Докажите что множества точек стороны и диагонали квадрата равномощны

Если бесконечное множество равномощно множеству N натуральных чисел, его называют счетным. Любое бесконечное подмножество множества N счетно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастания и нумеровать один за другим (т.е. так, как это сделано в примере 4). Так, счетно множество всех нечетных натуральных чисел, множество натуральных чисел, кратных 5 и др. Счетными являются также множества всех целых чисел, всех рациональных.

Существуют ли множества, отличные от счетных? Доказано, что бесконечным множеством, не равномощным множеству N натуральных чисел, является множество R всех действительных чисел.

Упражнения

1.Задайте при помощи графа три соответствия между множествами X = и Y = <2, 4, 6>так, чтобы одно из них было взаимно однозначным.

3.Как можно изменить множества X и Y, данные в упражнении 2, чтобы соответствие Р: «прямоугольник х имеет площадь, равную у», было взаимно однозначным?

4.Даны множества: А = <1, 2, 5>, В = <3, 7>. Найдите А х В и В х А. Верно ли, что найденные множества равномощны?

5.Докажите, что множество А счетно, если:

6. Покажите, что, выполняя нижеприведенные задания, учащиеся начальных классов используют понятие равночисленности множеств:

а) Нарисуй на другой фигуре (рис. 80) столько же точек, сколько на первой (точки не пересчитывать).

б) Нарисуй, не считая, столько же квадратов и столько же отрезков, сколько на рисунке 81 треугольников.

в) У Димы было 28 марок, а у Коли на 7 марок больше. Сколько марок было у Коли?

г) У Маши 9 игрушек, а у Риты на 2 меньше. Сколько игрушек у Риты?

д) Для детского сада купили 4 зеленых мяча, а красных в 3 раза больше, чем зеленых. Сколько красных мячей купили детям?

е) Для детского сада купили 15 красных мячей, а зеленых в 3 раза меньше. Сколько зеленых мячей купили детям?

43. Основные выводы § 8

Изучая материал этого параграфа, мы установили, что любое соответствие S между двумя множествами X и Y есть подмножество декартова произведения этих множеств, т.е. S с X х Y. Выяснили, что соответствия задают также, как и множества вообще. Познакомились с новыми понятиями:

— соответствие, обратное данному;

— взаимно однозначное соответствие;

Установили, что графики взаимно обратных соответствий между числовыми множествами симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Лекция 18. Числовые функции

1. Определение числовой функции как частного случая соответствия.. Способы задания функции. Область определения и область значения функции.

2. График функции. Свойство монотонности функции

§ 9. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ

В начальном курсе математики понятие функции и все, что с ним связано, в явном виде не изучается, но идея функциональной зависи­мости буквально пронизывает его, а правильное понимание таких свойств реальных явлений, как взаимозависимость и изменяемость, является основой научного мировоззрения. Безусловно, все это требу­ет от учителя начальных классов определенных знаний о функции и ее свойствах, и прежде всего таких, которые помогут ему осуществлять в начальной школе пропедевтику понятия функции.

44. Понятие функции. Способы задания функций

Выполним два задания для младших школьников.

1) Увеличь каждое нечетное однозначное число в 2 раза.

С какими математическими понятиями мы имеем дело, выполняя эти задания?

Определение.Числовой функцией называется такое соответст­вие между числовым множеством X и множеством R действи­тельных чисел, при котором каждому числу из множества X сопоставляется единственное число из множества R.

Множество X называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами f, g, h и др. Если f— функция, заданная на множестве X, то действительное число у, соответствующее числу x из множества X, часто обозначают f(х) и пишут у = f(х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой переменной) функции f. Множество чисел вида f(х) для всех х из множества X называют областью значений функции f.

В рассмотренном выше первом примере функция задана на множестве X = <1, 3, 5, 7>— это ее область определения. А область значений этой функции есть множество <2, 6, 10, 14>.

Из определения функции вытекает, что для задания функции необходимо указать, во-первых, числовое множество X, т.е. область определения функции, и, во-вторых, правило, по которому каждому числу из множества X соответствует единственное действительное число.

Источник

08. Примеры равномощных множеств

Приведенные выше примеры и теоремы показывают, что установить равномощность различных множеств далеко не просто. В этом параграфе мы рассмотрим примеры построения биекции между различными множествами. Будут приведены примеры доказательств равномощности ряда множеств.

Пример 1. Установить биекцию между отрезком [0, 1] и отрезком [а, в].

Решение. Легко устанавливается биективность линейного отображения x = (в – a)t + a отрезка [0, 1] на отрезок [а, в].

Пример 2. Установить биекцию между интервалом (0, 1) и интервалом (–¥, +¥).

Решение. Легко устанавливается биективность отображения x= ctg(pt) интервала (0, 1) на интервал (–¥, +¥).

Задача. Рассмотреть основные элементарные функции и найти промежутки, на которых они являются биективным отображением.

Пример 3. Построить биекцию между отрезком [0, 1] и интервалом (0, 1).

Решение. Решение этой задачи основано на несчетности рассматриваемых множеств и теореме 4 из параграфа 6. Идея решения состоит в том, что из интервала (0, 1) выделяют некоторое счетное множество А. Затем к нему добавляют две точки <0>и <1>. Вновь полученное множество (обозначим его В Ì [0, 1]), также является счетным. Следовательно, множества А и В равномощны и существует биекция f, отображающая B на A. Построим теперь биекцию отрезка [0, 1] на интервал (0, 1) следующим образом:

Пример 4. Построить биекцию между окружностью единичного радиуса и отрезком [0, 1].

Схема решения. Легко устанавливается биекция между точкой окружности и углом, соответствующим этой точке. Этим получается биекция окружности и полуотрезка [0, 2p). Затем по схеме примера 3 строится биекция полуотрезка [0, 2p) на отрезок [0, 1].

Пример 6. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на отрезке [а, в], конечно или счетно.

Источник

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

Счетность и несчетность множеств. Равномощность множеств.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Примеры.

Доказать, что следующие множества счетны:

Решение.

Что и требовалось доказать.

Решение.

Что и требовалось доказать.

Решение.

Что и требовалось доказать.

Решение.

Что и требовалось доказать.

Примеры:

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Доказательство.

Проведем доказательство в несколько этапов:

Что и требовалось доказать.

Домашнее задание.

Доказать, что следующие множества счетны:

1.70. Используя результат задачи 1.68, доказать, что множество всех точек плскости с рациональными координатами счетно.

Источник

Докажите что множества точек стороны и диагонали квадрата равномощны

Войти

Авторизуясь в LiveJournal с помощью стороннего сервиса вы принимаете условия Пользовательского соглашения LiveJournal