Докажите что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны

18.04.202223.04.2022 admin 0 Comments

Докажите что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны

Данный видеоурок поможет пользователям получить представление о теме Пирамида. Правильная пирамида. На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение. Рассмотрим, что такое правильная пирамида и какими свойствами она обладает. Затем докажем теорему о боковой поверхности правильной пирамиды.

На этом занятии мы познакомимся с понятием пирамиды, дадим ей определение.

Рассмотрим многоугольник А₁А₂. А_n, который лежит в плоскости α, и точку P, которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А₁, А₂, А₃, … А_n. Получим n треугольников: А₁А₂Р, А₂А₃Р и так далее.

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

Р – вершина пирамиды.

ABCD – основание пирамиды.

АВ – ребро основания.

Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD. Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

Пирамида называется правильной, если:

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Р – вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD – правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О, точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО – это высота пирамиды.

Пояснение: в правильном n-угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается h_а.

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.

Дано: РАВСD – правильная четырехугольная пирамида,

РО – высота пирамиды.

2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.

РО – высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО, лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD – прямоугольные.

Рассмотрим квадрат АВСD. Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.

Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО – общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.

Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС. Значит, треугольники АВР и ВCР – равнобедренные и равны по трем сторонам.

Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано: РАВС – правильная треугольная пирамида.

Доказать: . См. Рис. 5.

РАВС – правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС. Пусть О – центр треугольника АВС, тогда РО – это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС. Заметим, что .

Треугольники РАВ, РВC, РСА – равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА. Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м, высота пирамиды равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано: правильная четырехугольная пирамида АВСD,

РО – высота пирамиды,

По доказанной теореме, .

Найдем сначала сторону основания АВ. Нам известно, что радиус окружности, вписанной в основание правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 м.

Тогда, м.

Найдем периметр квадрата АВСD со стороной 6 м:

Рассмотрим треугольник BCD. Пусть М – середина стороны DC. Так как О – середина BD, то (м).

Треугольник DPC – равнобедренный. М – середина DC. То есть, РМ – медиана, а значит, и высота в треугольнике DPC. Тогда РМ – апофема пирамиды.

РО – высота пирамиды. Тогда, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ОМ, лежащей в ней. Найдем апофему РМ из прямоугольного треугольника РОМ.

(м).

Теперь можем найти боковую поверхность пирамиды:

Дано: АВСP – правильная треугольная пирамиды,

R = м,

Найти: . См. Рис. 7.

В правильном треугольнике АВС дан радиус описанной окружности. Найдем сторону АВ этого треугольника с помощью теоремы синусов.

м.

Зная сторону правильного треугольника ( м), найдем его периметр.

м.

По теореме о площади боковой поверхности правильной пирамиды , где h_а – апофема пирамиды. Тогда:

Итак, мы рассмотрели, что такое пирамида, что такое правильная пирамида, доказали теорему о боковой поверхности правильной пирамиды. На следующем уроке мы познакомимся с усечённой пирамидой.

Список литературы

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Источник

Докажите что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны

Докажите, что если высота треугольной пирамиды проходит через точку пересечения высот треугольника основания, то противоположные рёбра пирамиды попарно перпендикулярны.

Пусть H — точка пересечения высот основания треугольной пирамиды SABC, тогда SH — высота пирамиды. Заметим, что AH — проекция наклонной SA на плоскость основания. Заметим, что AH перпендикулярна BC. По теореме о трех перпендикулярах SA перпендикулярна BC. Аналогично SB перпендикулярна AC и SC перпендикулярна AB.

Докажите, что в правильной четырёхугольной пирамиде SABCD диагональ BD основания ABCD перпендикулярна прямой, соединяющей центр основания и середину ребра SC.

Аналоги к заданию № 172: 173 Все

Докажите, что в прямой призме основанием которой является ромб ABCD, прямые и BD перпендикулярны.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, тогда AC перпендикулярно BD. Так как призма прямая, то CC₁ перпендикулярно AC. Заметим, что AC — проекция AC₁ на плоскость основания (теорема о трех перпендикулярах). Так как AC перпендикулярно BD, то и AC₁ перпендикулярно BD.

Источник

Докажите что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 4. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MС.

а) Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограммом.

б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью α.

а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Так как плоскость α параллельна ребру MC, она пересекает плоскость BMC по отрезку KL, параллельному ребру MC. Следовательно, KL — средняя линия треугольника BMC и L — середина BC. Так как QK || AB плоскость α пересекает основание ABC пирамиды по средней линии, поэтому плоскость α проходит через точку O — середину отрезка AC. Таким образом, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны KL и QO параллельны отрезку MC и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.

б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому

и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда и

Таким образом, искомая площадь

Ответ:

В задаче рассматривается сечение треугольной пирамиды MABC, а не четырехугольной пирамиды MABCD.

Источник

Докажите что непересекающиеся ребра правильной пирамиды перпендикулярны

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проекция высоты S пирамиды на основание дает точку O, которая лежит на пересечении медиан. Таким образом, точка O делит медианы в отношении 2 : 1, то есть

Рассмотрим высоту SE треугольника SAB. Точка F₁ является ее серединой. Следовательно, ее проекция на медиану CE делит отрезок OE пополам. В свою очередь отрезок тогда

В итоге получаем, что точка F делит медиану CE как или в соотношении 5 : 1, начиная от точки C. Что и требовалось доказать.

б) Найдем высоту искомой пирамиды Медиану СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE:

Вычислим площадь основания пирамиды (площадь трапеции MNZK). Отрезок отрезок (так как это средняя линия треугольника ABS), высота трапеции Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC:

Площадь трапеции (основания пирамиды) равна

Объем пирамиды найдем по формуле

Ответ: б)

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

Сечение (плоскость α) проходит через точки M и N, причем MN — средняя линия. Это означает, что отрезок MN || AB следовательно, MN || (ABC). По условию секущая плоскость перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает плоскость ABC по уровню PQ, причем PQ || MN. Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию PMNQ. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO — высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2 : 1, то есть

Точка K является серединой отрезка MN, причем KZ ⊥ CE, откуда следует, что KZ || SO, следовательно, ZE = ZO. Так как то

Таким образом, получаем, что CZ : ZE = 5 : 1.

б) Найдем периметр трапеции MNPQ: P = MN + NQ + PQ + MP, где

Для вычисления сторон MP = NQ, найдем высоту

(Величина SO = 2, находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOC, учитывая, что OC — радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника и равен Длину отрезка NQ найдем из прямоугольного треугольника NHQ (смотри рисунок).)

Катет NH = KZ = 1, а катет HQ равен

Получаем значение периметра

Ответ:

Аналоги к заданию № 509948: 510107 511602 513095 513096 Все

В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 6, а боковые рёбра равны 9.

а) Докажите, что сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AC и BC параллельно прямой MC, является прямоугольником.

б) Найдите площадь этого сечения.

а) Пусть F и G — середины рёбер BC и AC соответственно. Отрезки FK и GL параллельны MC, где точки K и L — середины рёбер MB и MA соответственно. Поскольку искомое сечение — параллелограмм FGLK.

Пусть MH — высота и медиана треугольника MAB, CH — медиана и высота треугольника ABC, тогда плоскость MHC перпендикулярна плоскости ABC, значит, прямая MC перпендикулярна прямой AB, следовательно, FGLK — прямоугольник.

б) Пусть MO — высота пирамиды, тогда MO = 6, MC = 9, откуда В правильном треугольнике ABC, где O — его центр,

В прямоугольнике FGLK

Ответ:

Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1.

а) Докажите, что плоскость делит высоту треугольника в отношении 1:2, считая от точки .

б) Вычислите объём пирамиды MPTC.

а) Пусть плоскость пересекает отрезок в точке . Обозначим еще середину за . Тогда — точка пересечения медиан треугольника . Таким образом, составляет 2/3 высоты правильного треугольника . Отсюда составляет 1/3 высоты правильного треугольника . А это и требовалось доказать.