Докажите что множества четных и нечетных чисел равномощны алгебра 10 класс
Докажите что множества четных и нечетных чисел равномощны алгебра 10 класс
8. Равномощные множества
Если между элементами двух множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что эти множества равномощны (или, иначе, эквивалентны). Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же число элементов. Понятие равномощ-ности применимо и к множествам, не являющимся конечными; например, как мы видели, множество всех нечетных положительных чисел равномощно множеству всех четных чисел, больших ста.
В этом случае, однако, могут иметь место факты, которые на первый взгляд кажутся парадоксальными.
Так, например, множество всех натуральных чисел равномощно множеству всех четных положительных чисел. Взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств можно, например, установить, сопоставив каждому натуральному числу вдвое большее положительное число. Мы имеем здесь, следовательно, пример бесконечного множества, равномощного некоторой своей правильной части. Не существует ни одного конечного множества, равномощного какой-либо своей правильной части. Возникает вопрос, каждое ли бесконечное множество равномощно какой-либо своей правильной части. На этот вопрос мы не сможем ответить, не принимая специальных аксиом. Однако о многих бесконечных множествах, встречающихся в математике, можно доказать, что они равномощны некоторой своей правильной части. Мы вернемся еще к этому вопросу позже.
Чтобы выразить, что два множества М и 
равномощны, пишут 
Как легко заметить, отношение — является симметричным (т. е. из 
следует 
) транзитивным (т. е. из 
следует 
) и рефлексивным (т. е. 
для любого множества М).
Равномощные множества. Способы установления равномощности множеств. Счетные и несчетные множества.
Определение. Множества X и Y называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
Если множества X и Y равномощны, то пишут X
Нетрудно увидеть, что множества, которые были рассмотрены в примерах 1 и 2, равномощны.
Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Равномощные конечные множества называют еще равночисленными. В начальном обучении математике равночисленность выражается словами «столько же» и может использоваться при ознакомлении учащихся со многими другими понятиями. Например, чтобы ввести равенство чисел, сравнивают два множества, устанавливая между их элементами взаимно однозначное соответствие. Например, пишут, что 5 = 5, так как кружков столько же, сколько квадратов (рис. 76).
Как уже было сказано, равномощными могут быть и бесконечные множества. Приведем примеры таких множеств.
N: 1 2 3 … n …
На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что можно установить взаимно однозначные соответствия между множеством и его частью: для конечных множеств такая ситуация невозможна. Однако в математике доказано, что для бесконечного множества А всегда найдется такое его подмножество B, что между А и В можно установить взаимно однозначное соответствие. Иногда это утверждение считают определением бесконечного множества.
Если бесконечное множество равномощно множеству N натуральных чисел, его называют счетным. Любое бесконечное подмножество множества N счетно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастания и нумеровать один за другим (т.е. так, как это сделано в примере 4). Так, счетно множество всех нечетных натуральных чисел, множество натуральных чисел, кратных 5 и др. Счетными являются также множества всех целых чисел, всех рациональных.
Существуют ли множества, отличные от счетных? Доказано, что бесконечным множеством, не равномощным множеству N натуральных чисел, является множество R всех действительных чисел.
Упражнения
1.Задайте при помощи графа три соответствия между множествами X = и Y = <2, 4, 6>так, чтобы одно из них было взаимно однозначным.
3.Как можно изменить множества X и Y, данные в упражнении 2, чтобы соответствие Р: «прямоугольник х имеет площадь, равную у», было взаимно однозначным?
4.Даны множества: А = <1, 2, 5>, В = <3, 7>. Найдите А х В и В х А. Верно ли, что найденные множества равномощны?
5.Докажите, что множество А счетно, если:
6. Покажите, что, выполняя нижеприведенные задания, учащиеся начальных классов используют понятие равночисленности множеств:
 |
а) Нарисуй на другой фигуре (рис. 80) столько же точек, сколько на первой (точки не пересчитывать).
б) Нарисуй, не считая, столько же квадратов и столько же отрезков, сколько на рисунке 81 треугольников.
в) У Димы было 28 марок, а у Коли на 7 марок больше. Сколько марок было у Коли?
г) У Маши 9 игрушек, а у Риты на 2 меньше. Сколько игрушек у Риты?
д) Для детского сада купили 4 зеленых мяча, а красных в 3 раза больше, чем зеленых. Сколько красных мячей купили детям?
е) Для детского сада купили 15 красных мячей, а зеленых в 3 раза меньше. Сколько зеленых мячей купили детям?
43. Основные выводы § 8
Изучая материал этого параграфа, мы установили, что любое соответствие S между двумя множествами X и Y есть подмножество декартова произведения этих множеств, т.е. S с X х Y. Выяснили, что соответствия задают также, как и множества вообще. Познакомились с новыми понятиями:
— соответствие, обратное данному;
— взаимно однозначное соответствие;
Установили, что графики взаимно обратных соответствий между числовыми множествами симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
Лекция 18. Числовые функции
1. Определение числовой функции как частного случая соответствия.. Способы задания функции. Область определения и область значения функции.
2. График функции. Свойство монотонности функции
§ 9. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
В начальном курсе математики понятие функции и все, что с ним связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависимости буквально пронизывает его, а правильное понимание таких свойств реальных явлений, как взаимозависимость и изменяемость, является основой научного мировоззрения. Безусловно, все это требует от учителя начальных классов определенных знаний о функции и ее свойствах, и прежде всего таких, которые помогут ему осуществлять в начальной школе пропедевтику понятия функции.
44. Понятие функции. Способы задания функций
Выполним два задания для младших школьников.
1) Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза.
| Уменьшаемое |
| Вычитаемое |
| Разность |
С какими математическими понятиями мы имеем дело, выполняя эти задания?
Определение.Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством X и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества X сопоставляется единственное число из множества R.
Множество X называют областью определения функции.
Функции принято обозначать буквами f, g, h и др. Если f— функция, заданная на множестве X, то действительное число у, соответствующее числу x из множества X, часто обозначают f(х) и пишут у = f(х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой переменной) функции f. Множество чисел вида f(х) для всех х из множества X называют областью значений функции f.
В рассмотренном выше первом примере функция задана на множестве X = <1, 3, 5, 7>— это ее область определения. А область значений этой функции есть множество <2, 6, 10, 14>.
Из определения функции вытекает, что для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества X соответствует единственное действительное число.
О равномощности множеств
Парадокс Галилея – пример, иллюстрирующий свойства бесконечных множеств. В двух словах: натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел, то есть в множестве 1, 2, 3, 4, … столько же элементов, сколько в множестве 1, 4, 9, 16 …
В своей последней работе «Две Науки», Галилей привёл два противоречащих друг другу суждения о натуральных числах:
Суждение1. Некоторые числа являются точными квадратами (т.е. квадратами других целых чисел), другие же числа таким свойством не обладают.
Вывод1. Таким образом, точных квадратов должно быть меньше, чем всех чисел.
Суждение2. Для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, и наоборот – для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень.
Вывод2. Точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество.
Галилей сделал вывод, что судить об одинаковом количестве элементов можно только для конечных множеств.
В 19 веке, Георг Кантор, используя свою теорию множеств показал, что можно ввести «количество элементов» для бесконечных множеств – так называемая мощность множества. При этом мощности множества натуральных чисел и множества точных квадратов совпали (оказалось верным второе суждение Галилея).
Применение термина «равномощность» к бесконечным множествам некорректно, т.к. бесконечные множества не могут быть равными по мощности, по крайней мере не существует однозначного метода это установить. Можно говорить определённо только про неравномощные множества (например, множество действительных чисел мощнее натуральных). Но рассматривая бесконечные множества равномощные натуральному множеству, приходится признать что это не равномощность, а неопределённость.
Т.е. в зависимости от порядка сопоставления элементов из разных множеств друг с другом, мы получаем разные результаты. Современная теория множеств считает, что это свидетельствует о том, что часть равна целому (часть множества Z также равномощна и N, и Z). На самом же деле мы не можем однозначно утверждать равномощны ли эти множества, это неопределённость.
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
Счетность и несчетность множеств. Равномощность множеств.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Примеры.
Доказать, что следующие множества счетны:
Решение.
Что и требовалось доказать.
Решение.
Что и требовалось доказать.
Решение.
Что и требовалось доказать.
Решение.
Что и требовалось доказать.
Примеры:
Доказательство.
Что и требовалось доказать.
Доказательство.
Проведем доказательство в несколько этапов:
Что и требовалось доказать.
Домашнее задание.
Доказать, что следующие множества счетны:
1.70. Используя результат задачи 1.68, доказать, что множество всех точек плскости с рациональными координатами счетно.
Помощь в написании монографии
Сравнение и отображение множеств
Множество натуральных чисел равномощно множеству нечётных чисел, так как между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, например, по следующему правилу:
Так как множество нечётных чисел является подмножеством натуральных чисел, то этот пример показывает, что бесконечное множество может быть равномощно своему подмножеству.
Множество положительных рациональных чисел счётно. Действительно, если представить каждое рациональное число в виде несократимой дроби и записать его в следующую таблицу, а затем пронумеровать, как указано на рисунке, то окажется, что множество рациональных положительных чисел действительно счётно.
Множества и счётны и потому равномощны. В самом деле, установим взаимно однозначное соответствие между ними по следующему правилу:
Существуют и другие бесконечные множества, мощность которых больше, чем мощность счётных множеств. Так, множество всех точек отрезка [0; 1] не равномощно множеству натуральных чисел доказательство этой теоремы принадлежит немецкому математику Георгу Кантору.
Как было показано в примере 4, множество всех точек отрезка [0; 1] равномощно множеству точек отрезка любой длины. Легко показать равномощность множеств отрезка [ a ; b ] и интервала ( a ; b ), а также отрезка [ a ; b ] и луча ( a ; +∞). Наконец, можно доказать равномощность множеств всех точек отрезка и квадрата.
Мощность множества всех действительных чисел (или, что то же, множества всех точек числовой оси) обозначается символом c (« континуум »). Поскольку множество всех действительных чисел несчётно, то א c и называется гиперконтинуумом