b) as f is injective and consider the point f(a)+f(b)2 at half the distance between f(a) and f(b). As f is surjective, f(x)=f(a)+f(b)2 for some x∈[a,b].

Now let δ be enough for both the distances between f(x) and f(a), and between f(x) and f(b) to be less than δ and yet the open interval centered at f(x) of radius δ not to cover the whole (c,d).

As f is continuous, there must be an open interval centered at x large enough to contain both a and b and whose image under f is within a distance of δ from f(x). As such an interval must ecompass the whole [a,b], the function f cannot be surjective for δ is chosen in such a way that there’re points in (c,d) with a distance from f(x) greater than δ.

Последний раз редактировалось pogulyat_vyshel 14.04.2018, 15:01, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось vpb 14.04.2018, 17:19, всего редактировалось 1 раз.

Вопреки тому, что коллега написал, понятия компактности или связности использовать в решении ни в прямом виде, ни в завуалированном не надо.

То, что написано в stackexchange, как-то перемудрёно и запутано. Не знаю, как тут писать, чтобы намекнуть, но не писать полное решение. Скажем, так. Пусть, от противного, и — взаимно обратные гомеоморфизмы. Покажите, что если , то -образ отрезка с концами , содержит отрезок с концами , , а если , то -образ отрезка с концами , содержит отрезок с концами , . Тут надо использовать классическую теорему из матанализа (какую?).

Видимо теорему о промежуточном значении?
Тогда предположим, что образ отрезка не содержит какой-то точки из отрезка . Это противоречит теореме о промежуточном значении если непрерывна.

Пусть отображается в , а в . По той же теореме получаем что образ включает а образ включает . Теперь выберем какую-то точку из отрезка . Эта точка является образом сразу двух точек при отображении , что противоречит определению гомеоморфизма (биективное отображение).

Топологическое: отображение непрерывно, если прообраз любого открытого множества из является открытым множеством в .

Верно ли следующее рассуждение?

Возьмем произвольное 0$» title=»$\epsilon > 0$» />. Предположим, что не существует такого 0$» title=»$\delta > 0$» />, что из следует . Рассмотрим интервал . Это открытое множество, а значит его образом является какое-то открытое множество в , причем это открытое множество включает . Выберем такое , чтобы шар лежал в этом открытом множестве. Образ данного шара лежит в интервале , а значит что мы получили противоречие: нашли такое , что из следует .

Источник