Докажите что классы f и g на отрезке не совпадают

18.04.202223.04.2022 admin 0 Comments

Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс

Решение задачи

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

Как обозначается пересечение прямых

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.

Взаимное расположение прямой и точек

Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.

Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

Третий случай расположения прямых

Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или три.

Что такое отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Источник

Курс функционального анализа ного пересечения множеств вида (a,+ ) : [b, +) = I (b, +). Следоваn тельно, [b, +) 1. Также в 1 лежат все открытые отрезки:

Определение 2. Ограничением семейства подмножеств на подмножество A называется совокупность A всех пересечений элементов семейства с множеством A : A = .

Упражнения Определим семейство подмножеств отрезка [0,1] следующим образом: множество принадлежит семейству, если либо оно само, либо его дополнение не более чем счётно. Будет ли семейство алгеброй?

Будет ли семейство счётных объединений подотрезков отрезка [0,1] алгеброй?

Пусть X топологическое пространство, A борелевское подмножество в X. Рассмотрим A как подпространство в X. Докажите, что каждое подмножество B A, борелевское в подпространстве A, будет борелевским множеством и в исходном пространстве X.

Пусть A плотное множество класса G в полном метрическом пространстве X. Тогда X \ A множество первой категории в X.

8. Пересечение конечного или счётного числа плотных множеств класса G в полном метрическом пространстве снова плотное множество Пусть A множество класса G в полном метрическом пространстве X. A замыкание множества A. Тогда A \ A множество первой категории в X.

10. Приведите пример убывающей цепочки счётных плотных подмножеств отрезка с пустым пересечением.

Глава 2. Теория меры 11. Счётное плотное подмножество отрезка не может принадлежать классу 12. Пусть f вещественнозначная функция на отрезке. Докажите, что множество dc( f ) всех точек разрыва функции f множество класса 13. Выпишем все открытые отрезки с рациональными концами в последовательность (an, bn ), n = 1, 2,K, и рассмотрим An = (, an ] U [bn, +). В этих обозначениях dc( f ) = U f 1 ( An ) \ f 1 ( An ).

Определение. Функция f : [0,1] R называется функцией первого класса, если f можно представить в виде поточечного предела последовательности непрерывных функций f n C[0,1].

Подробно о функциях первого класса см. [Kur], гл. 2, § 31.

14. Пусть f : [0,1] R функция первого класса. Тогда f 1 ([a, b]) G для любого замкнутого отрезка [a, b].

15. Для функции f первого класса множество dc( f ) множество первой категории, и, следовательно, у f есть точки непрерывности.

16. Докажите, что множество всех точек дифференцируемости непрерывной функции на отрезке борелевское множество. Какому борелевскому классу оно принадлежит?

17. Пусть f n последовательность непрерывных вещественных функций на отрезке. Проверьте, что множество всех точек сходимости последовательности f n борелевское множество. Какому борелевскому классу оно принадлежит?

18. Докажите, что любое открытое подмножество метрического пространства принадлежит классу F и, соответственно, любое замкнутое классу G. В общих топологических пространствах это утверждение, вообще говоря, неверно.

19. Докажите, что классы F и G на отрезке не совпадают.

21. Сохраняется ли утверждение предыдущего утверждения в силе, если отказаться от условия сепарабельности?

3. Сохраняется ли утверждение предыдущего утверждения в силе, если отказаться от условия сепарабельности?

2.1.4. Меры: конечная и счётная аддитивность Читатель уже встречался с понятием меры, хотя, возможно, и без упоминания этого термина. Скажем, число элементов множества это мера на семействе N f всех конечных подмножеств натурального ряда; площадь это мера на семействе плоских фигур, имеющих площадь; длина спрямляемой кривой, объём, масса это всё примеры мер. В п. 2.3.1 будет построен центральный в рамках теории меры пример мера Лебега на отрезке.

Определение 1. Пусть множество с заданным на нём семейством подмножеств. Функция множества : R называется конечноаддитивной мерой, если она подчиняется следующим требованиям:

1. ( A) 0 для любого A ;

Глава 2. Теория меры 2. Если A1, A2. An, множества Ak попарно не пересекаются, и () + () = ( U ) = (), то есть () = 0. При этом могут быть и непустые множества нулевой меры.

Если областью определения конечно-аддитивной меры служит некоторая алгебра множеств, то условие 2 можно переформулировать проще:

2′. Для любой пары непересекающихся множеств A1, A2 мера их объединения равна сумме мер: ( A1 C A2 ) = ( A1 ) + ( A2 ).

Отметим некоторые свойства конечно-аддитивных мер:

Утверждение 1. Пусть конечно-аддитивная мера на некоторой алгебре A подмножеств множества. Тогда b) Если A1, A2 A, и A2 A1, то ( A2 ) ( A1 ). В частности, если Доказательство.

b) прямое следствие пункта a): ( A1 ) ( A2 ) = ( A1 \ A2 ) 0.

c) Если ( A2 ) = 0, то и ( A2 I A1 ) = 0. Остаётся применить пункт а).

d) Запишем A1 U A2 как объединение трёх непересекающихся множеств:

A1 U A2 = ( A1 \ A2 ) C( A2 \ A1 ) C( A2 I A1 ). Имеем:

e) выводится индукцией по n из d).

Наиболее изученными и полезными в приложениях конечноаддитивными мерами являются счётно-аддитивные меры, то есть меры, подчиняющиеся, наряду с аксиомами 1 и 2 определения 1, следующей аксиоме счётной аддитивности:

Утверждение 2. Пусть счётно-аддитивная мера, заданная на алгебре подмножеств множества. Тогда 1. Если An, n = 1,2. возрастающая цепочка множеств (то есть 2. Если An, n = 1,2. убывающая цепочка множеств (то есть Доказательство. Обе части утверждения доказываются аналогично, более того, одну часть можно вывести из другой переходом к дополнениям. Докажем, для примера, первое из утверждений. Итак, пусть An образуют возрастающую цепочку множеств. Положим A : = U Ak. Рассмотрим множества Bn = An +1 \ An. Последовательность множеств A1, B1, B2, B3.

дизъюнктна (то есть множества попарно не пересекаются), A1 U U Bk = An +1, A1 U U Bk = A. Воспользуемся условием счётной аддитивности и определением суммы ряда:

Ещё пара чрезвычайно простых, но тем не менее полезных замечаний.

Утверждение 3. Пусть счётно-аддитивная мера, заданная на алгебре подмножеств множества, An, n = 1, 2,K Тогда Глава 2. Теория меры тающую по n цепочку множеств, согласно п. 1 утверждения 2, мы имеем право в неравенстве U Ak ( Ak ), доказанном в утверждении 1, пеk =1 k = рейти к пределу при n, стремящемся к бесконечности.

могательные множества Ak ‘ уже не пересекаются между собой. Так как ваться счётной аддитивностью.

Упражнения 1. Докажите вторую часть утверждения 2.

«Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет) Федерация Интернет-образования В. М. Домненко, М. В. Бурсов Создание образовательных интернет-ресурсов Учебное пособие Санкт-Петербург 2002 УДК 681.3 Домненко В. М., Бурсов М. В. Создание образовательных интернет-ресурсов. Учебное пособие. – СПбГИТМО(ТУ), 2002. – 104 с. Рецензенты: Л. С. Лисицына, к.т.н., зав. кафедрой компьютерных образовательных технологий СПбГИТМО(ТУ), директор РЦ ФИО Д. Д. »

«1 Тепловой и динамический расчет автомобильных двигателей Методические указания для выполнения курсового проекта по дисциплине Автомобильные двигатели для специальности 190601.65 ААХ икурсовой работы по дисциплине Рабочие процессы, конструкция и основы расчета энергетичеких установок для специальности 190603 СЭМ Автор: доцент кафедры ДВС ТОГУ Скотта А. В. 2 3 ВВЕДЕНИЕ Курсовой проект по дисциплине Автомобильные двигатели является одним из видов промежуточной аттестации студента. Цель курсового. »

«Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ КОНСТРУИРОВАНИЕ И ПРОИЗВОДСТВО ИЗДЕЛИЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ Методические рекомендации по курсовому и дипломному проектированию для студентов специальностей: Т.03.02.00 – Технология и оборудование высокоэффективных процессов обработки материалов, Т.03.01.00 – Технология, оборудование и автоматизация машиностроения Гродно 2002 УДК 678.06:658.512+371.64/69 ББК. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В. А. БАТЕНКОВ ЭЛЕКТРОХИМИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Издание второе, дополненное Барнаул – 2002 1 УДК 541.13 : 621.315.5 Б 28 Батенков В. А. Б 28 Электрохимия полупроводников. Учеб. пособие. Изд. 2-е, допол. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2002. – 162 с.: ил. В пособии, помимо вводного раздела Элементы физмки полупроводников, изложены теоретические представления о строении границы полупроводник – электролит. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) CAE СИСТЕМЫ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА Рекомендовано редакционно-издательской комиссией по двигателям летательных аппаратов и энергомашиностроению в качестве методических указаний Методические. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ Н.В. Никоноров, В.А. Асеев, С.Н. Жуков, А.И. Игнатьев, С.С. Киселев, А.С. Рохмин ВОЛНОВОДНАЯ ФОТОНИКА Учебное пособие по выполнению лабораторного практикума Санкт-Петербург 2008 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ. »

«МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусская медицинская академия последипломного образования Кафедра психотерапии и медицинской психологии Байкова Ирина Анатольевна Боль. Методы терапии боли. Учебно-методическое пособие Минск, 2004 1 Б18 Автор: кандидат медицинских наук, доцент Байкова И.А. Рецензент: кандидат медицинских наук, доцент кафедры психиатрии Белорусской медицинской академии последипломного образования, Е.В. Ласый Утверждено Советом терапевтического факультета в. »

«МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЕ к контрольной работе по дисциплине Механика грунтов для студентов-заочников специальности Строительство автомобильных дорог и аэродромов 3 Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра инженерной геологии, оснований и фундаментов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЕ к контрольной работе по дисциплине Механика грунтов для студентов-заочников специальности Строительство автомобильных дорог и аэродромов Составители. »

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Источник

Будет ли семейство счётных объединений подотрезков отрезка [0,1] алгеброй?

8. Пересечение конечного или счётного числа плотных множеств класса G в полном метрическом пространстве снова плотное множество класса G.

Пусть A множество класса G в полном метрическом пространстве 9.

X. A замыкание множества A. Тогда A \ A множество первой категории в X.

10. Приведите пример убывающей цепочки счётных плотных подмножеств отрезка с пустым пересечением.

Глава 2. Теория меры

11. Счётное плотное подмножество отрезка не может принадлежать классу G.

12. Пусть f вещественнозначная функция на отрезке. Докажите, что множество dc( f ) всех точек разрыва функции f множество класса F.

13. Выпишем все открытые отрезки с рациональными концами в последовательность (an, bn ), n = 1, 2,K, и рассмотрим An = (, an ] U [bn, +). В ( ) этих обозначениях dc( f ) = U f 1 ( An ) \ f 1 ( An ).

n =1 Определение. Функция f : [0,1] R называется функцией первого класса, если f можно представить в виде поточечного предела последовательности непрерывных функций f n C[0,1].

Подробно о функциях первого класса см. [Kur], гл. 2, § 31.

14. Пусть f : [0,1] R функция первого класса. Тогда f 1 ([a, b]) G для любого замкнутого отрезка [a, b].

19. Докажите, что классы F и G на отрезке не совпадают.

21. Сохраняется ли утверждение предыдущего утверждения в силе, если отказаться от условия сепарабельности?

Курс функционального анализа

3. Сохраняется ли утверждение предыдущего утверждения в силе, если отказаться от условия сепарабельности?

Пусть A 1 2, t1 1. Положим At1 =. Докажите, что At1 2.

1. ( A) 0 для любого A ;

Определение. Пространство с мерой (,, ) называется полным (другой термин полна по отношению к мере ) при выполнении следующего условия: для любого A с ( A) = 0, если B A, то B.

Построенное пространство с мерой (, ‘, ‘ ) называется пополнением пространства с мерой (,, ). Часто меру ‘ обозначают той же буквой, что и. Это не приводит к недоразумениям, так как по построению ‘ = на.

Предлагаем читателю самостоятельно проверить, что описанные операции над счётно-аддитивными мерами не выводят за пределы класса счётноаддитивных мер.

Определение. Атомом меры называется такое подмножество A, что ( A) 0 и для любого B A либо ( B ) = 0, либо ( A \ B ) = 0.

Если у меры есть атомы, мера называется атомарной, если же атомов нет, то безатомной. Мера называется чисто атомарной, если можно представить в виде объединения конечного или счётного числа непересекающихся атомов.

Напомним, что множества A1, A2 называются эквивалентными ( A1

A2 ), если ( A1A2 ) = 0. Скажем, для меры x её атом эквивалентен одноточечному множеству .

Решив нижеприведенные упражнения, читатель получит, в частности, доказательства следующих теорем:

Тогда каждый атом меры эквивалентен некоторому одноточечному множеству.

Курс функционального анализа

1. Если множество эквивалентно атому, то оно само является атомом.

2. Если атомы A1, A2 меры не эквивалентны, то ( A1 I A2 ) = 0.

3. Пусть An, n = 1,2. конечная или счётная последовательность попарно не эквивалентных атомов меры. Тогда существует такая дизъюнктная последовательность An ‘, n = 1,2. атомов меры, что Ak ‘

Ak, k = 1,2. (воспользуйтесь утверждением 1 п. 2.1.1).

4. Меры всех представителей одного класса эквивалентности совпадают.

В связи с этим мерой класса эквивалентности будем называть меру представителя этого класса.

5. Класс эквивалентности атома будем называть атомарным классом.

Сумма мер любого конечного числа попарно различных атомарных классов не превосходит ().

6. Существует не более чем счётное число различных атомарных классов.

7. Существует такая конечная или счётная дизъюнктная последовательность A1, A2. атомов меры, что любой атом меры эквивалентен одному из An.

8. В условиях предыдущего упражнения положим A : = U Ak и опредеk =1 лим меры 1 и 2 на следующим образом: 1 ( A) = ( A I A ), 2 ( A) = ( A \ A ). Проверьте, что 1 и 2 будут счётно-аддитивными мерами, = 1 + 2, мера 1 чисто атомарна и 2 безатомна. Этим будет доказано существование разложения в теореме 1.

9. Пусть = 1 ‘+ 2 ‘ какое-то разложение на чисто атомарную и безатомную меры, B атом меры. Тогда B атом для 1 ‘ и ( B ) = 1 ‘ ( B ). Обратно, каждый атом меры 1 ‘ эквивалентен некоторому атому меры.

10. В условиях предыдущего упражнения мера 1 ‘ совпадает с мерой 1 из упражнения 8. Этим будет доказана единственность разложения в теореме 1.

11. Пусть и из формулировки теоремы 2, A. Тогда множество A можно разбить на не более чем счётное число попарно не пересекающихся множеств из, с диаметрами, не превосходящими.

12. В условиях теоремы 2 для каждого атома A меры и для любого 0 существует атом A1 A (автоматически эквивалентный атому

13. В условиях теоремы 2 пусть A атом меры. Воспользовавшись предыдущим упражнением, построим цепочку A A1 A2. An. атомов с diam( An ) 1 n. Докажите, что пересечение этой цепочки множеств состоит из одной точки и что полу

2.2. Продолжения мер Часто меры первоначально определены естественным образом на каком-то относительно узком классе множеств, и, прежде чем начать ими пользоваться, их нужно доопределить на множествах более широкого класса. Такая ситуация встречается даже в школьном курсе математики:

площадь определяется вначале для прямоугольников, затем для треугольников, потом через разбиение на меньшие части для произвольных многоугольников. Через приближение круга многоугольниками определяется площадь круга. Аналогичный путь нужно пройти для определения объёма. В настоящем разделе мы изучим общую схему продолжения мер и применим её для построения самого важного для нас примера меры Лебега на отрезке.

2.2.1. Продолжение меры с полукольца множеств на порождённую им алгебру Определение 1. Семейство подмножеств множества называется полукольцом с единицей, если 1. ;

2. Если A, B, то и A I B ;

3. Для любого множества A его дополнение \ A может быть представлено как объединение конечного числа попарно не пересекающихся элементов семейства.

Для множества A базовым представлением назовём представn ление в виде A = C Ak, где Ak. Разумеется, могут найтись множества, k =1 и не имеющие базового представления.

Теорема 1. Пусть полукольцо с единицей.

Тогда семейство A всех множеств, имеющих базовые представления, образует наименьшую алгебру A ( ), содержащую.

действительно задаёт конечно-аддитивную меру на A ( ). Начнем с проверки корректности такого определения, то есть с того, что ‘ ( A) определяется множеством A, а не выбором его базового представления. Пусть n m A = C Ak и A = C Bk два разных базовых представления множества k =1 j =1 Упражнения

1. На каком основании в доказательстве теоремы 3 мы позволили себе перегруппировывать слагаемые в бесконечной сумме? Вообще говоря, сумма ряда может изменяться в результате такой процедуры. Почему этого не могло произойти в данном случае?

2. Приведите пример такого семейства множеств на отрезке и такой конечно-аддитивной меры на, что любое продолжение меры на алгебру, порождённую, не будет конечно-аддитивной мерой.

3. Пусть семейство множеств, конечно-аддитивная меры на. Может ли быть так, что существует более одного продолжения меры на алгебру, порождённую, с сохранением конечной аддитивности?

4. Обоснуйте равенство Ai = из доказательства теоремы 2. Где анаU Cij j =1 логичное соотношение использовалось в доказательстве теоремы 3?

5. Пусть полукольцо с единицей. Докажите, что.

Глава 2. Теория меры

Определение. Пусть A произвольное множество. Внешней мерой множества A называется величина * ( A) = inf ( Ak ) : Ak A, A U Ak.

Свойства внешней меры:

1. Монотонность: если A B, то * ( A) * ( B ).

1. Восстановите подробное доказательство счётной полуаддитивности внешней меры.

Лемма 1. Пусть A и для любого 0 существует такое B, что ( A, B ).

Доказательство. Можно просто сослаться на то, что замыкание множества это замкнутое множество. Можно расписать и подробнее. Выберем B с ( A, B ). По определению измеримого множества для этого

Лемма 2. Объединение счетного числа элементов алгебры A измеримо.

Курс функционального анализа = ( B1 I B2 ) + 2 3.

Ввиду произвольности равенство * ( A1 U A2 ) = * ( A1 ) + * ( A2 ), а с ним и конечная аддитивность доказаны.

Для завершения доказательства воспользуемся теоремой 4 п. 2.2.1:

Теорема 3. Любая счётно-аддитивная мера, заданная на полукольце с единицей, продолжается до счётно-аддитивной меры, заданной на алгебре, порождённой этим полукольцом.

2. Пусть на некоторой алгебре множеств заданы две конечноаддитивные меры 1 и 2, 1 () = 2 () и 1 ( A) 2 ( A) для любого

A. Тогда меры 1 и 2 совпадают.

Отсюда вывести единственность продолжения в теореме 3.

Глава 2. Теория меры

5. Пополнение пространства с мерой (, 1, *) совпадает с пространством (,, *).

6. Пусть (, A, ) полное пространство с мерой. Показать, что семейство измеримых подмножеств, построенное для (, A, ) по описанной в настоящем параграфе схеме, будет совпадать с A.

2.2.4. Теорема о монотонном классе множеств В настоящем параграфе мы углубим наше представление об устройстве измеримых множеств и докажем одну теорему, которая пригодится нам в п. 4.4.4.

Пусть (,, ) пространство с конечной мерой, полученное, как описано выше, продолжением меры с некоторого полукольца с единицей. То есть по полукольцу была построена порождённая им алгебра A ( ), по алгебре внешняя мера *, по внешней мере класс измеримых множеств (это и есть наше ) и мера на определена равенством ( A) = * ( A). Обозначим через 1 семейство всех множеств, представимых в виде объединения конечного или счётного дизъюнктного набора элементов полукольца. Через 2 обозначим семейство всех множеств, представимых в виде пересечения убывающей последовательности множеств семейства 1. Поскольку семейство измеримых множеств это

— алгебра, 1 и 2 состоят из измеримых множеств.

Утверждение 1. Класс множеств 1 устойчив по отношению к операции пересечения конечного числа множеств и к операции объединения конечного или счётного дизъюнктного набора множеств.

Доказательство. Пусть A = U Ak и B = два произвольных U Bk k =1 k =1 элемента семейства 1, записанные как соответствующие счётные объединения дизъюнктных наборов элементов полукольца (чтобы избежать отдельного рассмотрения конечных представлений, напомним, что какието из множеств Ak, Bk могут быть пустыми). Тогда пересечение множеств A и B также записывается как счётное дизъюнктное объединение элементов полукольца : A I B = U ( Ak I B j ) 1.

Отметим, что из аксиомы A следует, что монотонный класс устойчив относительно операции объединения конечного числа попарно непересекающихся множеств. Отсюда, применив D, выводим, что монотонный класс устойчив относительно объединения счётного дизъюнктного набора множеств.

Теорема (теорема о монотонном классе множеств). Пусть (,, ) пространство с мерой, полученное, как описано в разделе 2.2, продолжением меры с некоторого полукольца с единицей. Пусть, далее, монотонный класс множеств, содержащий все элементы полукольца. Тогда =.

Доказательство. Поскольку, то по аксиоме B монотонного класса вместе с каждым своим элементом A класс содержит и допол

Класс 1 это семейство всех множеств, представимых в виде объединения конечного или счётного (не обязательно дизъюнктного) набора элементов полукольца.

Класс множеств 1 устойчив по отношению к операции объединения 3.

конечного или счётного числа множеств (возможно, пересекающихся).

Класс множеств 2 устойчив по отношению к операции пересечения 4.

конечного или счётного числа множеств.

Обоснуйте включение 2 в доказательстве последней теоремы.

На отрезке [0,1] рассмотрим полукольцо (точнее, даже алгебру) 7.

множеств, состоящую из конечных множеств и дополнений к ним. Докажите, что класс 1 в этом случае не будет алгеброй множеств.

Опишите в условиях предыдущего упражнения класс 2. Докажите, 8.

9. Пусть множество, состоящее из четырёх точек, = 2, мера множества определяется как количество элементов этого множества («считающая мера»). Докажите, что семейство всех подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, это монотонный класс, не совпадающий с. Не противоречит ли этот пример последней теореме?

Пока что определение меры Лебега дано в несколько зашифрованном виде, с отсылкой к общей схеме продолжения мер. Цель нижеперечисленных замечаний расписать это определение максимально подробным и понятным способом.

Глава 2. Теория меры ложим B = I Bn.

Множество B, как и требуется, принадлежит классу G n =1 nN, и содержит множество A. Далее, для любого ( A) ( B ) ( Bn ) ( A) + 1 n. Следовательно, ( A) = ( B ). Остаётся положить C = B \ A.

Переходом к дополнениям получаем следующее:

Следствие. Множество A измеримо по Лебегу в том и только том случае, если оно представимо в виде дизъюнктного объединения множества класса F и пренебрежимого множества.

Так как борелевские множества на отрезке измеримы по Лебегу, к ним также можно применять предыдущую теорему и следствие из неё. Получаем, что, хотя борелевские подмножества отрезка и не исчерпываются множествами классов F и G, они не сильно отличаются от множеств этих классов. Более того, сами множества классов F и G могут быть получены друг из друга добавлением или вычитанием пренебрежимых множеств.

Отмеченные выражения измеримых множеств через борелевские классы и пренебрежимые множества дают полезную информацию об устройстве меры Лебега и множеств, измеримых по Лебегу. Однако не следует чрезмерно обольщаться кажущейся простотой полученной картины:

пренебрежимыми множествами можно пренебрегать с точки зрения меры, но во многих других смыслах они могут быть устроены весьма непросто.

Пример. Множество нулевой меры, имеющее мощность континуума.

Напомним, что канторово множество это замкнутое подмножество K отрезка [0,1], состоящее из чисел, чьи разложения в троичную дробь либо вообще не содержат цифры 1, либо содержат её только в качестве последней цифры разложения. Построить канторово множество можно с помощью следующей процедуры пошагового выбрасывания из отрезка [0,1] лишних частей. На первом шаге выбрасывается множество 1 = ( 3, 3 ).

Обозначим K1 = [0,1] \ 1. Множество K1 состоит из двух отрезков длины

1 3. На каждом из этих отрезков отступим от концов на одну треть их длины и выбросим получившиеся в середине подотрезки 2 = ( 9, 9 ) и

будет состоять из 2 n отрезков длины 1 3n, и для получения K n +1 из середины каждого из составляющих K n отрезков удаляется его треть. Кантосоставляющих его отрезков, то есть ( K n ) = 2 n 3n, что стремится к нулю при n. Поскольку ( K ) ( K n ) при всех n, ( K ) = 0.

Континуальность канторова множества можно доказывать поразному. Вот один из простейших способов. K подмножество отрезка, следовательно, card K не превосходит мощности континуума. Для доказательства обратного неравенства построим инъективное отображение множества континуальной мощности в K. Каждой двоичной дроби x (0,1) поставим в соответствие троичную дробь f (x ), оставив нули дроби x без изменения, а единицы заменив двойками. Функция f и будет требуемым инъективным отображением. Другим доказательством континуальности K будет упражнение 12 п. 1.3.5.

1. Вычислите меры Лебега следующих множеств:

Глава 2. Теория меры

Докажите, что:

7. Если измеримое множество имеет ненулевую меру Лебега, то его мощность равна мощности континуума.

8. Мощность семейства пренебрежимых множеств на отрезке равна мощности семейства всех подмножеств отрезка. Следовательно (см. упражнение 23 п. 2.1.2), существуют не борелевские пренебрежимые множества.

9. Каждое пренебрежимое множество содержится в пренебрежимом множестве класса G.

A называется Внутренней мерой множества величина ( A) = sup< ( B ) : B A и B замкнуто>. Докажите, что:

11. Множество A измеримо по Лебегу в том и только том случае, если ( A) = * ( A).

2.3.2. Ещё немного терминологии. Смысл термина «почти всюду»

Напомним, что множество A называется пренебрежимым (см. п.

2.1.5), если A содержится в измеримом множестве нулевой меры. Если (,, ) полное пространство с мерой (как, скажем, отрезок с мерой Лебега), то определение упрощается: термины «пренебрежимое множество»

и «множество меры 0» становятся синонимами. Множество называется множеством полной меры, если его дополнение пренебрежимо.

Предложение P, касающееся точек множества, называется выполненным для почти всех t, или выполненным почти всюду, если множество тех t, где предложение P не выполнено, пренебрежимо. Например, функция f : R равна нулю почти всюду (сокращённая запись п.в. п.в.

f = 0 ), если множество тех t, где f (t ) 0, пренебрежимо. f g, если множество тех t, где f (t ) g (t ), пренебрежимо, и т. д. Рассуждения и оценки, проводимые почти всюду, гораздо удобнее обычных поточечных рассуждений. Так, на отрезке (а отрезок по умолчанию мы предполагаем наделённым мерой Лебега), если у функции конечное или счётное число 2.3.3. Теорема Лебега о дифференцируемости монотонной функции Для доказательства теорем существования нередко используется следующая идея: вместо того, чтобы конструировать требуемый объект явно, доказывают, что таких объектов в том или ином смысле «много». Ну а уж если их много, то они точно существуют. Так, простейшее доказательство существования трансцендентных чисел получается из соображений мощности: алгебраических чисел счётное число, следовательно, трансцендентные не просто существуют, а составляют «основную массу» всех чисел. В упражнении 15 п. 2.1.2 показано, как таким же образом для доказательства теорем существования (в данном случае для доказательства существования точек непрерывности у поточечного предела последовательности непрерывных функций) можно использовать множества первой и второй категории. В каждом таком рассуждении главное это правильно выбрать,

Глава 2. Теория меры

каким понятием «малости» следует воспользоваться. В настоящем параграфе в качестве первого неочевидного приложения теории меры будет доказано существование точек дифференцируемости у любой монотонной функции. Точнее, будет доказано больше.

Теорема. Каждая монотонная функция на отрезке дифференцируема почти всюду, то есть множество точек, где функция не дифференцируема, это множество лебеговой меры 0.

Чтобы читатель мог по достоинству оценить глубину и изящество данного результата, мы настоятельно советуем отложить на время книжку и подумать над этим утверждением хотя бы пару дней. Честно признаюсь, что, хотя в своё время меня эта задача крепко «зацепила», решить самостоятельно мне её не удалось. Зато потом у меня был хороший стимул для изучения теории меры, и преподавателю не нужно было меня убеждать в важности этой науки.

Определение. Пусть g вещественная функция, заданная на отрезке = [1, 2 ]. Внутренняя точка x отрезка называется невидимой справа для функции g, если существует такое t x, t, что g ( x ) g (t ).

Лемма 1 (лемма Ф. Рисса о светотени). Пусть g полунепрерывная сверху функция на. Тогда множество A всех точек, невидимых справа для функции g, открыто. Более того, если A записать каноническим образом как дизъюнктное объединение подотрезков k = ( a k, bk ), то g ( a k + 0) g (bk ). (Под g ( ak + 0) понимается верхний предел функции g (t ) при t ak + 0. ) Доказательство. Если x0 точка, невидимая справа, t 0 x 0 и g ( x0 ) g (t0 ), то ввиду полунепрерывности у точки x0 есть целая окрестность, где g ( x ) g (t0 ). Вся эта окрестность будет состоять из точек, невидимых справа. Итак, A открытое множество. Пусть теперь = ( a, b) один из отрезков, составляющих A, то есть ( a, b) A, a, b A. Предположим, что утверждение неверно. Тогда существует точка x0, для которой g ( x0 ) g (b). Рассмотрим множество D тех x [ x0, b), для которых g ( x ) g ( x0 ). D это непустое замкнутое ограниченное множество. Обозначим самую правую точку множества D через x1. Так как x1 невидима справа, в найдётся точка t 0 x1 с g (t0 ) g ( x1 ). Ясно, что t0 не может лежать правее точки b, иначе b была бы также невидимой справа:

g (t0 ) g ( x1 ) g ( x0 ) g (b). Следовательно, t0 ( x1, b). Но тогда t0 D, то есть x1 это не самая правая точка множества D. Противоречие.

Отметим, что по симметрии аналогичное утверждение выполнено для точек, невидимых слева (точка x невидима слева, если существует t x, Для доказательства теоремы нам нужно показать, что все перечисленные производные числа почти всюду равны между собой и конечны. Для этого, в свою очередь, достаточно доказать, что для любой возрастающей функции f на отрезке выполнены соотношения:

R( x) и (1) Глава 2. Теория меры

План рассуждения будет естественным. Мы предположим существование такой меры, изучим её свойства и прийдём в результате к противоречию. Вначале отметим, что мера любого одноточечного множества равна 0. Действительно, точки получаются друг из друга сдвигами, значит, их меры равны между собой и равны некоторому числу. Если бы было строго больше нуля, то мера всего отрезка была бы бесконечной: на отрезке ведь бесконечно много точек. Следовательно, = 0. Поэтому мы можем отождествить точки 0 и 1: на мерах множеств это не скажется. Таким образом, отрезок можно представлять себе свёрнутым в окружность.

Введём на отрезке операцию + 1 суммы по модулю 1: a + 1 b равно дробной части числа a + b. На окружности этой операции соответствует поворот точки 2a против часовой стрелки на угол 2b. Если A [0,1], t [0,1], то вместо обычного сдвига A + t удобнее рассматривать сдвиг A +1 t, соответствующий повороту на окружности, так как здесь не нужно следить, не

Курс функционального анализа

выпала ли часть множества за пределы отрезка. Очевидно, ( A) = ( A +1 t ), так как A +1 t = ( A I [0,1 t ) + t )C( A I [1 t,1] + t 1), то есть множество A разбивается на две части, одна из которых переносится вправо, а другая влево по отрезку [0,1].

Введём на [0,1] следующее отношение эквивалентности: a

b, если a b Q (через Q, как обычно, обозначается множество рациональных чисел). В каждом классе эквивалентности выберем по одному элементу.

Полученное множество выбранных элементов обозначим буквой E. Отметим, что все множества E +1 t, t Q I [0,1) попарно не пересекаются.

Действительно, если E +1 t пересекается с E +1 в точке x, t, Q I [0,1), то элементы x 1 t и x 1, лежащие в одном классе эквивалентности, оба принадлежат E, что невозможно по построению. Множеств вида E +1 t бесконечно много, они получаются друг из друга сдвигами и дизъюнктны, значит, их меры равны между собой и равны нулю. Но U (E +1 t ), следовательно, ([0,1]) = 0. Противоречие.

[0,1] = tQ I[0,1) Теорема. Существуют неизмеримые по Лебегу подмножества отрезка [0,1].

Доказательство. Если бы все подмножества отрезка были измеримы по Лебегу, то мера Лебега была бы инвариантной относительно сдвигов

-аддитивной вероятностной мерой, определённой на семействе всех подмножеств отрезка [0,1]. Мы же только что доказали, что меры с такими свойствами не существует.

1. Найдите место в доказательстве неразрешимости тонкой задачи теории меры, где использовалась аксиома выбора.

2. Приведите пример счётно-аддитивной вероятностной меры, определённой на всех подмножествах отрезка. (Разумеется, она не будет инвариантной относительно сдвигов!)

3. Докажите, что отрезок [0,1] можно представить в виде объединения двух непересекающихся множеств A, B с * ( A) = * ( B ) = 1. Покажите, что оба эти множества должны быть неизмеримы. Этим будет дано другое доказательство существования неизмеримых множеств.

В условиях предыдущего упражнения * ( A I C ) = * ( B I C ) = (C ) 4.

для любого измеримого по Лебегу множества C.

5. Если принять континуум-гипотезу, то отрезок [0,1] можно представить в виде объединения континуального числа непересекающихся множеств, имеющих единичную внешнюю меру.

Теорема 2. Пусть F : R + возрастающая непрерывная справа функция на отрезке = [1, 2 ].

Тогда существует единственная борелевская мера на [, ], для которой F будет функцией распределения.

Доказательство. Рассуждение будет идти по аналогии с построением меры Лебега. Пусть полукольцо всех подотрезков отрезка. Определим меру на следующими равенствами: ([1, a ]) = F ( a ), ([a, b]) = F (b) F ( a 0) при a 1 (эти две формулы объединяются в одну, если условиться, что F (1 0) = 0 ); (( a, b]) = F (b) F ( a ), (( a, b) ) = F (b 0) F (a ) и ([a, b) ) = F (b 0) F (a 0).

Эти соотношения выбраны не случайно: именно так должны быть связаны борелевская мера и её функция распределения. Конечная аддитивность так построенной меры проверяется без труда. Для проверки счётной полуаддитивности (откуда будет вытекать и счётная аддитивность) нужно вначале заметить, что мера любого подотрезка совпадает с супремумом мер содержащихся в нём замкнутых подотрезков и с инфимумом мер соЧтобы понять термин «функция скачков», постройте график функции f M, на отрезке [0,3] для M = <1,2>, (1) = ( 2) = 1.

3. Пусть чисто атомарная борелевская мера на отрезке [, ]. Тогда её функция распределения будет иметь вид функции скачков.

4. Пусть борелевская мера на отрезке [, ], F её функция распределения, t. Тогда () = F (t ) F (t 0), (< >) = F ( ).

5. Борелевская мера на отрезке [, ] безатомна в том и только том случае, если её функция распределения непрерывна и в точке равна нулю.

6. Из представления меры в виде суммы безатомной и чисто атомарной следует, что любая неотрицательная непрерывная справа возрастающая функция на отрезке [, ] однозначно представляется в виде суммы непрерывной возрастающей функции, равной нулю в точке, и некоторой функции скачков.

7. Любая непрерывная справа возрастающая функция на отрезке [, ] представляется в виде суммы непрерывной возрастающей функции и некоторой функции скачков. Такое представление единственно с точностью до постоянного слагаемого. То есть к одному слагаемому можно добавить, а из другого вычесть одно и то же число, и сумма не изменится; а других причин неединственности нет.

Глава 2. Теория меры

8. Любая возрастающая функция на отрезке [, ] однозначно представляется в виде суммы непрерывной справа функции и функции, отличающейся от нуля не более чем в счётном множестве точек.

9. Любая возрастающая функция f на отрезке [, ] однозначно с точностью до постоянного слагаемого представляется в виде суммы таких трёх слагаемых: f1 непрерывной функции, f 2 функции скачков и f 3 функции, отличающейся от нуля не более чем в счётном множестве точек.

2.3.6. Канторова лестница и мера, равномерно распределённая на канторовом множестве Данное в предыдущем пункте описание борелевских мер на отрезке может вызвать впечатление, что все такие меры очень похожи на меру Лебега (по крайней мере после удаления атомов). В каком-то смысле это впечатление верно, но всё-таки картина выглядит не настолько простой, как это может показаться на первый взгляд. Ниже мы построим безатомную вероятностную борелевскую меру на отрезке [0,1], сосредоточенную на канторовом множестве: дополнение к канторову множеству будет пренебрежимым с точки зрения этой меры. То есть, с некоторой точки зрения, эта мера будет противоположна по свойствам мере Лебега, ведь мера Лебега канторова множества равна нулю, а дополнения к канторову множеству единице. Эта мера и её функция распределения канторова лестница будут в дальнейшем источником важных примеров.

Основная идея построения требуемой меры определить её функцию распределения F так, чтобы меры всех отрезков nj были равными нулю, а меры симметричных частей множества K были равны между собой. Так,

2 j 1 F (t ) = n. Мы уже определили функцию распределения на плотном множестве дополнении к K. Легко видеть, что эта функция равномерно

тельно, F единственным образом продолжается до непрерывной функции на всём отрезке. Полученная монотонная непрерывная функция называется лестницей Кантора и обозначается FK. Борелевская мера K на [0,1], для которой эта функция будет функцией распределения, называется мерой, равномерно распределённой на канторовом множестве.

Глава 2. Теория меры

8. Из предыдущего упражнения следует, что образ борелевского множества под действием монотонной функции борелевское множество.

9. Пусть безатомная борелевская мера на [0,1], F её функция распределения, мера Лебега. Тогда ( A) = (F ( A) ) для любого борелевского множества A [0,1].

Глава 2. Теория меры Упражнение 9.

Согласно упражнению 7, A \ A множество первой категории в A.

Упражнение 11. Счётное подмножество отрезка множество первой категории, а плотное G второй.

Упражнение 12. Пусть f и f нижняя и верхняя огибающие функ

Упражнение 15. Воспользоваться упражнениями 13, 9 и 14.

Упражнение 19. Воспользоваться упражнением 11.

Упражнение 2. Для любого x = ( x1, x 2 ) X 1 X 2 произведение B1 B 2 содержит все окрестности вида B( x1, r1 ) B ( x 2, r2 ) точки x, то есть базу окрестностей точки. Ввиду сепарабельности, любое открытое множество в X 1 X 2 представимо как счётное объединение множеств вида B( x1, r1 ) B ( x 2, r2 ). Поэтому B1 B 2 содержит все открытые множества, следовательно, и все борелевские множества на X 1 X 2.

Упражнение 5. Ответ зависит от аксиоматики теории множеств (скажем, какая версия континуум-гипотезы считается выполненой). Как нам сообщил недавно Т. Банах, из результатов Д. Фремлина (1996 г.) следует, что в одной из аксиоматик эти семейства множеств не совпадают.

Курс функционального анализа

Параграф 2.1.6 Упражнение 2. Пусть ( A1 I A2 ) 0. Поскольку A1 атом, то для любого подмножества множества A1 ненулевой меры его дополнение в A1 имеет меру 0. Следовательно, ( A1 \ ( A1 I A2 ) ) = 0. По той же причине ( A2 \ ( A1 I A2 ) ) = 0. Таким образом, и ( A1A2 ) = 0.

Параграф 2.2.1 Упражнение 6. Данное утверждение, согласно теореме автора [Kad3], cохраняет силу в гораздо более общей ситуации: для выпуклых тел в гильбертовом пространстве и вписанных шаров, вместо треугольников на плоскости и кругов. Позднее для двумерного случая независимое доказательство получил Andras Bezdek [Discrete Comput. Geom. 38, No. 2, 189-200 (2007)].

Параграф 2.3.1 Упражнение 4. Требуемое множество A можно строить аналогично канторову множеству с тем отличием, что удаляемые отрезки нужно выбирать «маленькими»: с суммарной длиной меньшей 1. При этом можно добиться, чтобы ( A) было сколь угодно близко к 1.

Упражнение 5. Взяв A = где An нигде не плотные множества U An, n =1 с ( An ) 1 1 n, получим множество первой категории с ( A) = 1. Дополнение к A будет требуемым множеством.

Параграф 2.3.3 Упражнение 3. См. [R-Se], с. 21-22.

Упражнение 4. См. [R-Se], с. 22-23. Другое, более естественное решение будет следовать из результатов п. 7.2.2.

Параграф 2.3.4 Упражнение 3. Чтобы * ( A) = * ( B ) = 1, необходимо и достаточно, чтобы и A, и B пересекались со всеми замкнутыми множествами ненулевой меры. Поскольку существует только континуум замкнутых подмножеств отрезка, можно выписать замкнутые подмножества положительной меры в трансфинитную последовательность K, c, где c наименьший ординал континуальной мощности. Теперь для каждого c выберем две различные точки a,b K \( U ). Возможность такого выбора обосновывается тем, что на каждом шаге множество K континуальКурс функционального анализа

3. Измеримые функции В теории меры и интеграла изучаются в первую очередь вещественнозначные функции. Чтобы избежать ненужных повторений, договоримся, если не оговорено противное, термин «функция» использовать для функций, принимающих вещественные значения. Скажем, если мы говорим «функция f на », подразумеваться будет функция f, действующая из в R. Для функций же, область значений которых не лежит в R, будем использовать термин «отображение».

Операции над функциями будут пониматься в поточечном смысле.

«А. И. ГОНОВ А. В. ЛУЦЕНКО М. А. МЕДВЕДЕВА ИНСТРУМЕНТЫ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина А. А. Гонов, А. В. Луценко, М. А. Медведева Инструменты рынка ценных бумаг Учебное пособие Рекомендовано методическим советом УрФУ для студентов, обучающихся по программе бакалавриата по направлениям подготовки 38.03.05 — Бизнес-информатика, 09.03.03 — Прикладная математика. »