Докажите что композиция возрастающей и убывающей функции есть убывающая функция

Различные математические функции

В школе мы изучали различные функции : линейную y =ax +b (график линия), квадратичную y =ax²+bx+c ( график парабола), функцию обратной пропорциональности ( график гипербола), тригонометрические функции (y=sin x, y =cos x, y =tg x, y =ctg x), степенная y =xⁿ, показательная y =a и xлогарифмическая y = log x функции.

До начала XVII в. в математике избегали применять дробные и отрицательные показатели степени. Только в конце XVII в. в связи с усложнением математических задач появилась необходимость распространить область определения показателя степени на все действительные числа. Обобщение понятия степени а, где n- любое действительное число, позволило рассматривать показательную функцию (y =a) на множестве действительных чисел и степенную функцию (y =xⁿ) на множестве положительных чисел, а при целых n степенная функция определена и для x 0.

Функцию сигнум ввёл Л. Кронекер в 1878 г.

Антье от x (целая часть x) есть наибольшее целое число, не превосходящее x.

График функции y =[x] состоит из отрезков прямых, параллельных оси абсцисс ( на промежутке [ 0;1) –отрезок оси абсцисс), образующих «лесенку», длина и высота каждой «ступеньки» которой равна 1.

В функции y = дробную часть числа можно определить через целую часть:

= x-[ x ]. Поскольку целая часть x не превосходит x, то дробная часть числа всегда неотрицательна. Дробная часть целого числа равна 0.

График функции y = изображается изолированными отрезками прямых на каждом промежутке [k; k +1), k Z области определения.

Длина полных метров в куске кабеля в 5 раз больше длины неполного метра. Какова максимально возможная длина кабеля?

Решение. Обозначим длину кабеля x (м). Тогда составляется уравнение 5 =[x] или = [x] ∕ 5. Так как x [0; 5), то [x] [0; 5), поэтому [x] =4. Тогда = 0,8. Искомая длина кабеля 4,8 (м).

Применяются сведения и свойства кусочно-линейных функций так же при решении уравнений и неравенств, их систем.

Здесь мы рассмотрим метод решения неравенств, представляющий собой некоторое усовершенствование метода интервалов. Именно, в задачах, где существенным является знак функции, можно заменить разность значений их аргументов. Это позволяет решать довольно сложные неравенства сравнительно просто – методом интервалов, применяемым обычно к рациональным функциям.

Для обоснования указанной замены мы переформулируем определение возрастающей функции.

Функция y = f(x) возрастает (убывает) на промежутке I тогда и только тогда, когда для любых u и v из этого промежутка знаки чисел f(u) – f(v) и u – v совпадают (соответственно, противоположны).

Это замечание позволяет в целом ряде задач, связанных с исследованием знака функций, заменить разность f(u) – f(v) на более простое выражение u – v.

Решение. Область определения данного неравенства описывается системой

Поскольку мы хотели бы применить метод интервалов, перенесём число 2 в левую часть неравенства, и приведём её к общему знаменателю:

Неравенство, очевидно, справедливо при. При запишем его так:

В неравенстве заменим разность корней разностью подкоренных выражений:

Решив последнее неравенство методом интервалов, получаем ответ.

Использование свойств непрерывности и монотонности функций, входящих в композицию, во многих случаях существенно упрощает решение таких задач.

— композиция f ° g двух строго возрастающих функций f и g также будет строго возрастающей функцией;

— композиция f ° g двух строго убывающих функций f и g является строго возрастающей функцией;

Источник

Общие сведения

Функцией вида р = f(r) называется зависимость ее значения от переменной величины «r» или аргумента. Функциональные тождества бывают простыми и сложными. К первым относится класс выражений, состоящих из одной переменной простого типа. Во втором случае содержится несколько аргументов или аргумент является также функцией, т. е. подчиняется определенному закону.

Монотонной называется функция, постоянно убывающая или возрастающая на заданном промежутке. Если она постоянно убывает или возрастает, то считается строго монотонной. Пусть дана функция р = f(r). Она дифференцируема на некотором интервале (а;b), является возрастающей или убывающей, когда справедливы равенства f(r1) = f(r2) соответственно. Кроме того, нужно учитывать, что r1 =» следует заменить на строгий « »: f(r1) f(r2) соответственно. Вышеописанные понятия можно записать математическим способом, который считается более компактным:

Следует отметить, что промежутками монотонности функции называются интервалы, на которых она возрастает или убывает. После определений необходимо рассмотреть основные теоремы, позволяющие использовать соотношения для решения различных задач.

Теорема о пределе

Теорема о пределе монотонной функции применяется для решения задач по высшей математике с использованием пределов. Ее формулировка следующая: если функция вида р = f(r) является дифференцируемой и монотонной на интервале (а;b), то в точке r0, принадлежащей заданному интервалу, она имеет конечные пределы с левой и правой стороны, а в точках r0 = a и r0 = b у нее существуют правосторонние и левосторонние границы.

Чтобы понять математические обозначения sup и inf, необходимо представить множество значений функции. Первый термин обозначает максимальное значение сверху, а второй — минимальное снизу.

Критерии возрастания и убывания

Существуют определенные признаки, по которым можно определить монотонность функции p = f(r) на некотором интервале (а;b). Для этого в математике есть еще три теоремы:

Первая теорема имеет такую формулировку: дифференцируемая функция p = f(r) на интервале (а;b) является убывающей, когда выполняется неравенство f'(r) = 0 соответственно (при r ∈ данному интервалу).

Формулировка следующего утверждения только для строго возрастающей монотонной функции. В первом случае должно выполняться не одно, а два условия: f'(r) > 0 и f'(r) тождественно не эквивалентна нулю на промежутке в любой точке, принадлежащей интервалу. Для строго убывающей условия немного отличаются от предыдущих: f'(r) 0.

Основные свойства

Для функций на интервале (а;b) существуют некоторые утверждения, позволяющие исследовать составные выражения, а также решать различные задачи. К свойствам монотонных функций относятся следующие:

После изучения теорем и основных свойств нужно определить минимум базовых знаний, которые необходимы для исследования на монотонность любого выражения. Кроме того, следует знать графики некоторых функций. Для их построения можно использовать специальные онлайн-калькуляторы и программы, позволяющие выделять результаты разными цветами.

Базовые знания

Для исследования функции на монотонность специалисты рекомендуют руководствоваться некоторыми правилами, которые объединяются в универсальный алгоритм. Он является достаточным для выполнения такого задания и имеет следующий вид:

Последний пункт следует реализовывать при помощи таблицы. Необходимо строго придерживаться алгоритма, поскольку неверные действия способны существенно повлиять на результат.

Нахождение производной

Для поиска производной необходимо выполнить такие шаги: вынести константу, упростить выражение и воспользоваться таблицей дифференциалов элементарных функций (рис. 1). Первые два элемента считаются подготовительными, поскольку позволяют оптимизировать процесс вычисления. Для упрощения следует применять формулы сокращенного умножения, свойства дробей, разложение на множители и т. д. После приведения выражения к упрощенному виду нужно воспользоваться таблицей производных элементарных функций.

Рисунок 1. Дифференциалы простых выражений.

Однако при решении задач не всегда попадаются простые выражения. Для составных существуют определенные правила:

Специалисты рекомендуют для проверки использовать программы, но это не значит, что задачи должны решаться только с помощью онлайн-сервисов и математических пакетов.

Корни уравнений и критические точки

Следующим этапом является решение равенства с неизвестным. Необходимо отметить, что уравнения делятся на следующие виды: линейные, квадратные, кубические, биквадратные, тригонометрические, логарифмические, степенные, показательные и иррациональные.

Источник

Тема урока «Множество значений функции в задачах ЕГЭ»

Сегодня на уроке мы обратимся к одному из основных понятий математики — понятию функции; более детально рассмотрим одно из свойств функции — множество ее значений.

Ход урока

Учитель. Решая задачи, мы замечаем, что подчас именно нахождение множества значений функции ставит нас в затруднительные ситуации. Почему? Казалось бы, изучая функцию с 7-го класса, мы знаем о ней достаточно много. Поэтому у нас есть все основания сделать упреждающий ход. Давайте сегодня сами «поиграем» с множеством значений функции, чтобы снять многие вопросы этой темы на предстоящем экзамене.

Множества значений элементарных функций

Учитель. Для начала необходимо повторить графики, уравнения и множества значений основных элементарных функций на всей области определения.

На экран проецируются графики функций: линейной, квадратичной, дробно-рациональной, тригонометрических, показательной и логарифмической, для каждой из них устно определяется множество значений. Обратите внимание учащихся на то, что у линейной функции E(f) = R или одно число, у дробно-линейной

Это наша азбука. Присоединив к ней наши знания о преобразованиях графиков: параллельный перенос, растяжение, сжатие, отражение, мы сможем решить задачи первой части ЕГЭ и даже чуть сложнее. Проверим это.

Условия задач и системы координат напечатаны для каждого ученика.

1. Найдите множество значений функции на всей области определения:

а) y = 3 sin х ;
б) y = 7 – 2 х ;
в) y = –arccos (x + 5):
г) y = | arctg x |;
д)

2. Найдите множество значений функции y = x 2 на промежутке J, если:

3. Задайте функцию аналитически (уравнением), если множество ее значений:

а) квадратичная,
б) логарифмическая,
в) показательная;

При обсуждении задания 2 самостоятельной работы обратите внимание учащихся на то, что, в случае монотонности и непрерывности функции y = f(x) на заданном промежутке [a; b], множество ее значений — промежуток, концами которого являются значения f(a) и f(b).

Варианты ответов к заданию 3.

2.
а) б)

Нахождение множества значений функции с помощью производной

Учитель. В 10-м классе мы знакомились с алгоритмом нахождения экстремумов непрерывной на отрезке функции и отыскания ее множества значений, не опираясь на график функции. Вспомните, как мы это делали? (С помощью производной.) Давайте вспомним этот алгоритм.

1. Убедиться, что функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке J = [a; b].

2. Найти значения функции на концах отрезка: f(a) и f(b).

3. Найти производную, а затем критические точки x_k J.

4. Найти значения функции в критических точках f(x_k).

5. Сравнить значения функции f(a), f(b) и f(x_k), выбрать наибольшее и наименьшее значения функции и дать ответ: E(f)= [f_наим; f_наиб].

Задачи на применение данного алгоритма встречаются в вариантах ЕГЭ. Так, например, в 2008 году была предложена такая задача. Вам предстоит решить ее дома.

Задание С1. Найдите наибольшее значение функции

Нахождение множества значений сложной функции

Учитель. Основную часть нашего урока составят нестандартные задачи, содержащие сложные функции, производные от которых являются очень сложными выражениями. Да и графики этих функций нам неизвестны. Поэтому для решения мы будем использовать определение сложной функции, то есть зависимость между переменными в порядке их вложенности в данную функцию, и оценку их области значений (промежутка изменения их значений). Задачи такого вида встречаются во второй части ЕГЭ. Обратимся к примерам.

Задание 1. Для функций y = f(x) и y = g(x) записать сложную функцию y = f(g(x)) и найти ее множество значений:

а) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = sin x;
б) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = log₇ x;
в) g(x) = x 2 + 1;
г)

Решение. а) Сложная функция имеет вид: y = –sin 2 x + 2sin x + 3.

Вводя промежуточный аргумент t, мы можем записать эту функцию так:

У внутренней функции t = sin x аргумент принимает любые значения, а множество ее значений — отрезок [–1; 1].

Таким образом, для внешней функции y = –t 2 +2t + 3 мы узнали промежуток изменения значений ее аргумента t: t [–1; 1]. Обратимся к графику функции y = –t 2 +2t + 3.

Замечаем, что квадратичная функция при t [–1; 1] принимает наименьшее и наибольшее значения на его концах: y_наим = y(–1) = 0 и y_наиб = y(1) = 4. А так как эта функция непрерывна на отрезке [–1; 1], то она принимает и все значения между ними.

Ответ: y [0; 4].

б) Композиция этих функций приводит нас к сложной функции которая после введения промежуточного аргумента, может быть представлена так:

x (0; + ∞ ), t (– ∞ ; + ∞ ).

У функции y = –t 2 + 2t + 3 (см. график) аргумент t принимает любые значения, а сама квадратичная функция принимает все значения не больше 4.

Ответ: y (– ∞ ; 4].

в) Сложная функция имеет следующий вид:

Вводя промежуточный аргумент, получаем:

где t = x 2 + 1.

Так как для внутренней функции x R, а t [1; + ∞ ), то по графику функции нетрудно видеть, что множеством значений будет промежуток (0; 3].

Ответ: y (0; 3].

г) Композиция двух данных функций дает нам сложную функцию

которая может быть записана как

где k Z, t [–1; 0) (0; 1].

Нарисовав график функции видим, что при этих значениях t

y (– ∞ ; –4] [4; + ∞ ).

Ответ: y (– ∞ ; –4] c [4; + ∞ ).

— Kакая из четырех композиций более сложная и почему?

Четвертая: функция имеет точки разрыва 2-го рода, в которых имеются вертикальные асимптоты.

— Какая из четырех композиций более простая и почему?

Итак, мы познакомились с иным алгоритмом нахождения множества значений сложной функции:

1. Разложить сложную функцию на составляющие ее элементарные функции.

2. Оценить множества значений этих функций в порядке их вложенности в сложную функцию.

Дома вы попробуете решить эту же задачу, но для функции y = g(f(x)) (поменяете порядок вложенности функций).

Учитель. Данные задачи имеют красивое логическое продолжение. Любое уравнение (неравенство) — это две функции, соединенные знаком равенства (неравенства). Зная области значений этих функций, мы можем их сравнить. И если мы увидим, что эти области, границы которых параллельны оси Ох, не имеют общих точек, то их графики не пересекаются. А это значит, что исходное уравнение не имеет решений. Возможны и другие интересные случаи.

Метод оценки при решении уравнений и неравенств

Метод решения уравнений (неравенств), при котором сравниваются множества значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения (неравенства), называют методом оценки.

Задание 2. Учитывая найденные множества значений функций из задания 1, составьте такие уравнения и неравенства, которые решаются методом оценки, и объясните их решение.

Сравнивая множества значений функций из левой и правой частей уравнения, замечаем, что они имеют только один общий элемент — число 4. То есть решениями этого уравнения могут быть только те значения x, при которых обе функции будут принимать значение равное 4.

— Как вы думаете: сколько решений может иметь уравнение в этом случае?

Потребуем выполнения этого необходимого условия от каждой функции и получим систему двух уравнений:

2) — x — любое число, кроме где k Z.

3) — не имеет решений.

4) — не имеет корней.

5) — не имеет решений.

6) — x — любое число, кроме где k Z.

Можно выбрать и нестрогие знаки неравенств.

В вариантах ЕГЭ во второй и третьей частях встречаются задачи, которые решаются методом оценки. Вот одно из таких заданий из вариантов ЕГЭ 2008 года.

Задание В8. Решите уравнение

Рассмотрите его решение дома.

Свойство монотонности сложной функции

Учитель. В ходе урока вы, надеюсь, заметили, что если данная функция монотонна и непрерывна, то поиск области ее значений упрощается. Остановимся на свойстве монотонности сложной функции подробнее.

— От каких данных может зависеть монотонность?

От монотонности входящих в нее функций.

Задание 3. Докажите, что если функция t = g(x) — непрерывна и убывает на некотором промежутке J, а функция y = f(t) также непрерывна и убывает на промежутке J₁, причем из того, что x J, следует, что t J₁, то сложная функция y = f(g(x)) есть функция возрастающая на J.

Доказательство. Так как функции t = g(x) и y = f(t) — убывающие, то каждое свое значение они принимают ровно один раз и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. А тогда для любых x₁ и x₂ из J и для t₁ = g(x₁) и t₂ = g(x₂) из J₁ имеем:

для g(x): (x₁ g(x₁) > g(x₂)) (x₁ t₁ > t₂),

для f(t): t₁ > t₂ f(t₁) f(t₁)
Û (x₁ f(g(x₁)) > f(g(x₂))).

То есть функция y = f(g(x)) — возрастает на J. Что и требовалось доказать.

Аналогично можно доказать, что

Задание 4. Найдите множество значений функции у = log₅ (arcctg x) на J, если

б) на всей области определения.

Решение. Вначале исследуем данную функцию на монотонность. Функция t = arcctg x — непрерывная и убывающая на R и множество ее значений (0; π). Функция y = log₅ t определена на промежутке (0; π), непрерывна и возрастает на нем. Значит, данная сложная функция убывает на множестве R. И она, как композиция двух непрерывных функций, будет непрерывна на R.

Так как функция непрерывна на всей числовой оси, то она непрерывна и на любой ее части, в частности, на данном отрезке. А тогда она на этом отрезке имеет наименьшее и наибольшее значения и принимает все значения между ними:

f (4) = log₅ arcctg 4.

— Какое из полученных значений больше? Почему? И каким же будет множество значений?

Ответ:

Ответ: у (– ∞ ; log₅ π) на всей области определения.

Задача с параметром

Теперь попробуем составить и решить несложное уравнение с параметром вида f(x) = a, где f(x) — та же функция, что и в задании 4.

Задание 5. Определите количество корней уравнения log₅ (arcctg x) = а для каждого значения параметра а.

Решение. Как мы уже показали в задании 4, функция у = log₅ (arcctg x) — убывает и непрерывна на R и принимает значения меньше log₅ π. Этих сведений достаточно, чтобы дать ответ.

Ответ: если а ≥ log₅ π, то корней нет.

Учитель. Сегодня мы рассмотрели задачи, связанные с нахождением множества значений функции. На этом пути мы открыли для себя новый метод решения уравнений и неравенств — метод оценки, поэтому нахождение множества значений функции стало средством решения задач более высокого уровня. При этом мы увидели, как конструируются такие задачи и как свойства монотонности функции облегчают их решение.

И мне хочется надеяться, что та логика, которая связала рассмотренные сегодня задачи, вас поразила или хотя бы удивила. Иначе и быть не может: восхождение на новую вершину никого не оставляет равнодушным! Мы замечаем и ценим красивые картины, скульптуры и т.д. Но и в математике есть своя красота, притягивающая и завораживающая — красота логики. Математики говорят, что красивое решение — это, как правило, правильное решение, и это не просто фраза. Теперь Вам самим предстоит находить такие решения и один из путей к ним мы указали сегодня. Удачи вам! И помните: дорогу осилит идущий!

Источник