Докажите что mnpq параллелограмм

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

Согласно определению,геометрическая фигура параллелограмм является четырехугольником с попарно параллельными противоположными сторонами и равными противолежащими углами. Доказать, что фигура параллелограмм позволяет как определение, так и ее признаки. Применяя на практике эти свойства, можно решать геометрические задачи разной сложности.

Определение параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом с параллельными противоположными сторонами. Эта фигура имеет по 2 тупых и острых угла, произвольную величину которых определяют при решении задач. Для этого используют не только признаки параллелограмма или треугольника, но и таблицу синусов с косинусами.

Квадрат, прямоугольник и ромб — это параллелограммы, обладающие общими свойствами. Фигура, у которой диагонали совпадают с биссектрисами, является ромбом. Согласно определению, прямоугольник — это четырехугольник, имеющий все прямые углы. Если стороны этой фигуры равны между собой, то прямоугольник является квадратом.

Параллелограмм — геометрическая фигура с равными противоположными сторонами. Если каждую из них возвести в квадрат и сложить их между собой, то полученная величина будет равна сумме квадратов диагоналей, проведенных через противоположные вершины углов фигуры. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке, определить которую позволяют прямоугольные координаты.

Свойства фигуры

Зная различные свойства четырехугольников, можно решать простые и сложные задачи по геометрии, начиная с определения периметра, заканчивая нахождением координаты вершины параллелограмма. Для решения задач используют 7 основных свойств параллелограмма, учитывая что его стороны попарно образуют:

Доказать последнее свойство позволяет II признак равенства треугольников. Известен отрезок, принадлежащий линии, проведенной через точку, в которой пересекаются диагонали. В четырехугольнике КМРТ он обозначен НП. Отсюда следует равенство треугольников КОП и НОР, поэтому НО=ОП.

Сумма смежных углов параллелограмма составляет 180 градусов, поскольку они являются односторонними при параллельных прямых. Существует свойство равенства острого угла и образованного высотами тупого угла четырехугольника АВСД. Параллелограмм имеет смежные углы А и Д, а высоты ВМ и ВН проведены из вершины В, поэтому угол МВН в сумме с Д равен 180 градусам.

Доказательство равенства противолежащих сторон и углов фигуры заключается в следующем. Например, диагонали ABCD делят фигуру на 2 равных треугольника, имеющих общую сторону в виде диагонали BD. При этом углы ADВ и ABC при противолежащих вершинах A и C являются накрест лежащими.

Параллелограмм состоит из равных треугольников ABD, BCD и ABC, ACD, образуемых диагоналями AC и ВD, значит AB=CD и AD=BC. Отсюда углы при вершинах A и C, В и D имеют одинаковую величину.

Свойства можно представить в виде формул для решения уравнений и примеров, а также доказать теоретически. Их следует запомнить, чтобы правильно применять на практике. Для решения более сложных задач по геометрии следует доказать основные свойства фигуры.

Основные признаки

Существует 5 признаков параллелограмма, доказательство которых основано на свойствах прямых и образованных ими углов либо фигур. Выпуклый четырехугольник, вершины которого обозначены МНКП, имеет диагонали МП и НК. Признаки того, что фигура МНКП представляет собой параллелограмм, следующие:

Если четырехугольник имеет 2 равные и параллельные стороны, то он представляет собой параллелограмм. Четырехугольник MNPK имеет параллельные и равные MN и KP, отсюда следует доказательство I признака:

Если четырехугольник имеет противоположные стороны, которые равны попарно, то он является параллелограммом. Перед тем как доказать, что фигура является параллелограммом, следует провести диагонали. Пошаговое доказательство II признака:

Доказать деление точкой пересечения каждой из диагоналей фигуры АМКД на равные отрезки позволяет II признак равенства треугольников. При этом AОД и КОМ равны. Следовательно, AО=КО и АО=ДО.

Согласно III признаку, четырехугольник, диагонали которого пересекаются, а точка пересечения делит их пополам, представляет собой параллелограмм. В четырехугольнике MNPQ она обозначена буквой К. Поскольку в ней пересекаются диагонали MP и NQ, то образуемые ими треугольники MNК и КPQ равны по I признаку. Это следует из равенства вертикальных углов MКN и PКQ, а также MК и NК, КP и КQ, которые равны по условию.

В треугольниках MNК и КPQ стороны MN и PQ равны между собой. Углы NMК и КPQ равны как накрест лежащие при MN и PQ и секущей MP. Отсюда следует, что прямые MN||PQ. Итак, четырехугольник MNPQ — это параллелограмм по I признаку, поскольку MN и PQ равны и параллельны.

Пошаговое доказательство

Перед тем как доказать, что четырехугольник параллелограмм, нужно провести высоты треугольников МНК и МПК, пересекающие МК в точках О и С. По данным задачи, МНК, МПК и НПК имеют одинаковые площади. Доказательство параллельности МК и НП состоит из следующих шагов:

Чтобы доказать, что МН и ПК параллельны, нужно опустить из вершин треугольников МНК и НКП высоты Н и П, которые пересекут прямую ПК в точках Р и Т. По построению НР=ПТ, а по указанному условию площади треугольников МНК и НПК совпадают. Сторона МН параллельна ПК, следовательно, МНПК — параллелограмм. Итак, порядок доказательства параллельности МН и ПК аналогичен с доказательством, что МК и НП параллельны.

Доказательство признака образования равнобедренного треугольника и трапеции при пересечении противолежащей стороны параллелограмма биссектрисой АМ одного из углов состоит из следующих утверждений:

Зная, как доказать, что фигура параллелограмм, если известно, что 2 из его сторон равны и параллельны, можно использовать I признак равенства для доказательства другого. Согласно II признаку, стороны параллелограмма попарно равны между собой.

Источник

: Пусть MNPQ четырех угольник, тогда, еслииз точки Q провести диагональ в точку М и из точки N в точку P, получаться два треугольника NOM и QOPс равными угламиNOM и QOP.

(они равны так как являются вертикальными) стороны этих треугольников тоже равны по построению.

( первый признак равенства).

По этому углы OQP и ОМР равны.

Исходя из этого стороны MN И PQ параллельны и равны.

Так же доказывается параллельность и равенство сторонNQ и MP.

(через треугольники NOQ MOP).

Противоположные стороны параллельны и равны это параллелограмм.

В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали?

В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали.

Известно, что площади треугольников ABD, ACD, BCD равны.

Докажите, что данный четырехугольник является параллелограммом?

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке о известно что треугольники AOB = COD?

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке о известно что треугольники AOB = COD.

Докажите что данный четырехугольник параллелограмм.

Докажите что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны то он является квадратом?

Докажите что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны то он является квадратом.

Докажите, что параллелограмм является ромбом, если его диагонали взаимно перпендикулярны?

Докажите, что параллелограмм является ромбом, если его диагонали взаимно перпендикулярны.

Докажите, что четырехугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом?

Докажите, что четырехугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом.

На диагонали МТ параллелограмма КМРТ отложены равные отрезки МА и ТВ?

На диагонали МТ параллелограмма КМРТ отложены равные отрезки МА и ТВ.

Докажите : а) равенство треугольников КМА и ТВР ; б) что четырехугольник КАРВ является параллелограммом.

СРОЧНО?

На диагонали MP прямоугольника MNPQ отложены равные отрезки MA и PB.

Думаю, из рисунка все ясно без лишних слов.

Прямая m принадлежит обеим плоскостям, все общие точки плоскостей альфа и бета принадлежат прямой m. Точка М одновременно принадлежит прямой а, плоскости альфа и плоскости бетта. Все общие точки плоскостей альфа и бетта принадлежат прямой m. Поэто..

1)АВD ABC 2)ABD BDC 3)ABE ECD.

А) 1 = 40 2 = 50 б) 1 = 65 2 = 65 в) 1 = 45 2 = 45.

Авиапочта, метеоусловия, полдома, пятидесятилетие, времяисчисление, горицвет, рособрннадзор, фотовыставка, мосжилстрой.

Я хз но вот совет как P = a + b + c.

Источник

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

Определение параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом с параллельными противоположными сторонами. Эта фигура имеет по 2 тупых и острых угла, произвольную величину которых определяют при решении задач. Для этого используют не только признаки параллелограмма или треугольника, но и таблицу синусов с косинусами.

Квадрат, прямоугольник и ромб — это параллелограммы, обладающие общими свойствами. Фигура, у которой диагонали совпадают с биссектрисами, является ромбом. Согласно определению, прямоугольник — это четырехугольник, имеющий все прямые углы. Если стороны этой фигуры равны между собой, то прямоугольник является квадратом.

Параллелограмм — геометрическая фигура с равными противоположными сторонами. Если каждую из них возвести в квадрат и сложить их между собой, то полученная величина будет равна сумме квадратов диагоналей, проведенных через противоположные вершины углов фигуры. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке, определить которую позволяют прямоугольные координаты.

Свойства фигуры

Зная различные свойства четырехугольников, можно решать простые и сложные задачи по геометрии, начиная с определения периметра, заканчивая нахождением координаты вершины параллелограмма. Для решения задач используют 7 основных свойств параллелограмма, учитывая что его стороны попарно образуют:

Доказать последнее свойство позволяет II признак равенства треугольников. Известен отрезок, принадлежащий линии, проведенной через точку, в которой пересекаются диагонали. В четырехугольнике КМРТ он обозначен НП. Отсюда следует равенство треугольников КОП и НОР, поэтому НО=ОП.

Сумма смежных углов параллелограмма составляет 180 градусов, поскольку они являются односторонними при параллельных прямых. Существует свойство равенства острого угла и образованного высотами тупого угла четырехугольника АВСД. Параллелограмм имеет смежные углы А и Д, а высоты ВМ и ВН проведены из вершины В, поэтому угол МВН в сумме с Д равен 180 градусам.

Доказательство равенства противолежащих сторон и углов фигуры заключается в следующем. Например, диагонали ABCD делят фигуру на 2 равных треугольника, имеющих общую сторону в виде диагонали BD. При этом углы ADВ и ABC при противолежащих вершинах A и C являются накрест лежащими.

Параллелограмм состоит из равных треугольников ABD, BCD и ABC, ACD, образуемых диагоналями AC и ВD, значит AB=CD и AD=BC. Отсюда углы при вершинах A и C, В и D имеют одинаковую величину.

Свойства можно представить в виде формул для решения уравнений и примеров, а также доказать теоретически. Их следует запомнить, чтобы правильно применять на практике. Для решения более сложных задач по геометрии следует доказать основные свойства фигуры.

Основные признаки

Существует 5 признаков параллелограмма, доказательство которых основано на свойствах прямых и образованных ими углов либо фигур. Выпуклый четырехугольник, вершины которого обозначены МНКП, имеет диагонали МП и НК. Признаки того, что фигура МНКП представляет собой параллелограмм, следующие:

Если четырехугольник имеет 2 равные и параллельные стороны, то он представляет собой параллелограмм. Четырехугольник MNPK имеет параллельные и равные MN и KP, отсюда следует доказательство I признака:

Если четырехугольник имеет противоположные стороны, которые равны попарно, то он является параллелограммом. Перед тем как доказать, что фигура является параллелограммом, следует провести диагонали. Пошаговое доказательство II признака:

Доказать деление точкой пересечения каждой из диагоналей фигуры АМКД на равные отрезки позволяет II признак равенства треугольников. При этом AОД и КОМ равны. Следовательно, AО=КО и АО=ДО.

Согласно III признаку, четырехугольник, диагонали которого пересекаются, а точка пересечения делит их пополам, представляет собой параллелограмм. В четырехугольнике MNPQ она обозначена буквой К. Поскольку в ней пересекаются диагонали MP и NQ, то образуемые ими треугольники MNК и КPQ равны по I признаку. Это следует из равенства вертикальных углов MКN и PКQ, а также MК и NК, КP и КQ, которые равны по условию.

В треугольниках MNК и КPQ стороны MN и PQ равны между собой. Углы NMК и КPQ равны как накрест лежащие при MN и PQ и секущей MP. Отсюда следует, что прямые MN||PQ. Итак, четырехугольник MNPQ — это параллелограмм по I признаку, поскольку MN и PQ равны и параллельны.

Пошаговое доказательство

Перед тем как доказать, что четырехугольник параллелограмм, нужно провести высоты треугольников МНК и МПК, пересекающие МК в точках О и С. По данным задачи, МНК, МПК и НПК имеют одинаковые площади. Доказательство параллельности МК и НП состоит из следующих шагов:

Чтобы доказать, что МН и ПК параллельны, нужно опустить из вершин треугольников МНК и НКП высоты Н и П, которые пересекут прямую ПК в точках Р и Т. По построению НР=ПТ, а по указанному условию площади треугольников МНК и НПК совпадают. Сторона МН параллельна ПК, следовательно, МНПК — параллелограмм. Итак, порядок доказательства параллельности МН и ПК аналогичен с доказательством, что МК и НП параллельны.

Доказательство признака образования равнобедренного треугольника и трапеции при пересечении противолежащей стороны параллелограмма биссектрисой АМ одного из углов состоит из следующих утверждений:

Зная, как доказать, что фигура параллелограмм, если известно, что 2 из его сторон равны и параллельны, можно использовать I признак равенства для доказательства другого. Согласно II признаку, стороны параллелограмма попарно равны между собой.

Источник

Геометрия. 8 класс

Укажите правильный ответ.

Посмотрите на свойство параллелограмма, представленного схематично, и укажите соответствующий ему признак параллелограмма.

Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны,
то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам,
то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны,
то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Укажите правильный ответ.

Посмотрите на свойство параллелограмма, представленного схематично, и укажите соответствующий ему признак параллелограмма.

ABCD – параллелограмм, тогда ∠A + ∠D = 180° и AB = CD

Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны,
то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны,
то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам,
то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Укажите правильный ответ.

Посмотрите на свойство параллелограмма, представленного схематично, и укажите соответствующий ему признак параллелограмма.

Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны,
то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам,
то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны,
то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Укажите верные ответы.

Дан четырёхугольник ABCD, AB = CD, BD – диагональ, причём ∠ABD = ∠CDB.
Что можно найти / доказать по данным условиям?

Найти углы B и D четырёхугольника ABCD.

Доказать, что равны треугольники ABD и CDB.

Найти сумму углов четырёхугольника ABCD, прилежащих к одной стороне.

Найти углы A и C четырёхугольника ABCD.

Доказать, что ABCD – параллелограмм.

Источник

Докажите что mnpq параллелограмм

Докажите, что средние линии любого четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам.

Пусть дан произвольный четырёхугольник ABCD, точки M, N, P и Q — середины его сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Введём векторы как показано на рисунке: пусть а Ясно, что по правилу сложения векторов

Выразим векторы и через векторы и

Пусть O — середина MP, тогда

По правилу сложения векторов таким образом, подставляя выражение этих векторов через векторы и окончательно получим:

Таким образом, убедились, что середина MP является серединой NQ, а значит, точкой пе-ресечения эти отрезки делятся пополам.

Следствие. Заметим, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом. Такой параллелограмм называется параллелограммом Вариньона.

Сформулируем важное свойство четырёхугольников: для того, чтобы четырёхугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали точкой пересечения делились пополам.

Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, проходят через точку пересечения диагоналей.

Пусть дан произвольный четырёхугольник ABCD, диагонали которого пересекаются в одной точке со средними линиями. Введём обозначения, как показано на рисунке. По правилу сложения векторов имеем: и Тогда а значит, Аналогично для следовательно, тем самым, Получается, две стороны четырёхугольника равны и параллельны, а значит, ABCD — параллелограмм.

Источник